1、第三章 圆锥曲线的方程3.1椭圆- 1 -3.1.1椭圆及其标准方程- 1 -3.1.2椭圆的简单几何性质- 7 -3.2双曲线- 20 -3.2.1双曲线及其标准方程- 20 -3.2.2双曲线的简单几何性质- 26 -3.3抛物线- 33 -3.3.1抛物线及其标准方程- 33 -3.3.2抛物线的简单几何性质- 38 -3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程1椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1
2、(ab0)焦点(c,0)与(c,0)(0，c)与(0，c)a，b，c的关系c2a2b2求椭圆的标准方程【例1】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4,3)；(3)经过两点(2，)，.解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c4,2a10，所以a5，b3，所以椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)法一：由椭圆的定义知2a12，解得a6.又c2，所以b4.所以椭圆的标准方程为1.法二：因为所求椭圆过点(4,3)
3、，所以1.又c2a2b24，可解得a236，b232.所以椭圆的标准方程为1.(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得则a2b2，与ab0矛盾，舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)分别将两点的坐标(2，)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能(2)设方程：根据上述判断设方程1(
4、ab0)或1(ab0)或整式形式mx2ny21(m0，n0，mn)(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求椭圆中的焦点三角形【例2】(1)已知椭圆1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|PF2|()A35B34C53D43(2)已知椭圆1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2的面积为_思路探究(1)借助PF1的中点在y轴上，且O为F1F2的中点，所以PF2x轴，再用定义和勾股定理解决(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关
5、于|PF1|，|PF2|的方程，通过解方程求解(1)C(2)(1)依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴PF2，所以PF2x轴，则有|PF1|2|PF2|24c216，又根据椭圆定义知|PF1|PF2|8，所以|PF1|PF2|2，从而|PF1|5，|PF2|3，即|PF1|PF2|53.(2)由1，可知a2，b，所以c1，从而|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭圆定义得|PF1|PF2|2a4.由联立可得|PF1|.所以S|PF
6、1|F1F2|sinPF1F22.椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求解1本例(2)中，把“PF1F2120”改为“PF1F290”，求F1PF2的面积解由椭圆方程1，知a2，c1，由椭圆定义，得|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2中，PF1F290
7、.|PF2|2|PF1|2|F1F2|2.从而(4|PF1|)2|PF1|24，则|PF1|，因此S|F1F2|PF1|.故所求PF1F2的面积为.2本例(2)中方程改为1(ab0)，且“PF1F2120”改为“F1PF2120”，若PF1F2的面积为，求b的值解由F1PF2120，PF1F2的面积为，可得|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4.根据椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a.再利用余弦定理可得4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 120(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|4a24，b21，即b1.与椭圆有关的轨迹问题探究
8、问题1用定义法求椭圆的方程应注意什么？提示用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.2利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？提示(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)(2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可【例3】(1)已知P是椭圆1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为_(2)如图所示，圆C：(x1)2y22
9、5及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程思路探究(1)点Q为OP的中点点Q与点P的坐标关系代入法求解(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解(1)x21设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x02x，y02y，又1，所以1，即x21.(2)解由垂直平分线的性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|，|CM|MA|5.点M的轨迹为椭圆，其中2a5，焦点为C(1,0)，A(1,0)，a，c1 ，b2a2c21.所求点M的轨迹方程为1，即1.1与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法
10、为代入法，例(2)所用方法为定义法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质1椭圆的简单几何性质
11、焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|2b，长轴长|A1A2|2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率(2)性质：离心率e的范围是(0,1)当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆由椭圆方程
12、研究几何性质【例1】(1)椭圆1(ab0)与椭圆(0且1)有()A相同的焦点B相同的顶点C相同的离心率D相同的长、短轴(2)求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标(1)C在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.(2)解把已知方程化成标准方程为1，所以a4，b3，c，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6；离心率e；两个焦点坐标分别是(，0)，(，0)；四个顶点坐标分别是(4,0)，(4,0)，(0，3)，(0,3)1本例(1)中把方程“(0且1)”改为“1(0)”，结果会
13、怎样呢？A由于ab，方程1中，c2(a2)(b2)a2b2.焦点与1(ab0)的焦点完全相同而因长轴长，短轴长发生了变化，所以BCD均不对，只有A正确2本例(2)中，把方程改为“16x29y2144”，结果又会怎样呢？解把方程16x29y2144化为标准形式得1.知椭圆的焦点在y轴上，这里a216，b29，c21697，所以椭圆16x29y2144的长轴长为2a248，短轴长为2b236，离心率：e，焦点坐标：，顶点坐标：(0，4)，(0,4)，(3,0)，(3,0)由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类
14、型(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2b2c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.由几何性质求椭圆的方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆1有相同的离心率思路探究(1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解法二：设与椭圆1有相同离心率的椭圆方程为k1(k10)或k
15、2(k20)解(1)若焦点在x轴上，则a3，e，c，b2a2c2963.椭圆的方程为1.若焦点在y轴上，则b3，e，解得a227.椭圆的方程为1.所求椭圆的方程为1或1.(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为1.(3)法一：由题意知e21，所以，即a22b2，设所求椭圆的方程为1或1.将点M(1,2)代入椭圆方程得1或1，解得b2或b23.故所求椭圆的方程为1或1.法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)，将点M的坐标代入可得k1或k2，解得k1
16、，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个提醒：与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上)求椭圆的离心率探究问题1椭圆的离心率
17、是如何影响椭圆的扁圆程度的？提示离心率e，假设a固定，当e0时，c0，因a2c2b2，则ba，所以离心率越小，椭圆就越圆，否则就越扁2已知的值能求出离心率吗？提示可以e.3已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PFx轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？提示如图，设椭圆的方程为1(ab0)，P(c，m)OPAB，PFOBOA，又P(c，m)在椭圆上，1.将代入，得1，即e2，e.【例3】设椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使0，求椭圆的离心率e的取值范围思路探究由条件0，知PF1PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，
