1、2.3.22.3.2 双曲线简单的几何性质双曲线简单的几何性质 (一一)222bac|MF1|-|MF2|=2a（2a0,b0)(a0,b0)2、对称性、对称性 一、双曲线一、双曲线 的简单几何性质的简单几何性质)0,0(12222babyax1、范围、范围22221,xxaaxaxa 即或关于关于x轴、轴、y轴和原点都对称轴和原点都对称。x轴、轴、y轴是双曲线的轴是双曲线的对称轴对称轴，原点是对称中心，原点是对称中心，又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)讲授新课讲授新课 3、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲
2、线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa12(,0)(,0)AaA a顶点是、只有两个！如图，线段如图，线段 叫做双曲线的实轴，叫做双曲线的实轴，它的长为它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫叫做双曲线的虚半轴长做双曲线的虚半轴长2A1A2B1B（2）实轴与虚轴等长的双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫叫等轴双曲线等轴双曲线（3）)0(22mmyxM(x,y)4、渐近线、渐近线1A2A1B2BN(x,y)Q:的位置关系它与xaby:的位置的变化趋势它与xaby 的下方在xaby 慢慢靠近慢慢
3、靠近xyo-byxabyxaab)0(22xaxaby分的方程为双曲线在第一象限内部xabybabyax的渐近线为双曲线)0,0(12222（1）的渐近线为等轴双曲线)0(22mmyx（2）xy利用渐近线可以较准确的利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图画出双曲线的草图（3）5、离心率、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace 离心率离心率。ca0e 1e是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：11)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,),0()
4、,1(的夹角增大增大时，渐近线与实轴eace222bac二四个参数中，知二可求、在ecba（4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e=?2(5)的双曲线是等轴双曲线离心率2exyo的简单几何性质二、导出双曲线)0,0(12222babxay-aab-b（1）范围）范围:yaya 或（2）对称性）对称性:关于关于x轴、轴、y轴、原点都对称轴、原点都对称（3）顶点）顶点:(0,-a)、(0,a)（4）渐近线）渐近线:xbay（5）离心率）离心率:ace 小小 结结ax 或axayay 或)0,(a),0(axabyxbayace)(222bac其中关于坐关于坐标标轴和轴和原点原点都对都对称称性性
5、质质双曲线双曲线)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象例例1:1:求双曲求双曲线线的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程可得可得:实半轴长实半轴长a=4虚半轴长虚半轴长b=3半焦距半焦距c=焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率离心率:渐近线方程渐近线方程:14416922 xy1342222 xy53422 45 acexy34例题讲解例题讲解12222byax的方程为解：依题意可设双
6、曲线8162aa，即10,45cace又3681022222acb1366422yx双曲线的方程为xy43 渐近线方程为)0,10(),0,10(21FF焦点.4516线和焦点坐标程，并且求出它的渐近出双曲线的方轴上，中心在原点，写焦点在，离心率离是已知双曲线顶点间的距xe 例例2:2:例例3:3:求下列双曲线的标准方程：求下列双曲线的标准方程：法二：法二：巧设方程巧设方程 ,运用待定系数法运用待定系数法.设双曲线方程为设双曲线方程为 ,22(0)91 6xy 22(3)(23)916 14 221944双曲线的方程为xy 法二：法二：设双曲线方程为设双曲线方程为221164xykk 1604
7、0kk 且且221128xy 双曲线方程为双曲线方程为22(32)21164kk ,解之得解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或 设求 得舍 去1 1、“共渐近线共渐近线”的双曲线的应用的双曲线的应用222222221(0)xyabxyab与共 渐 近 线 的 双 曲 线 系方 程 为，为 参 数，0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；0表示焦点在表示焦点在y轴上的双曲线。轴上的双曲线。2222222222222211,1.xyxyabmmcxymcm2、与共 焦 点 的 椭 圆 系 方 程 是双 曲 线 系 方 程 是总结：总结：2214 92 454xye巩
8、 固 练 习：1、求 与 椭 圆有 公 共 焦 点，且 离 心 率的 双 曲 线 方 程。.1916,91625,4455,1505.5,252449222222222yxbaaayaxcc可得求得然后由设共焦点的双曲线为），焦点为（得解：由1,1122222222222222mcymxcmymxbyax双曲线系方程是共焦点的椭圆系方程是注：与 2、求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。的双曲线方程。解：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上，且坐标为轴上，且坐标为），（，022)022(21FF 双 曲 线 的 焦 点 在轴 上，且
