1、第三章 函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示- 1 -3.1.1函数的概念- 1 -3.1.2函数的表示法(1)- 7 -3.1.2函数的表示法(2)- 13 -3.2函数的基本性质- 18 -3.2.1单调性与最大(小)值(1)- 18 -3.2.1单调性与最大(小)值(2)- 22 -3.2.2奇偶性- 29 -3.3幂函数- 35 -3.4函数的应用(一)- 40 -3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念知识点一函数的概念yx中x与y的对应关系，和y中x与y的对应关系相同吗？ 知识梳理(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f
2、，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作yf(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(range)显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域值域是由定义域和对应关系决定的(3)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数知识点二区间的概念知识梳理(1)一般区间的表示定义名称符号数轴表示x|axb
3、闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，b(2)特殊区间定义区间数轴表示x|xaa，)x|xa(a，)x|xb(，bx|xb(，b)R(，)解题方法探究探究一函数关系的判断例1(1)下列集合A到集合B的对应f是函数的是()AA1,0,1，B0,1，f：A中的数平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的数开方CAZ，BQ，f：A中的数取倒数DAR，B正实数，f：A中的数取绝对值解析按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集
4、合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义答案A(2)下列图形中，不能确定y是x的函数的是()解析任作一条垂直于x轴的直线xa，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系答案D1判断一个对应是否是函数的方法2根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数如
5、图所示：探究二求函数的定义域例2(1)函数y的定义域为()A(，1) B(，0)(0,1C(，0)(0,1) D1，)(2)已知函数yf(x)与函数y是相等函数，则函数yf(x)的定义域是()A3,1 B(3,1)C(3，) D(，1(3)函数y的定义域是()Ax|x0 Bx|x0Cx|x0，且x1 Dx|x0，且x1(4)已知等腰ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y102x，则函数的定义域为_解析(1)由解得故选B.(2)由于yf(x)与y是相等函数，故二者定义域相同，所以yf(x)的定义域为x|3x1写成区间形式为3,1故选A.(3)故选C.(4)由题意知0y10，即01
6、02x10，解得0x5.又底边长y与腰长x应满足2xy，即4x10，x.综上，x5.答案(1)B(2)A(3)C(4)求函数定义域的实质及结果要求(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式(3)一般地，形如y，则f(x)0，形如y，则f(x)0，形如y(f(x)0，则f(x)0.探究三求函数值问题例3教材P65例2拓展探究(1)若函数f(x)，求f(f(3)的值解析f(3)1.f(f(3)f(1)1.(2)若函数f(x)，求f(x1)的定义域解析法一：f(x1)定
7、义域为2，1)(1，)法二：f(x)的定义域为x|x3且x2，f(x1)的定义域为x13且x12.即x|x2且x1(3)若函数f(x)，设g(x)x23，求fg(x)解析首先g(x)3，且g(x)2，即x233且x232，x1.fg(x)|x|.fg(x)|x|(x1)函数求值的方法及关注点(1)方法：求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值求f(g(a)：已知f(x)与g(x)，求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义易错点归纳一、抽象函数有“据”可依抽象函数的定义域问题、求值问题所
8、谓抽象函数，是指明显、具体的给出x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数1定义域问题求抽象函数定义域的原则及方法(1)原则：同在对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(x)，f(h(x)三个函数中的t，(x)，h(x)的范围相同(2)方法：已知f(x)的定义域为A，求f(g(x)的定义域，其实质是已知g(x)A，求x的范围；已知f(g(x)的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知xA，求g(x)的范围，此范围就是f(x)的定义域典例(1)已知函数f(x)的定义域为0,1，求f(x21)的定义域；(2)已知函数f(2x1)的定义域为0,1)，求f(13x)的定义域解析
