1、2.2.3 直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的性质定理 2.2.4 平面与平面平行的性质定理平面与平面平行的性质定理（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？怎样的位置关系？ab a b（2）已知直线）已知直线a平面平面，如何在平面，如何在平面内找出和直线内找出和直线a 平行的一条直线？平行的一条直线？平行或异面平行或异面(即不相交即不相交)思考思考如图，在长方体如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直线中，直线A1B1/面面CDD1C1.ABCDA1B1C1D1EF111.B/
2、C D1由 长 方 体 性 质，我 们 知 道 A111111111111111111A BA B C DC D=C DA B/C DD CA B C DD C另 一 方 面，我 们 发 现面面面面1111111A BA B FEC D D CE FA B/E F?1猜 想:过的 平 面与 面交 于 直 线，则思考思考如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行么这条直线与交线平行.1.直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的性质定理ab/aaabb(2)该定理作用：该定理作用：“线面平行线面平行线
3、线平行线线平行”线面平行性质定理也是找平行线的重要依据线面平行性质定理也是找平行线的重要依据.(1)该定理中有三个条件：该定理中有三个条件：(3)应用该定理，关键是应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相交，并找出两平面的交经过直线找平面或作出平面与已知平面相交，并找出两平面的交线线.(4)平面外的两平行线同平行于同一个平面平面外的两平行线同平行于同一个平面.例例 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证另一条也平行求证另一条也平行于这个平面于这个平面.c/,/,:/.aabbb已 知求 证ab/./过 直 线作 平 面，
4、使 得证 明:aaacbcccaba/bbc注注1：“已知直线已知直线a与平面与平面 平行，在平行，在 内作一条直线内作一条直线c与直线与直线a平行平行”，这是一个成立而需要证明的命题，是不可直接应用的这是一个成立而需要证明的命题，是不可直接应用的.（应以平面为媒介证明两直线平行）（应以平面为媒介证明两直线平行）练习练习如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面的直线具有什如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面的直线具有什么位置关系？么位置关系？ABCDA1B1C1D1平行或异面平行或异面11A B C D/D B/D B面面 ，且111111D B B DA B C D=
5、D BD B B D=D B我 们 发 现:面面面面 11?111111D B B DA B C D=D BD B B D=D BD B/D BA B C D/面面面面 面面 反过来，如何找出两个面内的平行线呢？反过来，如何找出两个面内的平行线呢？思考思考如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行./aabb2.平面与平面平行的性质定理平面与平面平行的性质定理(2)该定理作用：该定理作用：“面面平行面面平行线线平行线线平行”面面平行性质定理也是找平行线的重要依据面面平行性质定理也是找平行线的重要依据.(1)该定理中有三个条件
6、：该定理中有三个条件：(3)应用该定理，应用该定理，关键是构造第三个平面，并找出面与面的交线关键是构造第三个平面，并找出面与面的交线.以平面为媒介来证线线平行以平面为媒介来证线线平行.(4)平面与平面平行的其他性质：平面与平面平行的其他性质：ab1)/,/;2)/,/aa3)经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.例例 求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.BCDA/,/,.A BC DACBDA BC D已 知：且求 证：././,且，故 四 边 形为 平 行 四 边 形即过证 明：作面有和
7、可平A CB DA BC DA BA CB DA B C DA BCC DD例例 求证：若两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行求证：若两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.abcefg/,/,/.已 知：求 证：/,/,/./,/,/./,/,./.:又由 面 面 平 行 的 性 质 定 理如 图，作 两 个 相 交 平 面 分 别与，得同 理 由可 得且与，交 于 直相和明交 故证线abefbcfgaca b cefgegab/,A,B,C,(1).例 直 线与分 别 交，于 点和 点 D,E,FABDE求 证：BCEFabA FGB/,BGC FG/C FA