9、xc22双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为xy33 bacabab33822222，而，解出解出2622ba，双 曲 线 方 程 为xy22621 12 byax222（a b 0）12222 byax(a 0 b0)222 ba(a 0 b0)c222 ba(a b0)c椭椭 圆圆双曲线双曲线方程方程a b c关系关系图象图象yXF10F2MXY0F1F2 p小小 结结关于关于x x轴、轴、y y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率1(0)xyabab 2 22 22 22 2A1（-a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0
10、，a）1 00yx(a,b)ab 2 22 22 22 2 yayaxR ，或或关于关于x x轴、轴、y y轴、原点对称轴、原点对称 (1)ceea 渐近线渐近线ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)xaxayR ，或或 (1)ceea byxa 22114 92 454xye、求 与 椭 圆有 公 共 焦 点，且 离 心 率的 双 曲 线 方 程。复习练习：复习练习：2.求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。的双曲线方程。3、求
11、以椭圆、求以椭圆 的焦点为顶点，以椭圆的的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。顶点为焦点的双曲线的方程。22185xy2.2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1,(1,3)3)且离心率为且离心率为 的双曲线标准方程的双曲线标准方程.21 1.过点（过点（1，2），且渐近线为），且渐近线为34yx 的双曲线方程是的双曲线方程是_.2.3.22.3.2 双曲线简单的几何性质双曲线简单的几何性质 (二二)关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率yxOA2B2A1B1.F1F2yB2A1A
12、2 B1 xO.F2F1)0(1babyax2 22 22 22 2bybaxa A1（-a，0），），A2（a，0）B1（0，-b），），B2（0，b）)10(eaceF1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0),b(abyax00 1 2 22 22 22 2Ryaxax，或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称A1（-a，0），），A2（a，0）)1(eace渐进线渐进线无无xaby关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0(1babyax2 22 22 22 2A1（-a，0），），A2（a，0）A1
13、（0，-a），），A2（0，a）),b(abxay00 1 2 22 22 22 2Rxayay，或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称)1(eace渐进线渐进线xbay.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或或)1(eacexaby椭圆与直线的位置关系及判断方法椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法判断方法0（1 1）联立方程组）联立方程组（2 2）消去一个未知数）消去一个未知数（3 3）复习复习:相离相切相交一、直线与双曲线的位置关系一、直线与双曲线的位置关系1)1)位置关系
14、种类位置关系种类XYO种类种类:相离相离;相切相切;相交相交(0个交点，一个交点，一个交个交点，一个交点，一个交点或两个交点点或两个交点)2)2)位置关系与交点个数位置关系与交点个数XYOXYO相离相离:0:0个交点个交点相交相交:一个交点一个交点相交相交:两个交点两个交点相切相切:一个交点一个交点3)3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=
15、00 直线与双曲线相交（两个交点）直线与双曲线相交（两个交点）=0 直线与双曲线相切直线与双曲线相切 0 直线与双曲线相离直线与双曲线相离相切一点相切一点:=0相相 离离:0 注注:相交两点相交两点:0 同侧：同侧：0 异侧异侧:0 一点一点:直线与渐进线平行直线与渐进线平行12xx12xx特别注意直线与双曲线的特别注意直线与双曲线的位置关系中：位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支两解不一定同支例例1.1.已知直线已知直线y=kx-1y=kx-1与双曲线与双曲线x x2 2-y-y2 2=4,=4,试讨论实数试讨论实数k k的取值范围的取值
16、范围,使使直线与双曲线直线与双曲线(1)(1)没有公共点没有公共点;(2)(2)有两个公共点有两个公共点;(3)(3)只有一个公共点只有一个公共点;(4)(4)交于异支两点；交于异支两点；(5)(5)与左支交于两点与左支交于两点.(3)k=1，或，或k=；52(4)-1k1；(1)k 或k ；525252(2)k ；52125-k1 k且且练习练习1.过点过点P(1,1)与双曲线与双曲线 只有只有共有共有_条条.变式变式:将点将点P(1,1)改为改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的答案又是怎样的?4116922yx1.两条两条;2.三条三条;3.