9、(1)因为函数f(x21)中的x21相当于函数f(x)中的x，所以0x211，即1x20，所以x0，故f(x21)的定义域为x|x0(2)因为f(2x1)的定义域为0,1)，即0x1，所以12x11.故f(x)的定义域为1,1)，所以113x1.解得0x，所以f(13x)的定义域为.2求值问题充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法典例定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x，yR)，f(1)2，则f(3)等于()A2B3C6 D9解析f(1)f(10)f(1)f(0)210f(1)f(0)，得f(0)0；又f(0)f(11)f(1)f(1)2(1)1f(
10、1)22f(1)，得f(1)0；f(2)f(11)2f(1)2(1)22022；f(3)f(21)f(2)f(1)2(2)(1)2046.答案C点评求解此类问题时要灵活选择赋值量，反复运用已知关系式二、求定义域时盲目化简典例求函数y的定义域解析要使函数有意义，须得x1且x1定义域为(，1)(1,1纠错心得从表达式特征上看，似乎将函数式化简为yx1，求定义域更简单.1x0得x1.这已经破坏了函数的概念求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以3.1.2函数的表示法(1)知识点函数的三种表示方法比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？ 知识梳理解析法，就是用数学表达式表示两个
11、变量之间的对应关系列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系这三种方法是常用的函数表示法解题方法探究探究一列表法表示函数例1(1)某路公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：行进的站数123456789票价(元)0.50.50.51111.51.51.5若某人乘坐此公共汽车7站后下车，票价应为_元(2)下表表示函数yf(x)，则f(x)x的整数解的集合是_.x0x55x1010x1515x20yf(x)46810(3)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合1,2,3，其函数对应关系如表：x123f(x)231x123g(x)321则
12、方程g(f(x)x的解集为_解析(1)观察表格可知，自变量(行进的站数)为7时函数的值为1.5，所以此人乘车的票价应为1.5元(2)当0x5时，f(x)x的整数解为1,2,3当5x10时，f(x)x的整数解为5当10x15时，f(x)x的整数解为.当15x20时，f(x)x的整数解为.综上所述，f(x)x的整数解的集合是1,2,3,5(3)当x1时，f(x)2，g(f(x)2，不符合题意；当x2时，f(x)3，g(f(x)1，不符合题意；当x3时，f(x)1，g(f(x)3，符合题意，综上，方程g(f(x)x的解集为3答案(1)1.5(2)1,2,3,5(3)3列表法表示函数的相关问题的解法解
13、决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x)这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决探究二函数的图象及应用例2(1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析2016年8月到9月，10月到11月等是逐月下降的，故A错答案A(2)已知二次函数yx24
14、x3.指出该函数图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、与坐标轴的交点的坐标，并画出函数图象的草图说明其图象由yx2的图象经过怎样平移得来的当定义域为0,3时，结合该二次函数图象求该函数的值域解析yx24x3(x2)21，图象的开口向下，对称轴方程为x2，顶点坐标为(2,1)令y0解得，x1或x3，所以此函数图象与x轴相交于点(1,0)和(3,0)，令x0解得，y3，所以此函数图象与y轴相交于点(0，3)，画出此函数的图象，如图所示：由yx2的图象向右平移2个单位长度，得函数y(x2)2的图象，再向上平移1个单位长度，得函数y(x2)21的图象画出函数yx24x3，x0,3的图象，如图所示，观察
15、图象可知该函数的值域为3,1作函数图象的基本步骤利用图象认识函数左右看范围函数的定义域上下看范围函数的值域左右看变化函数值随x的变化情况探究三求函数解析式例3(1)(待定系数法)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)16x25，求f(x)解析设f(x)kxb(k0)，则f(f(x)k(kxb)bk2xkbb，k2xkbb16x25.或f(x)4x5或f(x)4x.(2)换元法(或配凑法)已知f(1)x2，求f(x)的解析式解析法一(换元法)：令t1，则x(t1)2，t1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，所以f(x)的解析式为f(x)x21(x1)法二(配凑法)：f(1)x2x2
