1、一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图1，已知扇形MON的半径为，MON=90，点B在弧MN上移动，联结BM，作ODBM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，COM的正切值为y.（1）如图2，当ABOM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当OAC为等腰三角形时，求x的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) .();(3) .【解析】分析：（1）先判断出ABM=DOM，进而判断出OACBAM，即可得出结论；（2）先判断出BD=DM，进而得出，进而得出AE=，再判断出，即可得出结论；（3）分三
2、种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论详解：（1）ODBM，ABOM，ODM=BAM=90ABM+M=DOM+M，ABM=DOMOAC=BAM，OC=BM，OACBAM， AC=AM（2）如图2，过点D作DEAB，交OM于点EOB=OM，ODBM，BD=DMDEAB，AE=EMOM=，AE=DEAB， （）（3）（i） 当OA=OC时在RtODM中，解得，或（舍）（ii）当AO=AC时，则AOC=ACOACOCOB，COB=AOC，ACOAOC，此种情况不存在（）当CO=CA时，则COA=CAO=CAOM，M=90，90，45，BOA=290BOA90，此种情况不存在即：当OAC为等腰
3、三角形时，x的值为点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键2如图，AB为O的直径，AC为O的弦，AD平分BAC，交O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E（1）判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若AE8，O的半径为5，求DE的长【答案】（1）直线DE与O相切（2）4【解析】试题分析：（1）连接OD，AD平分BAC，EAOD，DEEA，DEOD，又点D在O上，直线DE与O相切（2）如图1，作DFAB，垂足为F，EADFAD，在RtDOF中，考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评
4、：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长3如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF（1）求证：DF是O的切线；（2）若DB平分ADC，AB=DE=41，求DE的长【答案】(1)见解析;(2) 【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出FDO=FCO=90，得出答案即可； （2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用ADCACE，得出
5、AC2=ADAE，进而得出答案详解：（1）连接OD OD=CD，ODC=OCD AC为O的直径，ADC=EDC=90 点F为CE的中点，DF=CF=EF，FDC=FCD，FDO=FCO 又ACCE，FDO=FCO=90，DF是O的切线 （2）AC为O的直径，ADC=ABC=90 DB平分ADC，ADB=CDB，=，BC=AB=5在RtABC中，AC2=AB2+BC2=100 又ACCE，ACE=90，ADCACE，=，AC2=ADAE设DE为x，由AD：DE=4：1，AD=4x，AE=5x，100=4x5x，x=，DE= 点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2
6、=ADAE是解题的关键4已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，CMD的外角平分线交O1于点E，AB是弦，且ABCD，直线DM的解析式为y=3x+3（1）如图1，求O1半径及点E的坐标（2）如图2，过E作EFBC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦ABCD，试问：BF+CF与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明（3）在（2）的条件下，EF交O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG的长（不写过程），若变化自画图说明理由【答案】（1）r=5 E（4，5） （2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于5 【解析】分
7、析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到ECD=SME=EMC=EDC，从而可以证到EO1D=EO1C=90由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3设O1的半径为r在RtMOO1中利用勾股定理就可解决问题 （2）过点O1作O1PEG于P，过点O1作O1QBC于Q，连接EO1、DB，如图2由ABDC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，PO1Q=90，进而有EO1P=CO1Q，从而可以证到EPO1CQO1，则有PO1=QO1根据三角形中位线定理可得FQ=BD从而可以得到BF+CF=2FQ=AC （3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3
8、易证EFBD，则有GEB=EBD，从而有=，也就有BG=DE在RtEO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1 ME平分SMC，SME=EMC SME=ECD，EMC=EDC，ECD=EDC，EO1D=EO1C EO1D+EO1C=180，EO1D=EO1C=90 直线DM的解析式为y=3x+3，点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，0），OD=1，OM=3 设O1的半径为r，则MO1=DO1=r 在RtMOO1中，（r1）2+32=r2 解得：r=5，OO1=4，EO1=5，O1半径为5，点E的坐标为（4，5） （2）BF+CF=AC理由
