1、第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点一、函数的零点一、函数的零点1.1.定义定义若实数若实数x x是函数是函数y=f(x)y=f(x)的零点，则需满足条件的零点，则需满足条件_._.2.2.方程的根、函数的图象、函数的零点三者之间的关系方程的根、函数的图象、函数的零点三者之间的关系方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有轴有_函数函数y=f(x)y=f(x)有有_._.f(x)=0f(x)=0交点交点零点零点思考：思考：函数函数y=xy=x2 2有零点吗有零点吗?提示：提示：x=0 x=0时，时，
2、y=0y=0，函数有零点，是函数有零点，是0.0.二、函数零点的判断二、函数零点的判断条件条件:(1):(1)函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间_上的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线条曲线;(2)_.(2)_.结论：函数结论：函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点,即存在即存在_,_,使使得得f(c)=0f(c)=0，这个，这个c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根的根.a,ba,bf(a)f(b)0f(a)f(b)0c(a,b)c(a,b)判断：判断：(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(
3、1)只要方程有实数根，则相对应的函数图象一定与只要方程有实数根，则相对应的函数图象一定与x x轴有交点轴有交点.().()(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间2,62,6上有上有f(2)f(6)0f(2)f(6)0，则函数在此区间内有零点，则函数在此区间内有零点.().()(3)(3)设设f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上是连续的且是单调函数上是连续的且是单调函数,且且f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,则方程则方程f(x)=0f(x)=0在闭区间在闭区间a,ba,b内有唯一实数根内有唯一实数根.().()提示：提示：(1)(1)正确，方程的实数根就是函数图象与正确
4、，方程的实数根就是函数图象与x x轴交点的横坐标，即函数的零点，轴交点的横坐标，即函数的零点，故此说法正确故此说法正确.(2)(2)错误错误.不知道该函数在此区间内的图象是否连续不知道该函数在此区间内的图象是否连续.(3)(3)正确正确.由函数是连续的且由函数是连续的且f(a)f(a)f(b)0f(b)0知，知，f(x)=0f(x)=0在在a,ba,b上至少有一实数上至少有一实数根根,又又f(x)f(x)在在a,ba,b上单调上单调,从而可知必有唯一实数根从而可知必有唯一实数根.答案：答案：(1)(2)(1)(2)(3)(3)【知识点拨知识点拨】1.1.对函数零点概念的认识对函数零点概念的认识
5、(1)(1)函数的零点的本质是方程函数的零点的本质是方程f(x)=0f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数个实数,当函数的自变量取这个实数时当函数的自变量取这个实数时,函数值为零函数值为零.(2)(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根若方程没有实数根,则函则函数没有零点数没有零点,反映在图象上就是函数图象与反映在图象上就是函数图象与x x轴无交点轴无交点,如函数如函数y=3,y=xy=3,y=x2 2+1+1就没有零就没有零点点.(3)(3)方程有几个解方程
6、有几个解,则其对应的函数就有几个零点则其对应的函数就有几个零点.如果方程有二重实数根，可以如果方程有二重实数根，可以称函数有二重零点称函数有二重零点.若函数若函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点,则零点一定在其定义域内则零点一定在其定义域内.2.2.从三方面正确把握函数零点存在的判断方法从三方面正确把握函数零点存在的判断方法(1)(1)并不是所有的函数都有零点，如函数并不是所有的函数都有零点，如函数(2)(2)一个函数一个函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b内若具备两个条件：内若具备两个条件：函数在区间函数在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一
7、条曲线;f(a)f(a)f(b)0.f(b)0.则该函数在则该函数在(a,b)(a,b)内有零点，反之则不一定成内有零点，反之则不一定成立立.(3)(3)对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号，如函数通过零点时，函数值也不一定变号，如函数y=xy=x2 2有零点有零点0 0，但，但显然当它通过零点时函数值没有变号显然当它通过零点时函数值没有变号.1y.x类型类型 一一 求函数的零点求函数的零点 【典型例题典型例题】1.1.函数函数f(x)=xf(x)=x2 23x3x4 4的零点是的零点是()()A.1