16、11(1)21.因为11，所以f(x)的解析式为f(x)x21(x1)(3)(方程组法)已知f(x)2f(x)x22x，求f(x)解析f(x)2f(x)x22x，将x换成x，得f(x)2f(x)x22x.由得3f(x)x26x，f(x)x22x.求函数解析式的方法易错点归纳一、一“图”胜万言函数图象的应用典例已知函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则b的取值范围是()A(，0)B(0,1)C(1,2)D(2，)解析法一：由f(x)的图象知点(0,0)，(1,0)，(2,0)在图象上，得f(x)ax33ax22ax.又由图象知f(1)0，a3a2a0a0，则b3a0.故选A.法二：由三
17、次函数f(x)的图象过(0,0)，(1,0)，(2,0)点，可设f(x)ax(x1)(x2)ax33ax22ax.又f(3)0，得6a0a0，b3a0.故选A.答案A二、忽视新元的范围典例已知f(x21)x2，求f(x)的解析式解析设tx21，t1，x2t1，f(t)t1，f(x)x1(x1)纠错心得此题用换元法或配凑法求出f(x)后，易丢定义域的证明(x1)3.1.2函数的表示法(2)知识点分段函数函数y|x|在x0与x0时的解析式相同吗？ 知识梳理如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数解题方法探究探究一分段函数的定义域、值域
18、及求值问题例1教材P68例6拓展探究(1)若已知函数M(x)求M(3)，M(2)，MM(0)，fM(3)，FM(a)解析当x3时，M(3)(31)24.当x2时，M(2)(21)29.M(0)1，MM(0)M(1)(11)24.f(x)x1，fM(3)f(4)415.当a1时，M(a)(a1)2，fM(a)(a1)21.当1a0时，M(a)a1，fM(a)(a1)1a2.当a0时，M(a)(a1)2，fM(a)(a1)21.综上，fM(a)(2)xR，用m(x)表示f(x)、g(x)中的较小者，记为m(x)min.求m(x)的解析式，并求m(x)的值域解析由(x1)2x1得x1或x0，即函数y
19、f(x)与yg(x)的图象相交于两点(1,0)和(0,1)结合f(x)与g(x)的图象得出m(x)的解析式为m(x)如图，值域为R.1分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集2绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决3分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值探究二求分段函数解析式例2如图，在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动设点P运动的路程为x，APB的
20、面积为y.求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出yf(x)的图象解析(1)按照题意，根据x的变化，写出分段函数的解析式当点P在线段BC上移动时，即0x6，BPx，于是SAPBABBP6x3x；当点P在线段CD上移动时，即6x12，SAPBABBC6618；当点P在线段DA上移动时，即12x18，SAPBABPA6(18x)543x.于是y(2)画出yf(x)的图象，如图所示求分段函数解析式的关键点(1)明确自变量x的分段区间及分段点(2)明确每一段上的函数类型用待定系数法求.探究三分段函数与方程、不等式例3(1)函数f(x)若f(x0)8，则x0_.解析当x02时，f(x0)x28，即x
21、6，x0或x0(舍去)当x02时，f(x0)2x08，x04.综上，x0或x04.答案或4(2)已知函数f(x)，若f(a)3，则a的取值范围是_解析当a2时，f(a)a3，此时不等式的解集是(，3)；当2a4时，f(a)a13，此时不等式无解；当a4时，f(a)3a3，此时不等式无解所以a的取值范围是(，3)答案(，3)由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解易错点归纳一、形分而神不分分段函数问题的求解方法分段函数只是在自变量不同的范围下，有
22、不同的解析式，但在定义域内，它还是一个函数，而不是多个函数，解决问题时，要“分段处理”，然后结果要合为一体典例已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析当a0时，1a1,1a1，所以f(1a)(1a)2aa1，f(1a)2(1a)a3a2.因为f(1a)f(1a)，所以1a3a2，所以a.当a0时，1a1,1a1，所以f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a3a1.因为f(1a)f(1a)，所以2a3a1所以a(舍去)综上所述，a.答案二、不分类讨论致错典例若函数f(x)则方程f(x)1的解是()A.或2B.或3C.或4 D或4解析当1x2时，由f(x)1得，
23、3x21，所以x或x(舍去)当2x5时，由f(x)1得，x31，所以x4.综上，f(x)1的解是x或x4.答案C纠错心得解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求值时要重视x的取值范围如本例当1x2时，求出x或x，通过检验应舍去x.3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值(1)知识点函数的单调递增、单调递减对于函数f(x)x2，如何用符号语言描述？ 知识梳理(1)定义域为I的函数f(x)的增减性(2)特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我
