1、32.2函数模型的应用实例函数模型的应用实例1几种常见的函数模型(1)一次函数模型(2)二次函数模型(3)指数函数模型(4)对数函数模型(5)幂函数模型1函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测2应用函数模型解决问题的基本过程数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？【提示】因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图，一般是从我们比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型某公司生产一种电子仪器的固定成本为
2、20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)【思路点拨思路点拨】由题目可获取以下主要信息：总成本固定成本100 x；收益函数为一分段函数解答本题可由已知总收益总成本利润，知利润总收益总成本由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题【解析】(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000100 x，从而f(x)在函数应用题中，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成功的一半而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间
3、最值等问题，二次函数的配方是比较有效的解题手段1.在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)，某公司每月最多生产100件产品，生产x(xN)件产品的收入函数为R(x)3 000 x20 x2(单位：元)，其成本函数C(x)500 x4 000(单位：元)，利润为收入与成本之差(1)求利润函数P(x)及其边际利润函数MP(x)；(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？【解析】由题意知，x1,100，且xN.(1)P(x)R(x)C(x)(3 000 x20 x2)(500 x4 000)20 x22 500 x4 000，x1,10
4、0，xN，MP(x)P(x1)P(x)20(x1)22 500(x1)4 000(20 x22 500 x4 000)2 48040 x，x1,100，xN.某林区1999年木材蓄积量200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求yf(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数yf(x)的图象，并应用图象求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？【解析】(1)现有木材蓄积量200万立方米，经过1年后木材蓄积量为2002005%200(15%)；经过2年后木材蓄积量为200(15%
5、)200(15%)5%200(15%)2.经过x年后木材蓄积量为200(15%)x.yf(x)200(15%)x.x虽以年为单位，但木材每时每刻均在生长，x0，且xR.函数的定义域为0，)x0123y200210220.5231.5(2)作函数作函数yf(x)200(15%)x(x0)图象，如图所示图象，如图所示.年份0为1999年(附图)作直线y=300，与函数y=200(1+5%)x的图象交于A点，设A(x0,300)，则A点的横坐标x0的值就是函数值y=300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x的值8x09，则取x=9.经过9年后林区的木材蓄积量能达到300万立方米由于“递增
6、率”问题多抽象为指数函数形式，而由指数函数形式来确定相关的量的值多需要使用计算器计算，如果问题要求不严格，就可以通过图象近似求解用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一这种将“数”与“形”结合解决问题的思想方法即“数形结合方法”，能使抽象的问题直观化，对人的数学思维发展有深刻的影响2.某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应该将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润【解析】设每件售价提高x元，则每件得利润(108x)元，即(2x)元
7、每天销售量变为(200 x/0.510)件，即(20020 x)件，所获利润y(2x)(20020 x)20(x4)2720(0 x10)故当x4，即售价定为14元时，每天可获得最大利润720元某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系模拟函数可以选用二次函数或函数yabxc(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由【思路点拨思路点拨】由题目可获取以下主要信息：此工厂前三个月的产量已知；题中给出了两
8、个函数模型，选择其中一个解答本题先由条件确定函数解析式中的待定系数的值，再研究x4时，哪个函数值更接近1.37.(1)问题中给出函数解析式，且解析式中带有需要确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定，然后再通过运用函数使问题本身获解；(2)在建立函数模型时，对同一实际问题可选取不同的模型，通过比较，选出比较接近实际的模型时间时间/t50110250种植成本种植成本/Q1501081503.某地西红柿从2月1日起开始上市通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位为：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)根据上表中数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与
9、上市时间t的变化关系：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本1解决应用问题的基本步骤(1)阅读理解，认真审题：就是要读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握新信息在此基础上，分析出已知是什么、求什么、涉及哪些知识、确定自变量与函数值的意义，尝试将问题函数化审题时要抓住题中关键的量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化(2)引进数学符号，建立数学模型：一般设自变量为x，函数为y，并用x表示各种
10、相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即建立数学模型(3)利用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果(4)将数学问题的解代入实际问题进行核查，舍去不合题意的解，并作答这些步骤用框图表示如下：2数据拟合过程中的假设数据拟合过程中的假设就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了，假设的作用主要表现在以下几个方面：(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用，通常，初步接触一个问题，会觉得
11、围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗，在假设时就可以设这些因素不需考虑(2)降低解题难度，虽然每一个解题者的能力不同，但经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L15.06x0.15x2，和L22x，其中x为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A45.606B45.6C46.8 D46.806【错因
12、】上面解答中x51/5不为整数，在实际问题中是不可能的，因此x应根据抛物线取与x51/5接近的整数才符合题意【正解】设甲地销售x辆，则乙地销售(15x)辆，则总利润LL1L25.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15(x10.2)245.606.根据二次函数图象和xN*，当x10时，获得最大利润L0.151023.06103045.6万元【答案】B作业：1.将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2Q10，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？圆的一般方程学科：人教A版数学必修一时间：2012-7-8姓名：赵海信单位：武训高中课时：1
