1、第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程问题问题引航引航1.1.曲线的方程和方程的曲线是如何定义的曲线的方程和方程的曲线是如何定义的?只满足一个条只满足一个条件是否可以件是否可以?2.2.如何判断一个方程是某条曲线的方程如何判断一个方程是某条曲线的方程?曲线的方程和方程的曲线的概念曲线的方程和方程的曲线的概念前提前提一般地一般地,在直角坐标系中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C(C(看作点的集看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方上的点与一个二元方程程f(x,y)=0f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系的实数解建立了如下的关系
2、:条件条件曲线上点的坐标都是曲线上点的坐标都是_;_;以这个方程的解为坐标的点都是以这个方程的解为坐标的点都是_结论结论这个方程就叫做曲线的方程这个方程就叫做曲线的方程;这条曲线就叫做方程这条曲线就叫做方程的曲线的曲线这个方程的解这个方程的解曲线上的点曲线上的点1.1.判一判判一判(正确的打正确的打“”,错误的打错误的打“”)(1)(1)若以方程若以方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C C上上,则方程则方程f(x,y)=0f(x,y)=0即为曲线即为曲线C C的方的方程程.(.()(2)(2)若曲线若曲线C C上的点满足方程上的点满足方程F(x,y
3、)=0,F(x,y)=0,则坐标不满足方程则坐标不满足方程F(x,y)=0F(x,y)=0的点不在曲线的点不在曲线C C上上.(.()(3)(3)方程方程x+y-2=0 x+y-2=0是以是以A(2,0),B(0,2)A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程为端点的线段的方程.()【解析解析】(1)(1)错误错误,曲线的方程必须满足两个条件曲线的方程必须满足两个条件.(2)(2)正确正确,根据曲线的方程和方程的曲线的概念根据曲线的方程和方程的曲线的概念,不满足方程不满足方程F(x,y)=0F(x,y)=0的点的点,显然不在显然不在曲线曲线C C上上.(3)(3)错误错误,以方程的解为坐标的
4、点不一定在线段以方程的解为坐标的点不一定在线段ABAB上上,如如M(-4,6)M(-4,6)就不在线段就不在线段ABAB上上.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上)(1)(1)写出曲线写出曲线xy-4x-3y=0 xy-4x-3y=0上一点的坐标上一点的坐标.(2)(2)直线直线C C1 1:x+y=0:x+y=0与直线与直线C C2 2:x-y+2=0:x-y+2=0的交点坐标为的交点坐标为.(3)(3)点点A A 在方程在方程x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=10=10表示的曲线上表示的曲线上,则则m
5、=m=.m(m)2，【解析】【解析】(1)(1)取取x=1,x=1,代入得代入得y-4-3y=0,y-4-3y=0,所以所以,y=-2,y=-2,故点故点(1,-2)(1,-2)在曲线上在曲线上.答案答案:(1,-2)(1,-2)(答案不惟一答案不惟一)(2)(2)由由 得得答案答案:(-1,1)(-1,1)(3)(3)由点由点 在曲线在曲线x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=10=10上上,所以所以 +(-m-1)+(-m-1)2 2=10,=10,解得解得m=2m=2或或m=m=答案答案:2 2或或m(m)2，xy0 xy20，x1y1.，2m()218.5185【要点探究要点探究
6、】知识点知识点 曲线的方程和方程的曲线曲线的方程和方程的曲线对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明(1)(1)定义中的条件定义中的条件说明曲线上没有点的坐标不是方程的解说明曲线上没有点的坐标不是方程的解,即曲线上每个点的坐标即曲线上每个点的坐标都符合这个条件都符合这个条件.(2)(2)定义中的条件定义中的条件说明符合条件的所有解构成的点都应在曲线上说明符合条件的所有解构成的点都应在曲线上.(3)(3)定义的实质是平面曲线上的点集定义的实质是平面曲线上的点集M|p(M)M|p(M)和方程和方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解集的解集(x,y)|f(x