24、们就称它是增函数(increasing function)特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间解题方法探究探究一由函数图象求函数的单调区间例1作出函数yx22|x|3的图象并指出它的单调区间解析根据绝对值的意义，yx22|x|3.作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(，1，0,1上是增函数；函数在区间(1,0)，(1，)上是减函数一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象在某区间内，
25、由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间探究二函数单调性的证明或判断例2教材P79例3拓展探究根据定义证明yx在(0,1)上是单调递减证明x1，x2(0,1)，且x1x2，有y1y2(x1x2)(x1x2)(x1x21)由于0x11,0x21.0x1x21.x1x210.又由x1x2，x1x20，(x1x21)0，y1y2，函数yx在(0,1)上是减函数证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：探究三利用单调性求参数例3已知函数f(x)ax2x1在(，
26、2)上单调递减，求a的取值范围解析当a0时，f(x)x1在(，2)上单调递减，符合题意；当a0时，要使f(x)在(，2)上单调递减，则解得0a.综上，a的取值范围为.根据函数的单调性求参数取值范围的方法(1)利用单调性的定义：设单调区间内x1x2，由f(x1)f(x2)0(或f(x1)f(x2)0)恒成立求参数范围(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数需注意：若一函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的易错点归纳一、单调性定义的拓展及规律1.0(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)是增函数2
27、.0(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)是减函数3f(x)在区间A上是单调函数，则k0时，kf(x)的单调性不变；k0时，则相反4f(x)，g(x)在区间A上同单调，则f(x)g(x)的单调性不变5若f(x)在区间A上是单调函数，则的单调性相反，(f(x)0)、(nN*)的单调性相同6图象关于轴(与x轴垂直)对称的函数在它们的对称区间上的单调性相反，图象关于中心对称的函数在它们的对称区间上的单调性相同典例1.判定函数yx22x的单调性，并求单调区间解析定义域为x1，函数y1x22x，y2均为增函数，则yx22x也为增函数，则yx22x的增区间为1，)2定义在R上的函数f(x)，对任意的x
28、1，x2R，(x1x2)有0，若ab0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)解析由题意知，f(x)在R上为减函数由题意知，ab，ba，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)，故选D.答案D二、对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误典例若函数f(x)x22(a1)x2的单调递减区间是(，4，求实数a的取值范围解析函数f(x)的图象的对称轴为直线x1a.因为函数的单调递减区间是(，4，所以1a4，解得a3.故实数a的取值范围是3纠错心得单调区间是
29、一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间3.2.1单调性与最大(小)值(2)知识点函数的最值 (1)函数f(x)x2图象的最低点的纵坐标是多少？(2)函数f(x)x2图象的最高点的纵坐标是多少？ 知识梳理最大值最小值条件一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)Mf(x)M存在x0I，使得f(x0)M结论称M是函数yf(x)的最大值称M是函数yf(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标解题方法探究探究一利用图象法求函数的最
30、值例1已知函数f(x)求函数f(x)的最大值、最小值解析作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x2时，f(x)取最大值为2；当x时，f(x)取最小值为.所以f(x)的最大值为2，最小值为.用图象法求最值的三个步骤探究二利用单调性求最值例2求函数f(x)x，x4,0的最大值和最小值解析设x1，x2是4,0上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2x2x1.4x1x20，x1x20，x1x20，x2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在4,0上是减函数f(x)minf(0)3，f(x)maxf(4)9.利用单调性求最值的一般步骤(1)判断函数的单调性(
31、2)利用单调性写出最值探究三二次函数的最值问题例3教材P80例4拓展探究(1)已知二次函数f(x)x22x3.当x2,0时，求f(x)的最值；当x2,3时，求f(x)的最值；当xt，t1时，求f(x)的最小值g(t)解析f(x)x22x3(x1)22，其对称轴为x1，开口向上当x2,0时，f(x)在2,0上是单调递减的，故当x2时，f(x)有最大值f(2)11；当x0时，f(x)有最小值f(0)3.当x2,3时，f(x)在2,3上先递减后递增，故当x1时，f(x)有最小值f(1)2.又|21|31|，所以f(x)的最大值为f(2)11.a.当t1时，f(x)在t，t1上单调递增，所以当xt时，
