1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约如约公元公元5050100100年编成的年编成的九章算术九章算术，就给出了求一次方程、二次方程，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法和三次方程根的具体方法 1111世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。13 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法解法今天我们来学
2、习方程的根与函数的零点！今天我们来学习方程的根与函数的零点！1.1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点）（难点）2.2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.(易错点）易错点）3.3.会求函数的零点会求函数的零点.（重点）（重点）探究：探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？（1 1）方程）方程x x2 2-2x-3=0-2x-3=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x-3-2x-3（2 2）方程）方程x x
3、2 2-2x+1=0-2x+1=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x+1-2x+1（3 3）方程）方程x x2 2-2x+3=0-2x+3=0与函数与函数y=xy=x2 2-2x+3-2x+3方程方程x x2 2-2-2x x+1=0+1=0 x x2 2-2-2x x+3=0+3=0y y=x x2 2-2-2x x-3-3y y=x x2 2-2-2x x+1+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x x1 1=-1,=-1,x x2 2=3=3x x1 1=x x2 2=1=1无实数根无实数根(-1,0)(-1,0)、(3,0)(3,0)(1,0)(1,0)无交点无交点
4、x x2 2-2-2x x-3=0-3=0.x xy yO O1 13 32 21 11 12 25 54 43 3y y=x x2 2-2-2x x+3+3函数的图象函数的图象与与x x轴的交点轴的交点.y yx x1 12 21 11 12 2O Ox xy y1 13 32 21 11 12 21 12 23 34 4.0 0.方程方程axax2 2+bxbx+c+c=0(=0(a a0)0)的根的根函数函数y y=axax+bxbx+c c(a a0)0)的图象的图象判别式判别式=b b2 24 4acac0 0=0=00 0函数的图象函数的图象与与x x轴的交点轴的交点有两个相等的有
5、两个相等的实数根实数根x x1 1=x x2 2没有实数根没有实数根x xy yx x1 1x x2 20 0 x xy y0 0 x x1 1x xy y0 0(x x1 1,0),(,0),(x x2 2,0),0)(x x1 1,0),0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x x1 1、x x2 2一般结论一般结论 一般地，方程一般地，方程f(x)=0f(x)=0的实数根，也就是其对应函数的实数根，也就是其对应函数y=f(x)y=f(x)的的图象与图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标.即方程即方程f(x)f(x)0 0有实数根有实数根 函数函数y yf(x)f(x)
6、的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的实数的实数x x叫做叫做函数函数y=f(x)y=f(x)的零点的零点.函数零点的定义：函数零点的定义：注意：注意：零点不是一零点不是一个点个点零点指的是一个实数零点指的是一个实数方程方程f(x)f(x)0 0有实数根有实数根 函数函数y yf(x)f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点 函数函数y yf(x)f(x)有零点有零点方程方程 的根是函数的根是函数 的图象与的图象与 轴的轴的交点的横坐标交点的横坐标.()0fx()yfxx结论结论由此可知，求方程由此可
7、知，求方程f(x)=0f(x)=0的实数根，就是求函数的实数根，就是求函数y=f(x)y=f(x)的零点的零点.对于不能用公式法求根的方程对于不能用公式法求根的方程f(x)=0f(x)=0来说，可以将它与函数来说，可以将它与函数y=f(x)y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.()0fx函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x x轴交点的横坐轴交点的横坐标标.零点零点是是对于函数而言，根对于函数而言，根是是对于方程而言对于方程而言例例1 1 函数函数f(x)=x(xf(x)=x
8、(x4)4)的零点为（的零点为（）A A(0(0，0)0)，(2(2，0)0)B B0 0 C C(4(4，0)0)，(0(0，0)0)，D D4 4，0 0D D由由x(xx(x4)=04)=0得得x=0 x=0或或x=4.x=4.注意：函数的零点是实数，而不是点注意：函数的零点是实数，而不是点.探究：探究：如何求函数的零点？如何求函数的零点？哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？（1 1）（2 2）如何求函数的零点？如何求函数的零点？1 12 23 34 4 5 51 12 23 34 45 5x xy yO O-1-1-2-2-1-1-4-4-3-3-2
9、-2观察二次函数观察二次函数f f(x x)x x2 22 2x x3 3的图象：的图象：在区间在区间-2-2，11上有零点上有零点_；f f(-2)=_(-2)=_，f f(1)=_(1)=_，f f(-2)(-2)f f(1)_0(1)_0(填填“”或或“”)在区间在区间(2(2，4)4)上有零点上有零点_；f f(2)(2)f f(4)_0(4)_0（填填“”或或“”）x=1 14 45 5 x=3=3 1 12 23 3 4 45 51 12 23 34 45 5xyO O-2-2-1-1-4-4-3-3-2-2-1-1xyOabcd思考：观察图象填空，在怎样的条件下，思考：观察图象填
10、空，在怎样的条件下，函数函数 在区间在区间 上存在零点？上存在零点？()yfx,ad有有 有有 有有 在区间在区间(a,b)(a,b)上上,f(a)f(b)_0(,f(a)f(b)_0(填填“”或或“”)在区间在区间(a,b)(a,b)上上,_(,_(填填“有有”或或“无无”)零零点；点；在区间在区间(b,c)(b,c)上上,f(b)f(c)_0(,f(b)f(c)_0(填填“”或或“”)在区间在区间(b,c)(b,c)上上,_(,_(填填“有有”或或“无无”)零零点；点；在区间在区间(c,d)(c,d)上上f(c)f(d)_0(f(c)f(d)_0(填填“”或或“”)在区间在区间(c,d)(
11、c,d)上上,_(,_(填填“有有”或或“无无”)零点；零点；有有xyOabc【提升总结提升总结】如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b),c(a,b),使得使得f(c)=0,f(c)=0,这个这个c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根。的根。例例2 2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例判断正误，若不正确，请使用函数