9、如下： 过点O1作O1PEG于P，过点O1作O1QBC于Q，连接EO1、DB，如图2 ABDC，DCA=BAC，=，BD=AC O1PEG，O1QBC，EFBF，O1PF=PFQ=O1QF=90，四边形O1PFQ是矩形，O1P=FQ，PO1Q=90，EO1P=90PO1C=CO1Q 在EPO1和CQO1中，EPO1CQO1，PO1=QO1，FQ=QO1 QO1BC，BQ=CQ CO1=DO1，O1Q=BD，FQ=BD BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，BF+CF=BD=AC （3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3 DC是O1的直径，DBC=90，DBC+EFB=180
10、，EFBD，GEB=EBD，=，BG=DE DO1=EO1=5，EO1DO1，DE=5，BG=5，弦BG的长度不变，等于5点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度而由ABDC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EGDB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键5如图，AB是O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DFAB于点F，交O于点H，连接DC，AC（1）求证：AEC=90；（2）试判断以点A
11、，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与O切点C，则OCE=90，由题意得，DAC=CAB，即可证明AEOC，则AEC+OCE=180，从而得出AEC=90；（2）四边形AOCD为菱形由（1）得，则DCA=CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD根据四边形AOCD为菱形，得OAD是等边三角形，则AOD=60，再由DHAB于点F，AB为直径，在RtOFD中
12、，根据sinAOD=，求得DH的长试题解析：（1）连接OC，EC与O切点C，OCEC，OCE=90，点CD是半圆O的三等分点，DAC=CAB，OA=OC，CAB=OCA，DAC=OCA，AEOC（内错角相等，两直线平行）AEC+OCE=180，AEC=90；（2）四边形AOCD为菱形理由是：，DCA=CAB，CDOA，又AEOC，四边形AOCD是平行四边形，OA=OC，平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD四边形AOCD为菱形，OA=AD=DC=2，OA=OD，OA=OD=AD=2，OAD是等边三角形，AOD=60，DHAB于点F，AB为直径，DH=2DF，
13、在RtOFD中，sinAOD=，DF=ODsinAOD=2sin60=，DH=2DF=2考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形6（1）问题背景如图，BC是O的直径，点A在O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证：PA=PB+PC小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将PAC绕着点A顺时针旋转90至QAB（如图）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证请你根据小明同学的思考过程完成证明过程（2）类比迁移如图，O的半径为3，点A，B在O上，C
14、为O内一点，AB=AC，ABAC，垂足为A，求OC的最小值（3）拓展延伸如图，O的半径为3，点A，B在O上，C为O内一点，AB=AC，ABAC，垂足为A，则OC的最小值为 【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是33；（3）【解析】试题分析：（1）将PAC绕着点A顺时针旋转90至QAB（如图），只要证明APQ是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图中，连接OA，将OAC绕点O顺时针旋转90至QAB，连接OB，OQ，在BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图构造相似三角形即可解决问题作AQOA，使得AQ=OA，连接OQ，BQ，OB由QABOAC，推出BQ=OC，当BQ最小时，OC最
15、小；试题解析：（1）将PAC绕着点A顺时针旋转90至QAB（如图）；BC是直径，BAC=90，AB=AC，ACB=ABC=45，由旋转可得QBA=PCA，ACB=APB=45，PC=QB，PCA+PBA=180，QBA+PBA=180，Q，B，P三点共线，QAB+BAP=BAP+PAC=90，QP2=AP2+AQ2=2AP2，QP=AP=QB+BP=PC+PB，AP=PC+PB（2）如图中，连接OA，将OAC绕点A顺时针旋转90至QAB，连接OB，OQ，ABAC,BAC=90,由旋转可得QB=OC，AQ=OA，QAB=OAC，QAB+BAO=BAO+OAC=90，在RtOAQ中，OQ=3，AO
16、=3 ，在OQB中，BQOQOB=33 ，即OC最小值是33；（3）如图中，作AQOA，使得AQ=OA，连接OQ，BQ，OBQAO=BAC=90，QAB=OAC，=，QABOAC，BQ=OC，当BQ最小时，OC最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQOQOB，OQ2，BQ的最小值为2，OC的最小值为2=，故答案为【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.7如图，AB是O的直径，弦BCOB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接BD分别交OC，OE于点F，G（1）求DGE的度数；（2）若，求的值；（3）记CFB，DGO的面积分别为S1，S2，若k，求的
17、值（用含k的式子表示）【答案】(1)DGE60；(2)；(3)=.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得DGE的度数；（2）过点F作FHAB于点H设CF1，则OF2，OCOB3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得FGOFCB，进而求得的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出的值【详解】解：(1)BCOBOC，COB60，CDBCOB30，OCOD，点E为CD中点，OECD，GED90，DGE60；(2)过点F作FHAB于点H设CF1，则OF2，OCOB3COB60OHOF1，HFOH，HBOBOH2
18、，在RtBHF中，BF，由OCOB，COB60得：OCB60，又OGBDGE60，OGBOCB，OFGCFB，FGOFCB，GF=，=.(3)过点F作FHAB于点H，设OF1，则CFk，OBOCk+1，COB60，OHOF=，HF，HBOBOHk+，在RtBHF中，BF，由(2)得：FGOFCB，即，GO，过点C作CPBD于点PCDB30PCCD，点E是CD中点，DECD，PCDE，DEOE，= 【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答8已知，内接于，点是弧的中点，连接、；（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若平分，