18、也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解解由题意知PF1PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2y2c2上又点P在椭圆上，所以圆x2y2c2与椭圆1有公共点连接OP(图略)，则易知0bca，所以b2c2a2，即a2c2c2a2.所以c2a2，所以e1.所以e.1本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且PF1F2为等边三角形”，求椭圆的离心率解当PF1F2为等边三角形时，即|PF1|PF2|F1F2|，又|PF1|a，a2c，故离心率e.2本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率解当PF1F2为等腰直角三角形时，F1PF29
19、0，这时|F1F2|PF1|，即2ca，离心率e.3把本例中条件“使0”改为“使F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围解由题意，知cb，c2b2.又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2.e2，e.故椭圆的离心率的取值范围为.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围第2课时椭圆的标准
20、方程及性质的应用1点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部1.2直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0位置关系解的个数的取值相切一解0相离无解0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0)，把点A的坐标代入，得b20)，把A点的坐标代入，得b29.故所求双曲线的标准方程为1.(2)法一：焦点相同，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，c216420，即a2b220.双曲线经过点(3，2)，1.由得a212，b28，双曲线的标准方程为1.法二：设所求双
21、曲线的方程为1(416)双曲线过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线的方程为Ax2By21，AB0.点P，Q在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.1求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解2双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程1或1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可提醒：若焦点的位置不明确，应
22、注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，注意标明条件mn0.双曲线定义的应用探究问题1双曲线的定义中为什么要加条件“常数2a小于|F1F2|”？提示把常数记为2a，只有当2a|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当2a|F1F2|时，其轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，其轨迹不存在若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线2双曲线定义中为什么“距离的差”要加“绝对值”？提示距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支若F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|PF2|2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|PF1|2a，
23、则点P在左支上【例2】(1)ABC中，A(5,0)，B(5,0)，点C在双曲线1上，则()ABCD(2)已知F1，F2分别是双曲线1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32.试求F1PF2的面积思路探究(1)结合三角形中正弦定理及双曲线的定义解题，但要注意|CA|CB|2a.(2)结合焦点三角形中余弦定理和双曲线的定义，以及三角形面积公式解题(1)D在ABC中，sin A，sin B，sin C(其中R为ABC外接圆的半径).又|BC|AC|8，.(2)解因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|
24、PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF20，所以F1PF290，所以S|PF1|PF2|3216.1变条件，变设问若本例(2)中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离解由双曲线的标准方程1，得a3，b4，c5.由双曲线定义得|PF1|PF2|2a6，|10|PF2|6，解得|PF2|4或|PF2|16.2变条件若本例(2)条件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其他条件不变，求F1PF2的面积解由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF
25、1|4，S448.3变条件本例(2)中，将条件“|PF1|PF2|32”改为“F1PF260”，其他条件不变，求F1PF2的面积解由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|64，S|PF1|PF2|sin F1PF26416.求双曲线中的焦点PF1F2面积的方法(1)根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用
26、公式S|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)利用公式S|F1F2|yP|求得面积与双曲线有关的轨迹问题【例3】如图所示，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程思路探究解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，即|AC|BC|2a)，a，c2，b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x)求解与双曲线有关
27、的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支3.2.2双曲线的简单几何性质1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e1渐近线yxyx2双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲
28、线叫做等轴双曲线，其离心率e.3直线与双曲线的位置关系将ykxm与1联立消去y得一元方程(b2a2k2)x22a2kmxa2(m2b2)0.的取值位置关系交点个数k时相交只有一个交点k且0有两个交点k且0相切只有一个交点k且0相离没有公共点根据双曲线方程研究几何性质【例1】求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解双曲线的方程化为标准形式是1，a29，b24，a3，b2，c.又双曲线的焦点在x轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为yx.1把本例双曲线方程“9y24x236”
29、改为“9y24x236”，它的性质如何？解把方程9y24x236化为标准方程为1，这里a24，b29，c213.焦点在y轴上所以顶点坐标为(0,2)，(0，2)，焦点坐标为(0，)，(0，)，实轴长2a4，虚轴长2b6，离心率e，渐近线方程为yxx.2把本例中方程“9y24x236”改为“4x29y24”，它的性质又如何？解方程4x29y24可化为标准方程x21，焦点在y轴上，这里a2，b21，c21.所以顶点坐标为，.焦点坐标为，.实轴长2a，虚轴长2b2.离心率e.渐近线方程为yxx.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，
30、b的值；(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质提醒：求性质时一定要注意焦点的位置由几何性质求双曲线的标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；(3)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)思路探究由几何性质求双曲线方程，多是根据题设信息寻找a，b，c，e之间的关系，并通过构造方程获得问题的解(解出a，b或a2，b2的值)解(1)设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则2b8，e，从而b4，ca，代入c2a2b2，得a29，故双曲线的标准方程为1.(2)由两顶点间的距离是6得2a6，即a3.由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c4a12，即c6，于是有b2c2a2623227.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为1或1.(3)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为1.由题意，得解得a2，b24，所以双曲线的方程为1.当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为1.由题意，得解得a24，b2(舍去)综上所得，双曲线的方程为1.法二：设所求双曲线方
