1、小结与复习小结与复习1.圆心为点圆心为点C(8，-3)，且过点，且过点A(5，1)的圆的标准方程为（的圆的标准方程为（）A.(x+8)2+(y-3)2=5B.(x-8)2+(y+3)2=5C.(x+8)2+(y-3)2=25 D.(x-8)2+(y+3)2=25 半径半径所以所求的圆的标准方程为所以所求的圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.选选D.2(85)2(31)5rC A ，D2.方程方程y=对应的曲线是（对应的曲线是（）原曲线方程可化为原曲线方程可化为x2+y2=4（y0），表示下半圆），表示下半圆,选选A.24x A3.半径为半径为5且圆心在且圆心在y轴上的圆与轴上的圆与
2、x轴相切，则圆的方程轴相切，则圆的方程为（为（）A.x2+y2+10y=0B.x2+y2+10y=0或或x2+y2-10y=0C.x2+y2-10y=0D.x2+y2+10 x=0或或x2+y2-10 x=0B设圆心为（设圆心为（0，b），由题意，则圆的方程为），由题意，则圆的方程为x2+（y-b）2=b2.因为半径为因为半径为5.所以所以 =5,b=5.故圆的方程为故圆的方程为x2+y2+10y=0或或x2+y2-10y=0.选选B.易错点：圆心的位置可能在易错点：圆心的位置可能在y轴上半轴或下半轴轴上半轴或下半轴.b4.已知圆已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆，圆C2与圆与圆C
3、1关于直线关于直线x-y-1=0对称，则圆对称，则圆C2的方程为的方程为.设圆设圆C2的圆心为（的圆心为（a，b），则依题意，），则依题意，对称圆的半径不变，为对称圆的半径不变，为1，故填，故填(x-2)2+（y+2）2=1.(x-2)2+(y+2)2=1有有，解得：，解得：a=2b=-2.111022ab 111ba 5.若圆若圆x2+y2+（a2-1）x+2ay-a=0关于直线关于直线x-y+1=0对称，则实对称，则实数数a=.依题意直线依题意直线x-y+1=0，过已知圆的圆心，过已知圆的圆心 所以所以解得解得a=3或或a=-1，当，当a=-1时，方程时，方程x2+y2+（a2-1）x+2
4、ay-a=0不能表示圆，所以只能取不能表示圆，所以只能取a=3.填填3.易错点：方程易错点：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0仅在仅在D2+E2-4F0时才表示圆，时才表示圆，因此需检验不等式是否成立因此需检验不等式是否成立.321,2aa （），21102aa ，1.圆的定义：圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径（轨迹）叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径.2.圆的方程圆的方程（1）标准方程：以（标准方程：以（a,b）为圆心，）为圆心，r（r0）为半径的圆的）为半径的圆的标准方程为（标准方程
5、为（x-a）2+（y-b）2=r2.（2）一般方程：一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.当当D2+E2-4F0时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为时，表示圆的一般方程，其圆心的坐标为半径半径当当D2+E2-4F=0时，只表示一个点；时，只表示一个点；当当D2+E2-4Fr2;若点若点M（x0,y0）在圆）在圆C上，则（上，则（x0-a）2+（y0-b）2=r2;若点若点M（x0,y0）在圆）在圆C内，则（内，则（x0-a）2+（y0-b）2 dr2、直线与圆相切 =d=r3、直线与圆相交 =drR+r|O1O2|=R+rR-r|O1O2|R+r|O1O2|=R-r|O1O2|R-r外切外
6、切相交相交内切内切内含内含rRO1 1O2 2rRO1 1O2 2rRO1 1O2 2rRO1 1O2 2rRO1 1O2 25.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆设圆O1的半径为的半径为r1，圆，圆O2的半径为的半径为r2，6.对称问题对称问题:圆（圆（x-a）2+（y-b）2=r2关于直线关于直线x=0的对称圆的方程为（的对称圆的方程为（x+a）2+（y-b）2=r2;关于直线关于直线y=0的对称圆的方程为（的对称圆的方程为（x-a）2+（y+b）2=r2；关于直线关于直线y=x的对称圆的方程为（的对称圆的方程为（x-b）2+（y-a）2=r2；关于直线关于直线y=-x的对称圆的方程为（
7、的对称圆的方程为（x+b）2+（y+a）2=r2.BABABAxxxxxx427.7.与圆有关的弦长问题与圆有关的弦长问题几何方法：几何方法：代数方法：代数方法：rd dA AB BO O222|drAB解析几何中，解决圆的弦长、弦心距的计算常常利用几何方法解析几何中，解决圆的弦长、弦心距的计算常常利用几何方法.其中其中K K是直线的斜率，是直线的斜率，X XA A、x xB B是直线和圆交点的横坐标是直线和圆交点的横坐标,且且BAxxkAB)1(|2圆圆x2+y2=r2，圆上一点为圆上一点为(x x0，y y0)，则此点的切则此点的切线方程为线方程为x x0 x+y0y=r2圆圆(x-a)2