17、两条两条;4.零条零条.交点的交点的一个一个直线直线XYO（1，1）。2.双曲线双曲线x2-y2=1的左焦点为的左焦点为F,点点P为左支下半支上任意一点为左支下半支上任意一点(异于顶点异于顶点),则直线则直线PF的斜率的变化范围是的斜率的变化范围是_01，3.过原点与双曲线过原点与双曲线 交于两点的直线斜率的交于两点的直线斜率的取值范围是取值范围是 13422yx32 3，2例例2、如图，过双曲线、如图，过双曲线 的右焦点的右焦点倾斜角为倾斜角为 的直线交双曲线于的直线交双曲线于A，B两点，求两点，求|AB|。22136xy2,F3 0二、弦长问题二、弦长问题练练 习习:1 1.过过 双双 曲
18、曲 线线116922yx的的 左左 焦焦 点点 F1 1作作 倾倾 角角 为为4的的 直直 线线 与与 双双 曲曲 线线 交交 于于A A、B B两两 点点，则则|A AB B|=.2 2.双双 曲曲 线线 的的 两两 条条 渐渐 进进 线线 方方 程程 为为20 xy，且且 截截 直直 线线30 xy所所 得得 弦弦 长长 为为833，则则 该该 双双 曲曲 线线 的的 方方 程程 为为（）(A A)2212xy (B B)2214yx (C C)2212yx (D D)2214xy 1927韦达定理与点差法韦达定理与点差法例例.已知双曲线方程为已知双曲线方程为3x3x2 2-y-y2 2=
19、3,=3,求：求：(1)(1)以以2 2为斜率的弦的中点轨迹；为斜率的弦的中点轨迹；(2)(2)过定点过定点B(2,1)B(2,1)的弦的中点轨迹；的弦的中点轨迹；(3)(3)以定点以定点B(2,1)B(2,1)为中点的弦所在的直线方程为中点的弦所在的直线方程.(4)(4)以定点以定点(1,1)(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；为中点的弦存在吗？说明理由；例.2 22 2y y给给 定定 双双 曲曲 线线 x x-=1 1,过过 点点 A A(1 1,1 1)能能 否否 作作 直直 线线 L L2 2使使 L L 与与 所所 给给 双双 曲曲 线线 交交 于于 两两 点点 P P,Q Q,
20、且且 A A 是是 线线 段段 P P Q Q 的的 中中 点点?说说 明明 理理 由由.1 11 12 22 2解解:假假 设设 存存 在在 P P(x x,y y),Q Q(x x,y y)为为 直直 线线 L L 上上 的的 两两 点点,且且 P P Q Q 的的 中中 点点 为为 A A,则则 有有:2 22 21 11 12 22 22 22 2y yx x-=1 12 2y yx x-=1 12 21 12 21 12 21 12 21 12 22 2(x x+x x)(x x-x x)=(y y+y y)(y y-y y)，即方 程 为1 12 21 12 2y y-y y=2
21、2k k=2 2L L:y y-1 1=2 2(x x-1 1)x x-x x2 揶 V2 22 22 2y yx x-=1 1x x-4 4x x+3 3=0 0 0,0,原点原点O O（0 0，0 0）在以）在以ABAB为直径的圆上，为直径的圆上，OAOB OAOB，即，即x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0,=0,即即x x1 1x x2 2+(ax+(ax1 1+1)(ax+1)(ax2 2+1)=0,+1)=0,(a(a2 2+1)x+1)x1 1x x2 2+a(x+a(x1 1+x+x2 2)+1=0,)+1=0,解得解得a=a=1.1.(1)当当a为何值时，以
22、为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点；为直径的圆过坐标原点；1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a+1)+a+1=03a3a (2)是否存在这样的实数是否存在这样的实数a,使使A、B关于关于y=2x对称，对称，若存在，求若存在，求a;若不存在，说明理由若不存在，说明理由.3、设双曲线、设双曲线C：与直线与直线相交于两个不同的点相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线）求双曲线C的离心率的离心率e的取值范围。的取值范围。（2）设直线）设直线l与与y轴的交点为轴的交点为P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1lxy5,12P AP B 1317,06028912
23、,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以谢谢观看！谢谢观看！4、由双曲线、由双曲线 上的一点上的一点P与左、右与左、右两焦点两焦点 构成构成 ，求，求 的内切圆与的内切圆与边边 的切点坐标。的切点坐标。22194xy12FF、12P F F12PF F12F F说明：说明：双曲线上一点双曲线上一点P与双曲线的两个焦点与双曲线的两个焦点 构成的三角形称之为构成的三角形称之为焦点焦点三角形三角形，其中，其中 和和 为三角形的三边。解决与这个三角形有关为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。12FF、12|P FP F、12|F F
