1、高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳必 修 一第一章集合与函数的概念一、集合：1集合的定义与表示（ 1）集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合（ 2）集合的表示：常用大写拉丁字母A, B, C ,表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母a,b, c,表示（ 3）集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质）（ 4）元素与集合的关系：属于 ( a A) , 不属于 ( a A )（ 5）常用数集： N,N *,Z,Q, R（ 6）集合的表示：列举法，描述法2集合间的基本关系（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）（ 1）子集：一般地， 对于两个集合A, B ，如果集合 A 中任意
2、一个元素都是集合B 中的元素， 称集合 A 是集合 B的子集，记作AB （读作 A 含于 B ）或 BA （读作 B 包含 A ）。韦恩表示图略（ 2）集合相等：如果集合 A 是集合 B 的子集（ A B ），且集合 B 是集合 A 的子集（ B A ），称集合 A 与集合 B 相等。记作 A B 。韦恩表示图略（ 3）真子集：如果集合 AB ，但存在元素 xB, 且 xA, 称集合 A 是集合 B 的真子集，记作AB （读作 A真含于 B ）或 BA （读作 B 真包含 A ）。韦恩表示图略（ 4）空集：不含任何元素的集合叫做空集。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集（5）集合的
3、子集个数：含有 n 个元素的集合的子集个数为2n ，真子集个数为 2 n 1，非空真子集个数为 2 n 23集合的基本运算 从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解）（1）并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合， 称为集合 A 与集合 B 的并集，记作 AB（读作： “并B”），即A B x x A, 或xB ，韦恩表示图略A（2）交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合， 称为集合 A 与集合 B 的交集，记作 AB（读1高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳作：“ 交B”），即ABx x A,且xB ，韦恩表示图略，数轴表示略A（3）
4、补集：对于一个集合 A ，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 eU A ，即 eU A= x xU , 且xA ，韦恩表示图略，数轴表示略说明： 求并集、交集与补集时可借用数轴处理4集合的主要性质和运算律集合的主要性质和运算律包含关系：A A,A,若A U则CU A UAB, BCAC;(A B)A, (AB)B; A( AB), B( AB).集合的运算律：交换律： ABBA; ABBA.结合律： (A B) C A (BC);(AB)CA( BC ).分配律： A(BC )( AB)( AC); A(BC )(
5、 AB)( AC ).01 律：A,AA, UAA,UAU .等幂律： AAA, AAA; ABABAABB.求补律： ACU A, ACU AU,CUU,CUU ,CU (CU A)A.反演律： (CU A)(CU B)CU (AB); (CU A)(CU B)CU (AB).二、函数及其表示1函数的定义：（集合对应定义法）设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，那么就称 f: AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf ( x), x A ，其中， x 叫做自变量， x
6、的取值范围叫做函数的定义域；与x 的值对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f ( x) xA 叫做函数的值域，值域是集合B的子集.函数三要素：定义域（集合） ，值域（集合），解析式（表达式）区间（集合的另一种表示方式） ：开区间、闭区间、半开半闭区间（左开右闭、左闭右开）(a,b); a, b ; a, b , a, b ;, a , a ; b, b,无穷大的引入：,2函数的表示：2高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图像法：用图表表示两个变量之间的对应关系列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系分段函数：映射：设 A、B 是非的集合
7、，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个元素 x ，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f : AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。会区分函数与映射的关系3函数的性质：（主要从文字叙述，数学符号，图象特征方面理解）（ 1） 单调性 增函数，增区间，递增性一般地，设函数f ( x) 的定义域为 I ：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2 ，当x1x2 时，都有 f (x1)f ( x2 ) ，那么就说函数f ( x) 在区间 D 上是增函数；区间 D 叫做函数 f ( x) 的一个增区间；这种性质叫做函数的递增
8、性。 减函数，减区间，递减性一般地，设函数f ( x) 的定义域为 I ：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2 ，当x1x2 时，都有 f (x1)f ( x2 ) ，那么就说函数f ( x) 在区间 D 上是减函数；区间 D 叫做函数 f ( x) 的一个减区间；这种性质叫做函数的递减性。注：会从文字叙述，数学符号，图象特征等方面理解函数单调性会用定义判断并证明函数单调性（ 2）函数的最大值与最小值： 函数的最大值：一般地，设函数 yf ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 :（1）对于任意的 xI ，都有 f ( x)M ；（2）存在 x0I