8、+(y-b)2=r2，圆上一点为圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r28.过圆上一点的切线方程：过圆上一点的切线方程：9.两圆相交的弦的方程两圆相交的弦的方程 O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和和 O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时，相交时，公共弦方程为公共弦方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.10.圆系方程：圆系方程：设圆设圆C1 x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆和圆C2 x2+y2+D2x+E2y+F2=0若两圆相交，则过交点的圆系方若两圆相交，则过交点
9、的圆系方程为程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(为参数，为参数，圆系中不包括圆圆系中不包括圆C2，=-1为两圆的公共弦所在直线方程为两圆的公共弦所在直线方程)设圆设圆C x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线与直线l：Ax+By+C=0，若直若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(为参数为参数)重点突破：圆的方程重点突破：圆的方程 （）求过两点求过两点A（1,4）,B（3,2）,且圆心在直线且圆心在直线y=0上的圆的标准方程，并判断点上的圆的标准方程，并判断点P（2,4）与
10、圆的位置关系）与圆的位置关系.（）求过求过A（4,1），），B（6，-3）C（-3,0）三点的圆的方）三点的圆的方程，并求这个圆半径长和圆心程，并求这个圆半径长和圆心C坐标坐标.（）欲求圆的标准方程，只需求出圆心坐欲求圆的标准方程，只需求出圆心坐标和圆的半径，而要判断点标和圆的半径，而要判断点P与圆的位置关系，只需看点与圆的位置关系，只需看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系与圆心的距离和圆的半径的大小关系.（）设出圆的方设出圆的方程，解方程组即可程，解方程组即可.（）解法解法1：（待定系数法）设圆的标准方程为（待定系数法）设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因为圆心在因为圆心在
11、y=0上上,故故b=0，所以圆的方程为（所以圆的方程为（x-a）2+y2=r2又因为该圆过又因为该圆过A（1,4）,B（3,2）两点）两点,则则（1-a）2+16=r2（3-a）2+4=r2，解得，解得a=-1，r2=20.解法解法2：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A（1,4）,B（3,2）两点，）两点，所以圆心必在线段所以圆心必在线段AB的中垂线的中垂线l上上,又因为又因为kA B=-1,故故l的斜率为的斜率为1,又又AB的中点为（的中点为（2，3）,故线段故线段AB的中垂线的中垂线l的方程为的方程为x-y+1=0.4213 又知圆心在直线又知圆心在直线
12、y=0上上,故圆心为故圆心为C(-1，0)，所以半径所以半径 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点又点P(2,4)到圆心到圆心(-1，0)的距离为的距离为所以点所以点P在圆外在圆外.2211420rA C 2221425dP Cr ，()设圆的方程为设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为三点因为三点A(4,1)，B(6，-3)，C(-3,0)都在圆上，都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标代入方所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标代入方程得，程得，42+12+4D+E+F=062+(-3)2+6D-3E+F=0(-3)2+02-3D+0E+F
13、=0，解得，解得D=-2E=6F=-15.所以圆的方程为所以圆的方程为x2+y2-2x+6y-15=0，即（即（x-1）2+（y+3）2=25，所以圆心坐标为（所以圆心坐标为（1，-3），半径为），半径为r=5.“待定系数法待定系数法”是求圆的方程的常用方法是求圆的方程的常用方法.一般一般的，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则的，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较简便，否则选用一般方程方便些选用标准方程比较简便，否则选用一般方程方便些.根据下列条件求圆的方程根据下列条件求圆的方程.（）圆过圆过P（4,-2）,Q（-1,3）两点，且在）两点，且在y轴上截得