19、求证：；（3）在（2）的条件下，若，求的值【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)2.【解析】【分析】(1)由点P是弧AB的中点，可得出AP=BP, 通过证明 ,可得出进而证明AB PC.(2)由PA是CPM的角平分线，得到MPA=APC, 等量代换得到ABC=ACB, 根据等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.(3)过A点作ADBC,有三线合一可知AD平分BC,点O在AD上，连结OB，则BODBAC，根据圆周角定理可知BOD=BAC, BPC=BAC，由BOD=BPC可得 ,设OB= ，根据勾股定理可算出OB、BD、OD、AD的长，再次利用勾股定理即可求得AP的值.【详解】解：（1）点P
20、是弧AB的中点，如图1，APBP，在APC和BPC中，APCBPC（SSS），ACPBCP，在ACE和BCE中，ACEBCE（SAS），AECBEC，AEC+BEC180，AEC90，ABPC；（2）PA平分CPM，MPAAPC，APC+BPC+ACB180，MPA+APC+BPC180，ACBMPAAPC，APCABC，ABCACB，ABAC；（3）过A点作ADBC交BC于D，连结OP交AB于E，如图2，由（2）得出ABAC，AD平分BC，点O在AD上，连结OB，则BODBAC，BPCBAC，=，设OB25x，则BD24x，OD7x，在中，AD25x+7x32x，BD24x，AB40x，AC
21、8，AB40x8，解得：x0.2，OB5，BD4.8，OD1.4，AD6.4，点P是的中点，OP垂直平分AB，AEAB4，AEPAEO90，在中，OE，PEOPOE532，在中，AP【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较大.9如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O与边BC交于点D，DEAC，垂足为E，交AB的延长线于点F(1)求证：EF是O的切线；(2)若C60，AC12，求的长(3)若tanC2，AE8，求BF的长【答案】(1)见解析;(2) 2；(3).【解析】分析：（1）连接O
22、D，根据等腰三角形的性质：等边对等角，得ABC=C，ABC=ODB，从而得到C=ODB ，根据同位角相等，两直线平行，得到ODAC，从而得证ODEF，即 EF是O的切线； （2） 根据中点的性质，由AB=AC=12 ，求得OB=OD=6，进而根据等边三角形的判定得到OBD是等边三角形，即BOD=600，从而根据弧长公式七届即可；（3）连接AD ，根据直角三角形的性质，由在RtDEC中, 设CE=x,则DE=2x，然后由RtADE中, ，求得DE、CE的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解：（1）连接OD AB=AC ABC=COD=OB ABC=ODB C=ODB ODAC又DEA
23、C ODDE，即ODEF EF是O的切线 （2） AB=AC=12 OB=OD=6由（1）得：C=ODB=600 OBD是等边三角形 BOD=600 = 即的长（3）连接AD DEAC DEC=DEA=900在RtDEC中, 设CE=x,则DE=2xAB是直径 ADB=ADC=900ADE+CDE=900 在RtDEC中,C+CDE=900C=ADE 在RtADE中, AE=8，DE=4 则CE=2 AC=AE+CE=10 即直径AB=AC=10 则OD=OB=5OD/AE ODFAEF 即：解得：BF= 即BF的长为.点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形
24、以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用10如图，AB为O的直径，且ABm（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A点作O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E（1）当DCAB时，则 ；（2）当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；设CD长为t，求ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当时，求的值【答案】（1）；（2）DA+DBDC，St2m2 ；（3）.【解析】【分析】（1）首先证明当DCAB时，DC也为圆的直径，且ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；（2）分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，
25、BC，分别构造ADM和BDN两个等腰直角三形及NBC和MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；通过完全平方公式（DA+DB）2DA2+DB2+2DADB的变形及将已知条件ABm代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果【详解】解：（1）如图1，AB为O的直径，ADB90，C为的中点，ADCBDC45，DCAB，DEADEB90，DAEDBE45，AEBE，点E与点O重合，DC为O的直径，DCAB，在等腰直角三角形DAB中，DADBAB，DA+DBABCD，； （2）如图2，过点A作AMDC于M，过点B作
26、BNCD于N，连接AC，BC，由（1）知，ACBC，AB为O的直径，ACBBNCCMA90，NBC+BCN90，BCN+MCA90，NBCMCA，在NBC和MCA中，NBCMCA（AAS），CNAM，由（1）知DAEDBE45，AMDA，DNDB，DCDN+NCDB+DA（DB+DA），即DA+DBDC；在RtDAB中，DA2+DB2AB2m2，（DA+DB）2DA2+DB2+2DADB，且由知DA+DBDCt，（t）2m2+2DADB，DADBt2m2，SADBDADBt2m2，ADB的面积S与t的函数关系式St2m2；（3）如图3，过点E作EHAD于H，EGDB于G，则NEME，四边形DHEG为正方形，由（1）知，ACBC，ACB为等腰直角三角形，ABAC，设PD9，则AC20，AB20，DBADBA，PABADB，ABDPBA，DB16，AD12，设NEMEx，SABDADBDADNE+BDME，121612x+16x，x，DEHEx，又AOAB10，【点睛】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系