8、A.1，-4 B.4-4 B.4，-1 C.1-1 C.1，3 D.3 D.不存在不存在2.2.函数函数f(x)=ax+bf(x)=ax+b有一个零点是有一个零点是2 2，求函数，求函数g(x)=bxg(x)=bx2 2axax的零点的零点.【解题探究解题探究】1.1.函数的零点的本质是什么？函数的零点的本质是什么？2.2.函数的零点与方程的根有何对应关系函数的零点与方程的根有何对应关系?探究提示：探究提示：1.1.函数的零点的本质是方程函数的零点的本质是方程f(x)=0f(x)=0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数个实数.2.2.函数函数y
9、=f(x)y=f(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)=0f(x)=0的实数根的实数根.【解析解析】1.1.选选B.B.令令x x2 23x3x4=04=0，得，得x=4x=4或或x=x=1.1.2.f(x)=ax+b2.f(x)=ax+b有一个零点是有一个零点是2 2，得，得2a+b=02a+b=0，则，则g(x)=bxg(x)=bx2 2ax=ax=2ax2ax2 2axax，令，令2ax2ax2 2ax=0ax=0，则，则g(x)g(x)的零点为的零点为0 0和和1.2【拓展提升拓展提升】函数零点的两种求法函数零点的两种求法(1)(1)代数法代数法:求方程求方程f(x)=0f(x)=
10、0的实数根的实数根.(2)(2)几何法几何法:画出函数画出函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象,则图象与则图象与x x轴的交点的横坐标即为函数的零点轴的交点的横坐标即为函数的零点.【变式训练变式训练】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)=x(1)f(x)=x2 2+2x+4.+2x+4.(2)f(x)=2(2)f(x)=2x x-3.-3.【解析解析】(1)(1)令令x x2 2+2x+4=0+2x+4=0，由于，由于=2=22 2-4-41 14=-1204=-120，所以方程，所以方程x x2 2+2x+4=0+2x+4=
11、0无实数根，无实数根，所以函数所以函数f(x)=xf(x)=x2 2+2x+4+2x+4不存在零点不存在零点.(2)(2)令令2 2x x-3=0-3=0，解得，解得x=logx=log2 23 3，所以函数，所以函数f(x)=2f(x)=2x x-3-3的零点是的零点是loglog2 23.3.类型类型 二二 函数零点个数的判定函数零点个数的判定 【典型例题典型例题】1.1.若函数若函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(,0)(0,+),0)(0,+)，且，且f(x)f(x)为偶函数，又为偶函数，又f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是减函数，上是减函数，f(2)=0f(2)=0，
12、则函数，则函数f(x)f(x)的零点有的零点有()()A.A.一个一个 B.B.两个两个C.C.至少两个至少两个 D.D.无法判断无法判断2.2.二次函数二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c中，中，ac0ac0，则函数的零点个数，则函数的零点个数是是()()A.1 B.2 C.0 D.A.1 B.2 C.0 D.无法确定无法确定3.3.求函数求函数f(x)=ln(xf(x)=ln(x1)+0.01x1)+0.01x的零点的个数的零点的个数.【解题探究解题探究】1.1.偶函数图象有何特征？函数图象与函数零点个数有何关系？偶函数图象有何特征？函数图象与函数零点个数有何关系
13、？2.2.对于二次函数的零点个数的判定，解决此问题的关键点是什么？对于二次函数的零点个数的判定，解决此问题的关键点是什么？3.3.题题3 3中能否直接求出函数零点的个数？若不能，可以考虑利用什么来判断零点的中能否直接求出函数零点的个数？若不能，可以考虑利用什么来判断零点的个数？个数？探究提示：探究提示：1.1.偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称，函数图象与轴对称，函数图象与x x轴交点个数与对应方程的根的个数相轴交点个数与对应方程的根的个数相等，方程的根的个数与相应函数零点个数相等，所以函数图象与等，方程的根的个数与相应函数零点个数相等，所以函数图象与x x轴交点个数与函轴交点个数与
14、函数零点个数相等数零点个数相等.2.2.解决关于二次函数的零点个数的判定问题，关键是利用判别式来判断相应方程解决关于二次函数的零点个数的判定问题，关键是利用判别式来判断相应方程的根的个数的根的个数.3.3.不能不能.根据零点的含义，可以借助函数的图象来判断零点的个数根据零点的含义，可以借助函数的图象来判断零点的个数.【解析解析】1.1.选选B.B.依据给出的函数性质，易知依据给出的函数性质，易知f(f(2)=02)=0，画出函数的大致图象如图：，画出函数的大致图象如图：可知可知f(x)f(x)有两个零点有两个零点.2.2.选选B.=bB.=b2 24ac4ac，a ac0c00，方程方程axa
15、x2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个根，故函数有两有两个根，故函数有两个零点个零点.3.3.方法一方法一:因为因为f(3)=ln2+0.030,f(1.5)=-ln2+0.0150,f(1.5)=-ln2+0.0150,所以所以f(3)f(3)f(1.5)0,f(1.5)0,说明函数说明函数f(x)=ln(xf(x)=ln(x1)+0.01x1)+0.01x在区间在区间(1.5,3)(1.5,3)内有零点内有零点.又又y=ln(xy=ln(x1)1)与与y=0.01xy=0.01x在在(1,+)(1,+)上都是增函数上都是增函数,所以所以f(x)f(x)在在(1,+)(1,+)上是增函数