12、图象举出反例（1 1）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且f(a)f(b)0f(a)f(b)0，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有且仅有一个内有且仅有一个零点零点.（）（2 2）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且f(a)f(b)f(a)f(b)0 0，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内没有零点内没有零点.（）（3 3）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上满足上满足f(a)f(b)0f(a)f(b)0，则，则f(x)f
13、(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内存在零点内存在零点.（）解：解：（1 1）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且f(a)f(a)f(b)0f(b)0，则，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有且仅有一个内有且仅有一个零点零点.（）abOxy如图如图,函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上有上有3 3个零点个零点,故故“在区间在区间(a,b)(a,b)内有且仅有一内有且仅有一个零点个零点”的说法是错误的的说法是错误的.（2 2）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上连
14、续，且上连续，且f(a)f(a)f(b)f(b)0 0，则，则f(x)f(x)在在区间区间(a,b)(a,b)内没有零点内没有零点.（）a ab bO Ox xy y可知，函数可知，函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上连续，且上连续，且f(a)f(a)f(b)f(b)0 0，但，但f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点.故论断不正确。故论断不正确。如图如图,（3 3）已知函数）已知函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上满足上满足f(a)f(a)f(b)0f(b)0，则则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内存在零点内存在零
15、点.（）abOxy虽然函数虽然函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上满足上满足f(a)f(a)f(b)0,f(b)0,但是图但是图象象不是连不是连续的曲线，则续的曲线，则f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内不存在零点内不存在零点.如图如图,若函数若函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在区间在区间a,ba,b上的图象上的图象是连续不断的曲线，且函数是连续不断的曲线，且函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在(a,(a,b)b)内有零点，则内有零点，则f(a)f(b)f(a)f(b)的值的值()()A.A.大于大于0 B.0 B.小于小于0 0 C
16、.C.无法判断无法判断 D.D.等于等于0 0C C 【变式练习变式练习】由表可知由表可知f(2)0f(2)0f(3)0，由于函数由于函数f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内内是增函数，所以它仅有一个零是增函数，所以它仅有一个零点点用计算器或计算机作出用计算器或计算机作出x x、f(x)f(x)的对应值表和图象；的对应值表和图象；例例3.3.求函数求函数f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6的零点的个数的零点的个数.解：解：x x1 12 23 34 45 56 67 78 89 9f(x)f(x)-4-4-1.306 9-1.306 91.098 61.098
17、63.386 33.386 35.609 45.609 47.791 87.791 89.945 99.945 912.079 412.079 414.197 214.197 2方法一方法一f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6从而从而f(2)f(2)f(3)0,f(3)0,函数函数f(x)f(x)在区间在区间(2,3)(2,3)内有零点内有零点10108 86 64 42 2-2-2-4-45 51 1 2 2 3 3 4 46 6x xy yO Oy=y=2x+62x+6y=lnxy=lnx6 6Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y即求方程即求方程lnx+2x-6=0l
18、nx+2x-6=0的根的个数，即求的根的个数，即求lnx=6-2xlnx=6-2x的根的个数，即判断函数的根的个数，即判断函数y=lnxy=lnx与函数与函数y=6-2xy=6-2x的交点个数的交点个数如图可知，只有一个交点，即如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数方程只有一根，函数f(x)f(x)只有只有一个零点一个零点.方法二：方法二：如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条曲上的图象是连续不断的一条曲线线,并且有并且有f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,那么那么,函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有
19、零点内有零点.【提升总结提升总结】求方程求方程2 2-x-x=x=x的根的个数，并确定根所在的区间的根的个数，并确定根所在的区间nn，n+1(nZ)n+1(nZ)解：解：求方程求方程 的根的个数，即求方程的根的个数，即求方程 的根的个数，即判断函数的根的个数，即判断函数 与与 的图象交点个数的图象交点个数.由图可由图可知只有一个解知只有一个解.2xx1()2xxyx1()2xyy=x y=x 1 1Ox x1 1 2 2 3 3 4 4y y1()2xy【变式练习变式练习】估算估算f(x)f(x)在各整数处的取值的正负：在各整数处的取值的正负：1()()2xfxx令令由上表可知，方程的根所在区
20、间为由上表可知，方程的根所在区间为0,1.x x0 01 12 23 3f(x)f(x)+22210 1.()(,)fxaxxa 若若 函函 数数在在内内 恰恰 有有 一一 个个 零零 点点，则则的的 取取 值值 范范 围围 是是11.()fxxx 函函 数数零零 点点 的的 个个 数数 是是B1.a .无数个无数个D 01.a A1.a C11.a （）（）3.3.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3+x-1+x-1在下列哪个区间内有零点（在下列哪个区间内有零点（)A.(-2A.(-2，-1)B.(0-1)B.(0，1)1)C.(1C.(1，2)D.(22)D.(2，3)3)B B4.4.
21、函数函数f(x)=2f(x)=2x x+3x+3x的零点所在的一个区间是的零点所在的一个区间是()()A.(-2,-1)B.(-1,0)A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)C.(0,1)D.(1,2)【解析解析】f(x)=2f(x)=2x x+3x,f(-1)=-+3x,f(-1)=-0,0,f(0)=1f(0)=10.0.52B B()()()0(),()连 续，则 函 数在内 存 在 唯 一 零 点单 调，fxfafbfxa bfx()(),()()0连 续，则 函 数在内 存 在 零 点，fxfxa bfafb方程有实数根方程有实数根 函数的图象与函数的图象与 轴有交点轴有交点 函数函数有零点有零点.x零点的求法零点的求法代数法、图象法代数法、图象法如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪儿也去不了。