9、 ，使得 f ( x0 )M 。那么，我们称 M 是函数 yf (x) 的最大值。 函数的最小值：一般地，设函数 yf (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足（:1）对于任意的 xI ，都有 f ( x)M ；（2）存在 x0I ，使得 f ( x0 )M 。那么，我们称 M 是函数 yf (x) 的最小值。注：函数最小值的求法：基本函数法，图像法，单调性法等（ 3）函数的奇偶性： 偶函数：一般地，如果对于函数f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f (x)f ( x) ，那么函数叫做偶函数。偶函数图象关于 y 轴对称。 奇函数：一般地，如果对于函数f (x) 的定义域内任意一
10、个x ，都有 f ( x)f ( x) ，那么函数叫做奇函数。奇函3高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳数图象关于原点对称。第二章基本初等函数一、指数与指数函数1指数与指数幂的运算（1）根式：一般地，如果 xna ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根；当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们是一对互为相反数，记作n a (a0) 。负数没有偶次方根。式子 na 叫做根式， n 是根指数， a 叫做被开方数；由 n 次方根的意义得： ( n a) na（2）分数指数幂：mn am ；0 的正分数指数幂等于
11、0， 0 的负分数指数幂没有意义a n（3）指数幂的运算性质：ar asar s,( ar )sars ,( ab)rar br , 其中 a 0, b 0； r , s Q2指数函数及其性质：（1）指数函数：一般地，形如 yax ( a0, a1) 的函数，叫做指数函数；其中x 是自变量，函数的定义域为R 。（2）指数函数的图像与性质：指数函数 ya x ( a0, a1) 的图象与性质0a 1a1图象定义域R值域(0,)（1）过定点（0，1），即 x 0 时 y1性（2）单调性在 R 上是减函数在 R 上是增函数质3x0x 0时 y1 ；时 0y 1；（ ）范围4高中数学必备 (必须理解与
12、记忆)知识点归纳x 0时0y 1；x 0y 1；时3对数与对数的运算：（1）对数：（定义、记法、读法，各部分符号及名称）一般地，如果 a xN (a0, a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x log a N注：理解对数定义的本质；熟记对数符号各部分名称，明确各部分的范围常用对数： log10 Nlg N自然对数： log e N ln N（2）对数与指数的互化： axNxlog a N ,( a0, a1)（3）对数的性质：log a 10, log a a1log a (MN )log aMlog aN（4）对数的运算性质： logaMlog a Mlog a NNl
13、og a Mnn log a M ( a0 , a1, M0 , N0 )（5）对数恒等式： alog a bb( a0,a1,b0)（6）对数换底公式： log ablog cb (a0,a1; c0, c1,b0)log calog ab1,log ablog bclog cdlog a dlog ba4对数函数及其性质：（1）对数函数：一般地，形如 ylog a x(a0, a1) 的函数，叫做对数函数； 其中 x 是自变量，函数的定义域为 0,。（2）对数函数的图象与性质：指数函数 ylog a x( a0, a1) 的图象与性质0a1a 1图象定义域0,值域R性1（1，0），即x1时
14、y0（ ）过定点5高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳质（ ）单调性在0,上是减函数在(0, )上是增函数20 x 1时 y0 ；0x 1 时 y0 ；（3）范围x 1时 y0 ；x 1时 y0 ；5幂函数：（1）幂函数定义：一般地，形如 yxa 的函数，叫做幂函数；其中x 是自变量， a 是常数。（2）幂函数的图象与性质：y xy x2y x 31y x 1y x2图象定义域RRR0,x x0值域R0,R0,y y0奇偶性奇函数偶函数奇函数无奇函数对称性原点对称y 轴对称原点对称原点对称,0 上递减0,0及单调性在R上递增在R上递增上递增0,上递增0,上递减公共点1,16函数图象变换
15、平移变换：左右平移与上下平移翻折变换：如何由 yf ( x) 图象得到 yf ( x ), yf ( x) 图象对称变换：如何由 yf ( x) 图象得到 yf (x), yf ( x), yf (x) 图象第三章函数的应用一、函数与方程1方程的根与函数的零点：（1）函数的零点：对于函数yf ( x) ，我们把使 f (x)0 的实数 x 叫做函数 yf ( x) 的零点。（2）方程的根与函数的零点的关系：方程 f (x)0 有实数根函数 yf ( x) 的图象与 x 轴有交点函数 yf ( x) 有零点6高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳（ 3）方程的根与函数的零点存在性定理：一般地
16、，我们有：如果函数 yf ( x) 在区间 a, b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数y f ( x) 在区间a, b 内有零点，即存在 ca,b ，使得 f ( c) 0 ，这个 c 也就是方程 f (x)0 的根。2二分法：（1）二分法定义：对于区间 a, b 上连续不断且 f (a)f (b)0 的函数 yf ( x) ，通过不断地把函数f ( x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（2）给定精度，用二分法求函数f ( x) 零点近似值得基本步骤：1. 确定区间a,b ，验证 f (a)