8、 BA GBG EA DCG F.AB GF:C FC如 图，连 接交于 点，再 连 接，和，则 面与和的 交 线 分 别 为，又证 明BCDAabEFGA D FA DG E/A D/G ED EA GA BD E.E FG FB CE F同 理,面与和的 交 线 分 别 为，由可 得,所 以C DHB G E H.(2)连 接交于 点，求 证为 平 行 四 边 形例例 已知直线已知直线a/平面平面，点，点A是平面是平面另一侧的点，且点另一侧的点，且点B，C，Da.线段线段AB，AC，AD分别交面分别交面于点于点E，F，G.若若BD=4，CF=4，AF=5，求，求EG.aBCDEFGA例例
9、已知已知，AB交交、于于A、B，CD交交、于于C、D，ABCD=S，AS=8，BS=9，CD=34，求，求SC.CBSADADCBS精讲精练精讲精练P30 5/7/8练习练习例例 如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E为为DD1上一点上一点.已知已知BD1/平面平面AEC，求证求证:E是是DD1的中点的中点.EOABCDA1B1C1D1证明证明:如图，连接如图，连接BDBD交交ACAC于于O,O,连接连接OEOE因为直线因为直线BDBD1 1/平面平面AECAEC，BDBD1 1 面面DBDDBD1 1,且平面且平面AECAEC面面DBDDBD1 1=OE=OE所以所
10、以BDBD1 1/OE./OE.1D B DOD BB D/O E.ED D.11在中，为的 中 点,所 以 点为的 中 点三棱柱三棱柱ABC-A1B1C1中，中，D是是BC上的点，上的点，A1B/平面平面ADC1.求证求证:点点D为为BC的中点的中点.ABCA1B1C1DE证明证明:如图，连接如图，连接A A1 1C C交交ACAC1 1于于E,E,连接连接DEDE因为直线因为直线A A1 1B/B/面面ADCADC1 1 ，A A1 1B B 面面A A1 1BCBC ,且平面且平面ADCADC1 1面面A A1 1BCBC =DE=DE所以所以A A1 1B/DE.B/DE.11AEAA
11、 B/D E.DB C.1在BC中，为C的 中 点,所 以 点为的 中 点练习练习例例 如图，平面如图，平面EFGH分别平行于分别平行于CD，AB，而，而E，F，G，H分别是分别是BD，BC，AC，AD上的点，且上的点，且CD=a，AB=b，CDAB.(1)求证求证:四边形四边形EFGH为矩形为矩形.(2)设设DE=m，EB=n，求矩形，求矩形EFGH的面积的面积.ECABDFGHC D/EFGC DA C DC D/G HEFG HAG H/C D=/EFC D/EGFH面面面面 同 理 可 证同理可证同理可证GF/EH,故四边形故四边形EFGH为平行四边形为平行四边形.G H/C D,G
12、F/A B,C DA BFG H=90,E G G H.又故 四 边 形为 矩 形abmn1.已知已知E，F，G，H为空间四边形为空间四边形ABCD的边的边AB，BC，CD，DA上的点，且上的点，且EH/FG.求证求证EH/BD.AEHBDCFG练习练习2.如图，棱锥如图，棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：求证：BD/面面EFGH.BCADEFGH练习练习线 线 平 行线 面 平 行线 线 平 行线 面 平 行精讲精练精讲精练P27 例例3+P28 5/9/103.如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是平行四边
13、形，是平行四边形，N是是PB的中点，的中点，E为为AD的中点的中点.过过A，D，N三点的平面与三点的平面与PC交于交于M点点.求证求证:EN/DM.MNPEABCDA D/B CB CPB CA D/A DPB C面面 PBC面 A DA D M NA D/M NA D M NPB C=M N面 面面M N/B CNPBMPCM NM N=B C.，又为的 中 点，为的 中 点1即/BC且2EA DA B C DD E/B CD E=B C.D E/M ND E=M N.又为中 点，四 边 形为 平 行 四 边 形1且即 有且2故 四 边 形 DENM为 平 行 四 边 形.EN/DM练习练习
14、4.底面是菱形的四棱锥底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，点中，点E在在PD上，且上，且PE：ED=2：1.在棱在棱PC上是否存在点上是否存在点F，使得使得BF/面面AEC.证明你的结论证明你的结论.练习练习例例 如图所示的一块木料中，棱如图所示的一块木料中，棱BC/平面平面ABCD，(1)要经过面要经过面ABCD内的一点内的一点P和棱和棱BC将木料锯开，应该怎样画线？将木料锯开，应该怎样画线？(2)所画的线和平面所画的线和平面ABCD是什么位置关系？是什么位置关系？PABCDABCD:1B C/A B C D B CB C C B B C/B CB C C B A B C D=B C 分 析面
15、面面面PB CPB CA B C D B C/A B C D B CPB CE F/B C PB C A B C D=E F2 设 过 点和的 面与 面的 交 线 为 EF.面面面面PABCDABCD解：解：(1)在平面在平面AC内，过点内，过点P作直线作直线EF，使，使EF BC，并分别交棱，并分别交棱AB，CD于点于点E，F.连接连接BE，CF.则则EF，BE，CF就是应画的线就是应画的线.EF例例 如图所示的一块木料中，棱如图所示的一块木料中，棱BC/平面平面ABCD，(1)要经过面要经过面ABCD内的一点内的一点P和棱和棱BC将木料锯开，应该怎样画线？将木料锯开，应该怎样画线？(2)所