14、的轴上截得的线段长为线段长为4.（）已知圆的半径为已知圆的半径为，圆心在直线，圆心在直线y=2x上，圆被直上，圆被直线线x-y=0截得的弦长为截得的弦长为4 .3102 ()设圆的方程为设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.4D-2E+F=-20D-3E-F=10，令令x=0,由由得得y2+Ey+F=0.由已知由已知 其中其中y1,y2是方程是方程的两根，的两根，(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48，联立方程解得联立方程解得D=-2,E=0,F=-12或或D=-10,E=-8,F=4，故所求的圆的方程为故所求的圆的方程为x2+y2-2x-12=0或或x2+y2
15、-10 x-8y+4=0.将将P,Q点的坐标代入式得点的坐标代入式得1243yy ，()解法解法1：设圆的方程为设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=10，由圆心在直线由圆心在直线y=2x上，得上，得b=2a，由圆在直线由圆在直线x-y=0截得的弦长为截得的弦长为4 ，将将y=x代入代入(x-a)2+(y-b)2=10.整理得整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦长公式得由弦长公式得化简得化简得a-b=2.解得解得a=2,b=4或或a=-2,b=-4,所以所求圆方程为所以所求圆方程为(x-2)2+(y-4)2=10或或(x+2)2+(y+4)2=10.22222()2(10
16、)42abab ，解法解法2：根据图形的几何性质：半径，弦长的一半，弦根据图形的几何性质：半径，弦长的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股定理，心距构成直角三角形，由勾股定理，可得弦心距可得弦心距因为弦心距等于圆心（因为弦心距等于圆心（a,b）到直线）到直线x-y=0的距离，的距离，所以所以 又已知又已知b=2a，解得解得a=2,b=4或或a=-2,b=-4.所以所求圆方程为（所以所求圆方程为（x-2）2+（y-4）2=10或（或（x+2）2+（y+4）2=10.224210822dr （）22abd ，求以圆求以圆C C1 x x2+y2-12x-2y-13=0和圆和圆C C2：x x2+y2
17、+12x+16y-25=0的公的公共弦为直径的圆的方程共弦为直径的圆的方程解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0 所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.解法二：解法二：设所求圆的方程为：设所求圆的方程为：x2+y2-12x-2y-13+(x2+y2+12x+16y-25)=0(为参数为参数)圆心圆心C应在公共弦应在公共弦AB所在直线上所在直线上，所求圆的方程为所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0 重点突破：与圆有关的最值问题重点突破：与圆有关的最值问题 例3.已知实数已知实数x,y满足方程满足方程x2+y2-4x+1=0（）求求y-x的最大
18、值和最小值的最大值和最小值,（）求求x2+y2的最大值和最小值的最大值和最小值.根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解合求解.方程方程x2+y2-4x+1=0变形为变形为(x-2)2+y2=3，所表示的图形，所表示的图形是圆是圆.()y-x看作是直线看作是直线y=x+b在在y轴上的截距，当直线轴上的截距，当直线y=x+b与与圆相切时，圆相切时，纵截距纵截距b取得最大值和最小值，此时取得最大值和最小值，此时解得解得b=-2 ,所以所以y-x的最大值为的最大值为-2+，最小值为，最小值为-2-.203,2b 666（）x2+y2表示圆
19、上一点与原点距离的平方，由平面几表示圆上一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值和最小值.又圆心到原点的距离为又圆心到原点的距离为所以所以x2+y2的最大值是的最大值是(2+)2=7+4;最小值是最小值是(2-)2=7-4 .涉及与圆有关的最值，可以借助圆的几何性质，涉及与圆有关的最值，可以借助圆的几何性质，依照数形结合思想进行求解；联想过两点的直线的斜率公式，依照数形结合思想进行求解；联想过两点的直线的斜率公式，两点间距离公式，过定点的直线系或平行线系等知识的应用两点间距离公式，过定点的直线