17、f (b)0 ，给定精度；2. 求区间 a, b) 的中点 c3. 计算 f (c)（ 1）若 f ( c) 0 ，则 c 就是函数的零点；（2）若 f (a)f (c)0，则令 bc （此时零点 x0(a, c) ）；（3）若 f (c)f (b)0，则令 ac （此时零点 x0(c, b) ）；4.判断是否达到精度：即若a b，则得到零点近似值 a （或b）；否则重复。24二、函数模型及其应用：1几类不同增长的函数模型：一次函数型（直线型）：均匀上升指数型：爆炸式上升对数型：缓慢式上升幂函数型：爆炸或缓慢式上升2函数模型的应用：必 修 二第一章空间几何体1. 空间几何体的结构（ 1）柱、锥
18、、台、球的结构特征：棱柱：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点），表示方法棱锥：定义，基本元素（底面、侧面、侧棱、顶点），表示方法棱台：定义，基本元素（底面（上、下）、侧面、侧棱、顶点） ，表示方法7高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳圆柱：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法圆锥：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法圆台：定义，基本元素（底面、侧面、轴、母线），表示方法球：定义，基本元素（球心、半径（直径），表示方法（ 2）简单组合体：一种是由简单几何体拼接，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成2. 空间几何体的三视图和直观图（ 1）中心投影与平行投影：投
19、影，投影线，投影面；中心投影，平行投影（ 2）空间几何体的三视图三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下画三视图的原则：长对正（正视、 俯视有长）、高平齐（正视、侧视有高） 、宽相等（侧视、 俯视有宽）（ 3）直观图：斜二测画法平面图形斜二测画法 确定坐标系：x o y （x o y450 ） 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； 平行于 y 轴的线长度变半，平行于x ， z 轴的线长度不变；几何体斜二测画法：一画轴二画底面三画侧棱四成图3. 空间几何体的表面积与体积（ 1）空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 S2 rl2r 2圆锥的表面积 Srlr
20、 2圆台的表面积 S( R2r 2Rl rl )球的表面积 S4 R2（ 2）空间几何体的体积柱体的体积VS底h锥体的体积V1 Sh底3V1S上 S下S下 ) h台体的体积（ S上3球体的体积V4 R 33第二章 点、直线、平面之间的位置关系8高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳1. 空间点、直线、平面之间的位置关系DC（ 1）平面含义：平面是无限延展的（ 2）平面的画法及表示AB 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的 2 倍长（如图） 平面通常用希腊字母 、 、 等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的
21、两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等。（ 3） 三个公理：公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为： A L， BL， 且 A ， B lA L公理 1 作用：判断直线是否在平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。AB符号表示为： A、 B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ， C使 A 、B 、 C 。公理 2 作用：确定一个平面的依据。公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为： P = =L，且 P L公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据PL2. 空间中直线
22、与直线之间的位置关系（ 1）空间的两条直线有如下三种关系：共面直线：相交直线（同一平面内，有且只有一个公共点）平行直线（同一平面内，没有公共点）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（ 2）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、 b、 c 是三条直线a b， c ba c强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。（ 3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补（ 4）异面直线所成的角：已知异面直线a, b ，经过空间任一点O 作直线 a/ a,b / b ，则
23、a 与 b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与 b 所成的角（或夹角） a 与 b 所成的角的大小只由a, b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上或空间图形的特殊位置上； 两条异面直线所成的角(0,；2 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a b；9高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。3. 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系平行问题：（ 1）直线与平面有三种位置关系：直线在平面内有无数个公共点
