1、函数的单调性与最值函数的单调性与最值第第2 2课时课时喷泉喷出的抛物线型水柱到达喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点最高点”后便下落后便下落，经历了先，经历了先“增增”后后“减减”的过程，从中我们发现的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系联系”，让我们来研究让我们来研究 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值.观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：yxox0图图2MB探究点探究点1 1 函数的最大值函数的最大值思考思考1 1 这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？【解答解答】第一个函数图象有最高点第一个函数图象
2、有最高点A A,第二个函数图第二个函数图象有最高点象有最高点B B,也就是说也就是说,这两个函数的图象都有最高这两个函数的图象都有最高点点.思考思考2 2 设函数设函数y=f(x)y=f(x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M,M,则则对函数定义域内任意自变量对函数定义域内任意自变量x,f(x)x,f(x)与与M M的大小关系如的大小关系如何何?【解答解答】f(x)M f(x)M最高点的纵坐标即最高点的纵坐标即是函数的最大值！是函数的最大值！最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存，如果存在实数在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任
3、意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的最大值的最大值 请同学们仿此给请同学们仿此给出函数最小值的出函数最小值的定义定义最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存，如果存在实数在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的最小值的最小值 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）注意：注意：1、
4、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)=M；思考：思考：是否每一个函数都有最值？举例说明.例1.求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 12xy解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则)1)(1()(2 )1)(1()1()1(2 1212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf 典例讲解典例讲解 由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(,0)()(2121xfxfxfxf 即所以，函数 是区间2,6上的减函数.12xy 因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，
5、最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.12xy12xy 求函数求函数 的最大值的最大值.16(),2,10f xxxx解解:任取任取x1,x2,x1,x2 2,10,且且x1 x2,1212121616()()()()f xf xxxxx121212()(16)xxx xx x 当当 时时,1224xx 12120160.xxx x ，1212()()0,()().f xf xf xf x即即所以所以函数函数f(x)在在2,4上是减函数上是减函数.同理同理函数函数f(x)在在4,10上是增函数上是增函数.知识延伸：知识延伸：题后感悟题后感悟(1)如何根据单调性求函数值域或如何根据单调
6、性求函数值域或最值？最值？求函数的定义域；求函数的定义域；证明函数在相应区间上的单调性；证明函数在相应区间上的单调性；求出函数在定义域上的最值；求出函数在定义域上的最值；写出值域或最值写出值域或最值注意注意务必首先求出定义域务必首先求出定义域(2)函数的最值与单调性的关系函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间若函数在闭区间a，b上是减函数，则上是减函数，则f(x)在在a，b上的最大值为上的最大值为f(a)，最小值为，最小值为f(b)；若函数在闭区间若函数在闭区间a，b上是增函数，则上是增函数，则f(x)在在a，b上的最大值为上的最大值为f(b)，最小值为，最小值为f(a)例例2.求下列函数的最
7、值求下列函数的最值.（1）(2).)3(类讨论区间的位置关系进行分，就对称轴与给定配方，写出对称轴方程分析：最小值。上的在求函数 1,112)()3(2axxxf2();f xx 2()21,0,3)f xxxx 22min2min(3)()1()1()1,1()(1)2;11()1,1()()1;()f xf xxaaf xf xfaaf xf xf aax aa 函数图像的对称轴方程为且函数图像开口向上。当时，在上单调递减，故当时，在上先减后增，故2min()2(1),()1(11),2(1).f xa af xaaa a 综上，可知的最小值为;2)1(1,1-)(1)(minafxfax
8、f故上单调递增，在时，当【题后感悟】【题后感悟】(1)如何求二次函数在闭区间如何求二次函数在闭区间m,n上的最值？上的最值？确定二次函数的对称轴，如确定二次函数的对称轴，如x=a;根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论；论；结合图象明确函数的单调区间进而求解结合图象明确函数的单调区间进而求解.(2)二次函数在闭区间上的最值只可能在区间二次函数在闭区间上的最值只可能在区间的端点处及二次函数图象的对称轴处取得的端点处及二次函数图象的对称轴处取得.跟踪练习.解析：解析：f(x)x22x3(x1)22，其对，其对称轴为称轴为x1，开口向上，开口向上(1)当当x2,0
9、时，时，f(x)在在2,0上是单调递减上是单调递减的，的，故当故当x2时，时，f(x)有最大值有最大值f(2)11；当当x0时，时，f(x)有最小值有最小值f(0)3.).()(1,3)(3,22)(0,2)1(,32)(2tgxfttxxfxxfxxxfx的最小值时，求）当（的最值；时，求）当（的最值；时，求当已知二次函数(2)当当x2,3)时，时，f(x)在在2,3)上是先减后增上是先减后增的，的，故当故当x1时，时，f(x)有最小值有最小值f(1)2，又又|21|31|，f(x)的最大值为的最大值为f(2)11.(3)当当t1时，时，f(x)在在t，t1上单调递增，所以当上单调递增，所以
10、当xt时，时，f(x)取得最小值，取得最小值，此时此时g(t)f(t)t22t3.利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方法 2.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小小)值值 1.利用图象求函数的最大利用图象求函数的最大(小小)值值 3.利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值值（1 1）如果函数）如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函，则函数数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b)；（2 2）如果函数）如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在，在区间区间b，c上单调递上单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小最小值值f(b)；教材教材3939页页A A组组5 5、B B组组3.3.