16、上是增函数,所以该函数只有一个零所以该函数只有一个零点点.方法二方法二:在同一坐标系内作出在同一坐标系内作出h(x)=ln(xh(x)=ln(x1)1)和和g(x)=-0.01xg(x)=-0.01x的图象的图象,如图如图.由图象知由图象知h(x)=ln(xh(x)=ln(x1)1)和和g(x)=-0.01xg(x)=-0.01x有且只有一个交点有且只有一个交点,即即f(x)=ln(xf(x)=ln(x1)+0.01x1)+0.01x有且只有一个零点有且只有一个零点.【互动探究互动探究】若题若题2 2中二次函数改为中二次函数改为“f(x)=cxf(x)=cx2 2+bx+a”+bx+a”，条件
17、，条件“ac0”ac0”不变，则函不变，则函数的零点个数是数的零点个数是_._.【解析解析】=b=b2 24ac4ac，a ac0c00，函数有两个零点函数有两个零点.答案：答案：2 2【拓展提升拓展提升】确定函数零点个数的方法确定函数零点个数的方法(1)(1)分解因式法分解因式法:可转化为一元可转化为一元n n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决.(2)(2)判别式法判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用判别式法来判断根的个数个数.(3)(3)图象法图象法:指数函数和对数
18、函数零点个数问题一般用图象法来解决指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法来解决.(4)(4)单调性法单调性法:常规方法不易判断时常规方法不易判断时,可利用函数的单调性来判断函数零点的个数可利用函数的单调性来判断函数零点的个数.类型类型 三三 判断函数零点所在区间判断函数零点所在区间 【典型例题典型例题】1.1.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3x x1 1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()()A.(3,4)B.(2,3)A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)C.(1,2)D.(0,1)2.2.已知函数已知函数f(x)f
19、(x)在区间在区间a,ba,b上单调且图象连续，且上单调且图象连续，且f(a)f(b)0f(a)f(b)0，则函数，则函数f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)上上()()A.A.至少有三个零点至少有三个零点 B.B.可能有两个零点可能有两个零点C.C.没有零点没有零点 D.D.必有唯一零点必有唯一零点【解题探究解题探究】1.1.函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？来解决函数零点所在区间问题？2.2.函数在区间函数在区间(a,b)(a,b)上存在唯一零点应具备什么条件？上存在唯一零
20、点应具备什么条件？探究提示：探究提示：1.1.两个必备条件是：两个必备条件是：(1)(1)函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条曲上的图象是连续不断的一条曲线线.(2)f(a).(2)f(a)f(b)0.f(b)0.确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反.2.2.除应具备函数零点存在的两个条件外，还需要函数在此区间上单调除应具备函数零点存在的两个条件外，还需要函数在此区间上单调
21、.【解析解析】1.1.选选C.f(0)=C.f(0)=1010，f(1)=-10f(1)=-10f(2)=50，f(1)f(1)f(2)0f(2)0，此零点，此零点一定在一定在(1,2)(1,2)内内.2.2.选选D.D.函数函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上单调且图象连续，故其图象与上单调且图象连续，故其图象与x x轴至多有一个交轴至多有一个交点，又点，又f(a)f(a)f(b)0f(b)0，所以必有一个交点，所以必有一个交点.【拓展提升拓展提升】判断函数零点所在区间的三个步骤判断函数零点所在区间的三个步骤(1)(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值代：将区间端点代入函数求出函
22、数的值.(2)(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断判：把所得函数值相乘，并进行符号判断.(3)(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.【变式训练变式训练】方程方程2 2x x+x=0+x=0在下列哪个区间内有实数根在下列哪个区间内有实数根()()A.(A.(2,2,1)B.(0,1)1)B.(0,1)C.(1,2)D.(C.(1,2)D.(1,0)1,0)【解析解析】选选D.D.令令f(x)=2f(x)
23、=2x x+x+x，f(f(1)1)f(0)=()f(0)=()1010，f(x)=2f(x)=2x x+x+x的零点在区间的零点在区间(1,0)1,0)内，故内，故2 2x x+x=0+x=0在区间在区间(1,0)1,0)内有实数根内有实数根.12 一元二次方程的区间根问题一元二次方程的区间根问题【典型例题典型例题】1.1.已知函数已知函数f(x)=(xf(x)=(xa)(xa)(xb)+1(ab)b)+1(ab)，且，且m m，n n是方程是方程f(x)=0f(x)=0的两个根的两个根(mn)(mn)，则，则实数实数a a，b b，m m，n n的大小关系可能的大小关系可能是是()()A.
