1、点、直线、平面之间的关系 平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理二：不共线的三点确定一个平面。 推论一：直线与直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面。 推论三：两条平行直线确定一个平面。 公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。 即：ab，bc ac1.2 异面直线定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。1.3 异面直线所成的角 异面直线成角
2、的范围：(0，90. 作异面直线成角的方法：平移法。 注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) 平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理： 1.3 性质定理：2 线面角：图2-3 线面角2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。 2.2 线面角的范围：0，90 3 面
3、面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理： 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即：推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即：图2-5 判定1推论 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即：图2-6 判定2 3.3 面面平行的性质定理 (面面平行线面平行) 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 1.2
4、线面垂直的判定定理： 1.3 线面垂直的性质定理： 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。即 垂直于同一平面的两直线平行。 即： 1.4 三垂线定理及其逆定理图2-7 斜线定理 已知PO，斜线PA在平面内的射影为OA，a是平面内的一条直线。 三垂线定理：若aOA，则aPA。即垂直射影则垂直斜线。 三垂线定理逆定理：若aPA，则aOA。即垂直斜线则垂直射影。2 面面斜交和二面角 2.1 二面角的定义：两平面、相交于直线l，直线a是内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为、的二面角的平面角，记作-l-。 2.2 二
5、面角的范围：-l- 0,1803 面面垂直 3.1 面面垂直的定义：若二面角-l-的平面角为90，则两平面。 3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 即： 3.3 面面垂直的性质定理 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90； 图2-10 面面垂直性质2 图2-11 面面垂直性质3 例题分析例1、(1)已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有( )条.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4(2)异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60,则的取值可能是 (
6、).A. 30 B. 50 C. 60 D. 90例2、已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. 求证：MNAB； 例3、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.（1）求证：AB1平面CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1ACB的平面角.例4、在直角梯形ABCD中，A=D=90，ABCD，SD平面ABCD，AB=AD=a，SD=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；（2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；例5如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中， 求证：A1C平BDC1；