7、,y)=0(x,y)|f(x,y)=0之间是一一对应关系之间是一一对应关系.因此平面曲线可以理解为平面内符合某种因此平面曲线可以理解为平面内符合某种条件的点的集合条件的点的集合.(4)(4)从集合角度看从集合角度看:若设曲线若设曲线C C上的点的坐标组成集合上的点的坐标组成集合A,A,以方程以方程f(x,y)=0f(x,y)=0的实数解为的实数解为坐标的点组成集合坐标的点组成集合B,B,则则A AB B且且B BA,A,所以所以A=B.A=B.【知识拓展知识拓展】两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系曲线曲线C C1 1,C,C2 2的方程分别为的
8、方程分别为f(x,y)=0f(x,y)=0和和g(x,y)=0.g(x,y)=0.(1)(1)若若P(xP(x0 0,y,y0 0)为为C C1 1,C,C2 2交点交点,则则(2)(2)交点的个数与交点的个数与 的解的组数相同的解的组数相同.特别地特别地,C,C1 1与与C C2 2没有公共点没有公共点 没有解没有解.0000f(xy)0g(xy)0.，f(xy)0g(xy)0，f(xy)0g(xy)0，【微思考微思考】(1)(1)是否所有曲线都有相应的方程是否所有曲线都有相应的方程?提示提示:不一定不一定,有的曲线有方程有的曲线有方程,有的曲线就没有方程有的曲线就没有方程.如图如图,随意画
9、一条曲线随意画一条曲线,则求不则求不出方程与之对应出方程与之对应.(2)(2)怎样判断方程是曲线的方程怎样判断方程是曲线的方程?提示提示:判断方程是否是曲线的方程判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手要从两个方面着手,一是检验曲线上点的坐标是一是检验曲线上点的坐标是否都适合方程否都适合方程,二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.【即时练即时练】1.1.已知坐标满足方程已知坐标满足方程F(x,y)=0F(x,y)=0的点都在曲线的点都在曲线C C上上,那么那么()A.A.曲线曲线C C上的点的坐标都适合方程上的点的坐标都适合方程F(x,y)=0
10、F(x,y)=0B.B.凡坐标不适合凡坐标不适合F(x,y)=0F(x,y)=0的点都不在曲线的点都不在曲线C C上上C.C.不在曲线不在曲线C C上的点的坐标必不适合上的点的坐标必不适合F(x,y)=0F(x,y)=0D.D.不在曲线不在曲线C C上的点的坐标有些适合上的点的坐标有些适合F(x,y)=0,F(x,y)=0,有些不适合有些不适合F(x,y)=0F(x,y)=0【解析解析】选选C.C.满足方程满足方程F(x,y)=0F(x,y)=0的点都在曲线的点都在曲线C C上上,但曲线但曲线C C上的点的坐标不一定都上的点的坐标不一定都适合方程适合方程F(x,y)=0,F(x,y)=0,故故
11、A A不正确不正确;坐标不适合坐标不适合F(x,y)=0F(x,y)=0的点的点,也可能在曲线也可能在曲线C C上上,故故B B不不正确正确;因为满足方程因为满足方程F(x,y)=0F(x,y)=0的点都在曲线的点都在曲线C C上上,故不在曲线故不在曲线C C上的点必不适合方程上的点必不适合方程F(x,y)=0,F(x,y)=0,故故C C正确正确,D,D不正确不正确.2.2.设方程设方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解集非空的解集非空,如果命题如果命题“坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)=0f(x,y)=0的点都在曲线的点都在曲线C C上上”是不正确的是不正确的,则下面命题中正确的是则
12、下面命题中正确的是()A.A.坐标满足坐标满足f(x,y)=0f(x,y)=0的点都不在曲线的点都不在曲线C C上上B.B.曲线曲线C C上的点的坐标不满足上的点的坐标不满足f(x,y)=0f(x,y)=0C.C.坐标满足坐标满足f(x,y)=0f(x,y)=0的点有些在曲线的点有些在曲线C C上上,有些不在曲线有些不在曲线C C上上D.D.一定有不在曲线一定有不在曲线C C上的点上的点,其坐标满足其坐标满足f(x,y)=0f(x,y)=0【解析解析】选选D.D.“坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)=0f(x,y)=0的点都在曲线的点都在曲线C C上上”不正确不正确,就是说就是说“坐标满坐标
13、满足方程足方程f(x,y)=0f(x,y)=0的点不都在曲线的点不都在曲线C C上上”是正确的是正确的.这意味着一定有这样的点这意味着一定有这样的点(x(x0 0,y,y0 0),),虽然满足方程虽然满足方程f(xf(x0 0,y,y0 0)=0,)=0,但但(x(x0 0,y,y0 0)C,C,即一定有不在曲线即一定有不在曲线C C上的点上的点,其坐标满足其坐标满足f(x,y)=0,f(x,y)=0,故应选故应选D.D.【题型示范题型示范】类型一类型一 点与曲线的关系及应用点与曲线的关系及应用【典例典例1 1】(1)(1)点点P(a+1,a+4)P(a+1,a+4)在曲线在曲线y=xy=x2