24、mabn B.amnbA.mabn B.amnbC.manb D.ambnC.manb D.ambn2.2.方程方程x x2 23x+a=03x+a=0的两根均大于的两根均大于1 1，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围.【解析解析】1.1.选选B.B.由函数由函数f(x)=(xf(x)=(xa)(xa)(xb)+1b)+1，可得，可得f(a)=f(b)=1.f(a)=f(b)=1.又又m m，n n是方程是方程f(x)=0f(x)=0的两个根，故可画出函数的大致图象如图：的两个根，故可画出函数的大致图象如图：所以应该有所以应该有amnb.amn0 x0时，时，f(x)0f(x)0；当当x
25、0 x0时，时，f(x)0f(x)0 x0时，令时，令2+lnx=02+lnx=0，解得，解得x=ex=e2 2，所以函数，所以函数有有2 2个零点个零点.2x2x3,x0f x2lnx,x0，2x2x3,x0f x2lnx,x0，2.2.函数函数y=logy=log2 2(x(x2 2+1)+1)的零点是的零点是_._.【解析解析】令令loglog2 2(x(x2 2+1)=0,+1)=0,即即x x2 2+1=1,x=0.+1=1,x=0.答案：答案：0 0【误区警示误区警示】【防范措施防范措施】明确定理成立的条件明确定理成立的条件零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数在区间零点存在性定
26、理成立的条件有两个：一是函数在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一条曲线上的图象是连续不断的一条曲线;二是二是f(a)f(a)f(b)0.f(b)0.这两个这两个条件缺一不可条件缺一不可.如果其中一个条件不成立，那么就不能在区间如果其中一个条件不成立，那么就不能在区间a,ba,b上使用该定理，如本例上使用该定理，如本例f(x)=x+f(x)=x+在在-1-1，1 1上不连上不连续，故不能在区间续，故不能在区间-1,1-1,1上直接使用零点存在性定理上直接使用零点存在性定理.1x1.1.函数函数f(x)=f(x)=2x+m2x+m的零点为的零点为4 4，则实数，则实数m m的值为的值为()()
27、A.-6 B.8 C.D.A.-6 B.8 C.D.【解析解析】选选B.f(x)=B.f(x)=2x+m2x+m的零点为的零点为4 4，所以，所以2 24+m=04+m=0，m=8.m=8.32322.2.若函数若函数f(x)=xf(x)=x2 2+2x+a+2x+a没有零点，则实数没有零点，则实数a a的取值范围是的取值范围是()()A.a1 C.a1 D.a1A.a1 C.a1 D.a1【解析解析】选选B.B.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+2x+a+2x+a没有零点，即方程没有零点，即方程x x2 2+2x+a=0+2x+a=0没有实数根，所以没有实数根，所以=4=44a04a1
28、.a1.3.3.函数函数f(x)=xf(x)=x3 32x2x2 2+3x+3x的零点有的零点有()()A.A.一个一个 B.B.两个两个C.C.三个三个 D.D.无零点无零点【解析解析】选选A.A.令令x x3 32x2x2 2+3x=x(x+3x=x(x2 22x+3)=02x+3)=0，方程方程x x2 2-2x+3=0-2x+3=0的的=(-2)=(-2)2 2-4-430,30,xx2 2-2x+3=0-2x+3=0没有实数根，故方程没有实数根，故方程x x3 3-2x-2x2 2+3x=0+3x=0有实数根有实数根x=0 x=0，所以，所以f(x)=xf(x)=x3 32x2x2
29、2+3x+3x只有一个零点只有一个零点.4.4.函数函数 的零点是的零点是_._.【解析解析】令令 得，得，x=x=2.2.答案：答案：2 2 2x4f xx2 2x4f x0 x25.5.函数函数f(x)f(x)为偶函数，其图象与为偶函数，其图象与x x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为_._.【解析解析】因为因为f(x)f(x)为偶函数，所以其零点互为相反数，故四个零点之和为为偶函数，所以其零点互为相反数，故四个零点之和为0.0.答案：答案：0 06.6.若函数若函数f(x)=2xf(x)=2x2 2-ax+3-ax+3有一个零点为有一个零点为 求求f(x)f(x)的所有零点的所有零点.【解析解析】f(x)=2xf(x)=2x2 2-ax+3-ax+3有一个零点为有一个零点为 所以所以 是方程是方程2x2x2 2-ax+3=0-ax+3=0的一个根，则的一个根，则 解得解得a=5a=5，所以，所以f(x)=2xf(x)=2x2 2-5x+3-5x+3，令，令f(x)=0,f(x)=0,得得x=x=或或x=1,x=1,所以所以f(x)f(x)的零点为的零点为 1.1.32，32，32932a3042，3232，