32、f(x)取得最小值，此时g(t)f(t)t22t3.b当t1t1，即0t1时，f(x)在区间t，t1上先递减后递增，故当x1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(1)2.c当t11，即t0时，f(t)在t，t1上单调递减，所以当xt1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t1)t22，综上得，g(t)(2)求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值解析f(x)(xa)21a2，对称轴为xa.当a2时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称
33、轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.探究四利用单调性比较大小、解不等式例4(1)如果函数f(x)x2bxc，对任意实数x都有f(2x)f(2x)试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小解析由题意知，f(x)的对称轴为x2，故f(1)f(3)f(x)x2bxc，f(x)在2，)上为增函数f(2)f(3)f(4)，即f(2)f(1)f(4)(2)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围解析由题意可得解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1
34、a)f(2a1)，1a2a1，即a.由可知，0a，即所求a的取值范围是.1利用单调性比较大小的方法(1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，即已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2D，x1x2f(x1)f(x2)(2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去2利用函数单调性解不等式与函数单调性有关的结论(1)正向结论：若yf(x)在给定区间上是增函数，则当x1x2时，f(x1)f(x2)；当x1x2时，f(x1)f(x2)；(2)逆向结论：若yf(x)在给定区间上是增函数，则当f(x1)f(x2)时，x1x2；
35、当f(x1)f(x2)时，x1x2.当yf(x)在给定区间上是减函数时，也有相应的结论易错点归纳一、抽象函数单调性及最值的求解抽象函数一般由方程(不等式)确定，这类函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理，但要注意运用好所给条件，判断出函数值之间的关系，常见思路是：先在所证区间上设出任意x1，x2(x1x2)，然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题注意：若给出的是和型f(xy)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)x2；若给出的是积型f(xy)抽象函数，判定符号时的变形为f(x2)f
36、(x1)ff(x1)典例已知函数f(x)对任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值与最小值解析(1)证明：令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.又令yx，得f(x)f(x)f(xx)f(0)0，f(x)f(x)任取x1，x2R，且x1x2，则x2x10，f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)x2x10，依题设x0时，有f(x)0，f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)yf(x)在R上是减函数(2)3,3R，故f(x)maxf(3)，
37、f(x)minf(3)由(1)可知f(3)f(3)，又f(3)f(21)f(2)f(1)f(11)f(1)f(1)f(1)f(1)3f(1)32，f(3)f(3)2，f(x)maxf(3)2，f(x)minf(3)2.二、忽视参数对最值的影响典例函数yax1在区间1,3上的最大值为4，求a的值解析当a0时，yax1为增函数当x3时，ymax3a14.a1.当a0时，yax1为减函数当x1时，ymaxa14.a3.综上，a1或a3.纠错心得忽视对a，即对函数单调性的讨论，直接认为yaxb为增函数，只有一个解，当函数的单调性受参数影响时，要根据题意进行讨论3.2.2奇偶性知识点函数奇偶性的定义 (1)函数f(x)x2的图象有什么对称性？(2)函数f(x)的图象有什么对称性？ 知识梳理(1)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even function)偶函数的图象关于y轴对称，反之成立(2)一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)奇函数的图象关于原点对称，反之成立解题方法探究探究一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x42x2；(2)f(x)x3；(3)f(x)；(4)f(x)