14、 2+5x+3+5x+3上上,则则a a的值是的值是.(2)(2014(2)(2014天津高二检测天津高二检测)若曲线若曲线y y2 2=xy+2x+k=xy+2x+k通过点通过点(a,-a)(aR),(a,-a)(aR),则则k k的取值范围的取值范围是是.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中由条件点中由条件点P(a+1,a+4)P(a+1,a+4)在曲线在曲线y=xy=x2 2+5x+3+5x+3上上,能得出什么结论能得出什么结论?2.2.题题(2)(2)如何求二次函数如何求二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的最值的最值?【探究提示探究提示】1.1
15、.由条件可得出点的坐标满足方程由条件可得出点的坐标满足方程.2.2.对对y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c配方得配方得y=y=当当a0a0时时,y,y有最小值有最小值 当当a0a1,1,即即x1,x1,且当且当x=1x=1时时y0,y0,故选故选D.D.x1【拓展类型拓展类型】曲线的交点问题曲线的交点问题【备选例题备选例题】(1)(1)若直线若直线x-2y-2k=0 x-2y-2k=0与与y=x+ky=x+k的交点在曲线的交点在曲线x x2 2+y+y2 2=25=25上上,则则k k的值是的值是()A.1A.1B.-1B.-1C.1C.1或或-1-1D.D.以上都不对以上都不对(2)
16、(2)求直线求直线y=x+y=x+与曲线与曲线y=xy=x2 2的交点的交点.1232【解析解析】(1)(1)选选C.C.联立得方程组联立得方程组 解得交点为解得交点为(-4k,-3k),(-4k,-3k),代入圆的方程中代入圆的方程中.即即(-4k)(-4k)2 2+(-3k)+(-3k)2 2=25,=25,所以所以k=k=1.1.(2)(2)由由把把代入代入得得x+=xx+=x2 2,即即x x2 2-2x-3=0,-2x-3=0,解得解得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3.=3.将将x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3代入代入得得y y1 1=,y=,y2 2=所以所
17、求交点为所以所求交点为 x2y2k0yxk，23yx21yx2 12321292，19(1)(3).22，【方法技巧方法技巧】求曲线交点的三个步骤求曲线交点的三个步骤【易错误区】【易错误区】方程变形中不是恒等变形致误方程变形中不是恒等变形致误【典例】【典例】(2014(2014高二年级检测高二年级检测)方程方程(x+y-2)(x+y-2)=0=0表示的曲线是表示的曲线是()A.A.一个圆和一条直线一个圆和一条直线B.B.半个圆和一条直线半个圆和一条直线C.C.一个圆和两条射线一个圆和两条射线D.D.一个圆和一条线段一个圆和一条线段22xy9【解析解析】选选C.(x+y-2)C.(x+y-2)=
18、0=0变形为变形为:x x2 2+y+y2 2-9=0-9=0或或表示以原点为圆心表示以原点为圆心,3,3为半径的圆和直线为半径的圆和直线x+y-2=0 x+y-2=0在圆在圆x x2 2+y+y2 2-9=0-9=0外面的两条射线外面的两条射线.22xy922xy9200 xy.，【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析选选A A将方程转化变形时漏掉阴影处将方程转化变形时漏掉阴影处,即忽略了根式应有意义即忽略了根式应有意义【防范措施防范措施】合理进行转化合理进行转化将方程变形时将方程变形时,前后应保持等价前后应保持等价,否则否则,变形后的方程表示的曲线不是原方程代变形后的方程表示的曲线不
19、是原方程代表的曲线表的曲线.另外当方程中含有根式时另外当方程中含有根式时,要注意根式必须有意义要注意根式必须有意义.如本例含有根式如本例含有根式,在化在化简时就容易忽视根式必须有意义而导致错误简时就容易忽视根式必须有意义而导致错误.【类题试解类题试解】方程方程(x+y-1)=0(x+y-1)=0表示的是表示的是()A.A.两条直线两条直线B.B.一条直线一条直线,一条射线一条射线C.C.一个点一个点D.D.两条射线两条射线【解析解析】选选B.B.由方程由方程(x+y-1)=0(x+y-1)=0可得可得或或x-1=0,x-1=0,即即x+y-1=0(x1)x+y-1=0(x1)或或x=1.x=1.故方程表示一条射线故方程表示一条射线x+y-1=0(x1)x+y-1=0(x1)和一条直线和一条直线x=1.x=1.x1x1x10 xy10，