24、直线与平面相交有且只有一个公共点直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示aaAa /（ 2）直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内a的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。b符号表示： a, b, 且 a / ba /（ 3）平面与平面平行的判定两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为：线面平行，则面面平行符号表示：a,b,abP, a /,b /判断两平面平行的方法有三种：用定义；判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行。（ 4）直线与平
25、面、平面与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行，则线线平行符号表示： a /, a,ba / b作用：利用该定理可判断直线的平行问题。结论： a, b,a /b /定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。10高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳简记为：面面平行，则线线平行。符号表示：/ , aa,ba / b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行结论：夹在两平行平面间的平行线段相等。垂直问题：（ 5）直线与平面垂直l定义 ：如果直线 l 与平面l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
26、互相垂直，记作 l ，直线 l 叫做平面的垂线，平面叫做直线 l 的垂面。如图，直线与平面垂直时 , 它们唯一公共点P 叫做垂足。P判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示： la,lb, a, b, a bP la) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。重要结论： a / b, abaP直线与平面所成的角：AO如图： PA 是平面A 为斜足， PO 是平面的一条斜线，的一条垂线，O 为垂足；则直线 AO 为斜线 PA 在平面内上的射影 .平面的一条斜线和它在平面上的射影
27、所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角(6) 平面与平面垂直二面角（图形）概念：从一直线出发的两个半平面所组成的图形( 如图 ) ，这条直线叫做二面角的棱（ AB ），两个半平面（ ,）叫做二面角的面记法：二面角 P AB Q或 Pl Q或 -l等PBMl二面角的平面角：如图：在平面和内分别作垂直于棱l 的射线OQANOM , ON , 则射线 OM 和ON 构成的MON 叫做二面角的平面角二面角的平面角的做法：垂线法与垂面法当二面角的平面角为直角时叫做直二面角。两个平面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记作：画法（略）判定定理：一个平面过另
28、一个平面的垂线，则这两个平面垂直。图形（略）符号： a, a11高中数学必备 (必须理解与记忆)知识点归纳性质：定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。符号： a, ba / b定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号：,l , a, ala第三章直线与方程1. 直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角 .特别地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,规定 = 0 .倾斜角 的取值范围： 0 180 . 当直线 l 与 x 轴垂直时 , = 9
29、0 .直线的斜率 :一条直线的倾斜角 ( 90 ) 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母k 表示 , 也就是 k =tan 当直线 l与 x 轴平行或重合时 , =0 , k = tan0 =0;当直线 l与 x 轴垂直时 , = 90 , k不存在 .由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 .直线的斜率公式 :给定两点 P1( x1 , y1), P2 ( x2 , y2 ),且 x1y2y1x2 ；则直线 P1P2 的斜率为 kx1x22. 两条直线的平行与垂直两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率
30、相等，那么它们平行，即注意前提条件，若情况特殊则特殊判断两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即l1l2k1k21注意前提条件，若情况特殊则特殊判断3.直线的方程直线的 点斜式 方程：直线 l 经过点 P0 ( x0 , y0 ) ，且斜率为 k 的直线方程：yy0k( xx0 )直线的 斜截式 方程：已知直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 (0, b) （ b 为直线 l 在 y 轴上的 截距 ），ykxb12高中数学必备 (必须理解与记忆 )知识点归纳直线的 两点式 方程：已知两点P1 ( x1 , x2
31、 ), P2 ( x2 , y2 ) 其中 ( x1 x2 , y1y2 ) ，则直线方程为：yy1xx1y2y1x2x1直线的 截距式 方程：已知直线l 与 x 轴的交点为A (a,0) ，与 y 轴的交点为B ( 0,b) ，其中a 0,b 0 ，则直线方程为xya1b直线的一般式方程：关于x, y 的二元一次方程 AxBy C 0（ A， B 不同时为 0）注意：理解各种直线方程得推导过程会对特殊情况进行分类讨论各种直线方程之间的互化4. 直线的交点坐标与距离公式两直线的交点坐标：联立方程组求解即可两点间的距离公式：若P1 (x1 , x2 ), P2 (x2 , y2 ) ，则 PP12(x2x1) 2( y2 y1 )2点到直线距离公式：点P( x0 , y0 ) 到直线 l : AxBy CAx0By0C0 的距离为： dA2B 2两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1 和 l2 的一般式方程为l1 ： AxBy C10 ， l2： AxByC20