20、系或平行线系等知识的应用.2220002 （）（），3333已知实数已知实数x,y满足方程满足方程x2+y2-4x+1=0，求的，求的最大值与最小值最大值与最小值.设设=k，即，即y=kx，当直线，当直线y=kx与圆相切时，斜与圆相切时，斜率率k取得最大值和最小值取得最大值和最小值.因为圆心（因为圆心（2,0）到直线）到直线y=kx的距离的距离为，所以为，所以得得k=.所以所以yxyx322031kk ，3m axm in33.yyxx （），（）已知圆已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线和直线x+2y-3=0交于交于P，Q两点，且两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标为坐标原
21、点），求该圆的圆心坐标及半径及半径.利用利用OPOQ得到得到O点在以点在以PQ为直径的圆上，为直径的圆上，在利用勾股定理求解在利用勾股定理求解.设已知圆的圆心为设已知圆的圆心为C，弦，弦PQ中点为中点为M，因为因为CMPQ,所以所以kCM=2，所以所以CM所在直线的方程为所在直线的方程为即：即：y=2x+4.y=2x+4x+2y-3=0,解得解得M的坐标为（的坐标为（-1，2）.1322yx （），由方程组由方程组则以则以PQ为直径的圆可设为为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2，因为因为OPOQ所以点所以点O在以在以PQ为直径的圆上为直径的圆上.所以所以(0+1)2+(0-2)2=
22、r2，即，即r2=5，MQ2=5.在在RtCMQ中，因为中，因为CQ2=CM2+MQ2，所以所以所以所以m=3.所以半径为，圆心为所以半径为，圆心为(-，3).在解决与圆有关的问题中在解决与圆有关的问题中.借助与圆的几何性质，往借助与圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化运算往会使得思路简洁明了，简化运算.221164132 25.24m （）（）（）52121.求圆的方程常用待定系数法，步骤大致是：求圆的方程常用待定系数法，步骤大致是：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于根据条件列出关于a,b,r或或D,E,F的方程组；的方程组；解出解出a
23、,b,r或或D,E,F代入标准方程或一般方程代入标准方程或一般方程.2.研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地数形结合求解，一般地形如形如形式的最值问题，可转化为动直线的斜率形式的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题；的最值问题；形如形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线的截距形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；的最值问题；形如形如v=（x-a）2+（y-b）2形式的最值问题，可转化为动形式的最值问题，可转化为动点到定点的最值问题点到定点的最值问题.ybuxa 3.点与圆的位置关系可利用点与
24、圆心的距离和半径点与圆的位置关系可利用点与圆心的距离和半径r的大的大小来判断小来判断.4.圆的问题的解题技巧：处理有关圆的问题，要特别注圆的问题的解题技巧：处理有关圆的问题，要特别注意圆心半径及平面几何知识的应用，如弦心距，半径，弦长意圆心半径及平面几何知识的应用，如弦心距，半径，弦长的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何的一半构成的直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化性质解题，往往使问题简化.1.（2009辽宁卷）辽宁卷）已知圆已知圆C与直线与直线x-y=0及及x-y-4=0都相切，都相切，圆心在直线圆心在直线x+y=0上，则圆上，则圆C的方程为（的
25、方程为（）A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 圆心在圆心在x+y=0上上,排除排除C、D,再结合图象再结合图象,或者验证或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径中圆心到两直线的距离等于半径 即可即可.选选B.本小题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，本小题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于基础题属于基础题.2B 2.(2009广东卷广东卷)以点以点(2，-1)为圆心且与直为圆心且与直线线x+y=6相切的圆的方程是相切的圆的方程是 .将直线将直线x+y=6化为化为x+y-6=0,则易知圆则易知圆的半径的半径 所以圆的方程为所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=.故填故填(x-2)2+(y+1)2=.本小题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标本小题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程及点到直线的距离公式准方程及点到直线的距离公式.2225212xy 2165r,112 252252