16、画的线和平面所画的线和平面ABCD是什么位置关系？是什么位置关系？(2)因为棱因为棱BC平行于平面平行于平面AC，平面，平面BC与平与平面面AC交于交于BC，所以，所以，BC BC.由由(1)知，知，EF BC，所以所以EF BC，因此，因此EF BC，EF不在平面不在平面AC，BC在平面在平面AC上，从而上，从而EF 平面平面AC.BEAC.BE，CFCF显然都与面显然都与面ACAC相交相交.HO1.已知已知ABCD是平行四边形，点是平行四边形，点P是平面是平面ABCD外一点，外一点，M是是PC的中点，在的中点，在DM上取一点上取一点G，画出过，画出过G和和AP的平面的平面.ACBDGPM2
17、.点点P在平面在平面VAC内，画出过点内，画出过点P作一个截面平行于直线作一个截面平行于直线VB和和AC.VACBPFEGH练习练习变：过点变：过点G和和AP作平面交平面作平面交平面BDM于于GH，求证：，求证：AP/GH.线线平行线线平行 线面平行线面平行线面平行线面平行 线线平行线线平行小结小结线面平行线面平行 面面平行面面平行面面平行面面平行 线线平行线线平行小结小结ab证明证明：因为：因为=b，所以所以a,b无公共点无公共点.已知：如图，已知：如图，a,a ,=b,求证：求证：ab.所以所以b .又因为又因为a ，b ，所以，所以ab又因为又因为a，如果一条直线与平面平行，经过这条直线
18、的平面和这个平面相交，那如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行么这条直线与交线平行.back/,.:/.abab 已 知 平 面，若求 证/,/:/.面与 面没 有 公 共 点.直 线与 直 线没 有 公证 明共 点.又abababab如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.back2.如图，已知如图，已知AB 平面平面，AC BD，且，且AC、BD与与分别相交于点分别相交于点C，D.求证：求证：AC=BD.1.已知直线已知直线AB平行于平面平行于平面，经过，经过AB的两个平面和
19、平面的两个平面和平面相交于直线相交于直线a，b.求证：求证：a b.ABabback练习练习证明证明:AC BDAC与与BD确定一个平面确定一个平面,与平面与平面相交于相交于CD.又又AB 平面平面，AB CD又由又由AC BD，得，得ABDC是平行四边形是平行四边形.AC=BDABCDl 3.如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这两条直线如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这两条直线平行平行.ab4.如果一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行如果一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.
20、ablc练习练习backBCDAabEFHGback1.求证求证:如果一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，那么它与另一如果一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，那么它与另一个平面也相交个平面也相交.All.AB.a练习练习bback 2.、为三个不重合的平面，为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同直线，则有一下列命题，为三条不同直线，则有一下列命题，不正确的不正确的_./acabbc/aabb/cc/acac/bb练习练习back(1)直线直线a 平面平面，平面，平面内有内有n条互相平行的直线，那么这条互相平行的直线，那么这n条直线和直线条直线和直线a()A.全平行全平行 B.全异面全
21、异面 C.全平行或全异面全平行或全异面 D.不全平行或不全异面不全平行或不全异面(2)直线直线a 平面平面，平面，平面内有内有n条交于一点的直线，那么这条交于一点的直线，那么这n条直线和直线条直线和直线a 平行的平行的()A.至少有一条至少有一条 B.至多有一条至多有一条 C.有且只有一条有且只有一条 D.不可能有不可能有CB练习练习back证明：证明：如图，连接如图，连接A A1 1C C1 1 ，面面ACCACC1 1A A1 1面面DBC C1 1=MCMC1 1，又又A A1 1C C 平面平面ACCACC1 1A A1 1 ，A A1 1C C 平面平面DBCDBC1 1=O=O 故由公理故由公理3 3，OMCOMC1 1.即即C C1 1，O O，M M三点共线三点共线.如图，正方体如图，正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，对角线中，对角线A A1 1C C与平面与平面BDCBDC1 1交于点交于点O O，ACAC，BDBD交交于点于点M M，求证：，求证：C C1 1,O,M,O,M三点共线三点共线.ABCDA1B1C1D1M
