1、2.2.1综合法和分析法综合法和分析法1.理解综合法和分析法的实质，掌握分析法、综合法 和证明不等式的步骤2使同学了解用分析法证明不等式3使同学了解用综合法证明不等式4提高综合应用知识解决问题的能力 用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q,Q表示所要证明的表示所要证明的结论结论.则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为:1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q一、综合法一、综合法(顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法)利用利用已知条件已知条件和某些和某些数学定义、公理、定理数学定义、公理、定理等
2、等,经过一系列的推理经过一系列的推理论证论证,最后推导出所要证明的结论成立最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法。其综合法。其特特点是点是:“由因导果由因导果”综合法是由一个个推理组成的综合法是由一个个推理组成的 一般地，从要一般地，从要证明的结论证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分充分条件条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立一个明显成立的条件（已知条件、定理、的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做定义、公理等）为止，这种证
3、明的方法叫做分析法。分析法。其特点是：其特点是：执果索因，即要执果索因，即要证结果证结果Q，只需证条件，只需证条件P.1 1Q QP P2 23 3P PP P1 12 2P PP P得到一个明显成立得到一个明显成立的结论的结论二、分析法二、分析法（逆推证法或执果索因法）（逆推证法或执果索因法）类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。用用PiPi表示使所要证明结论成立的充分条件，表示使所要证明结论成立的充分条件，Q Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论.则则分析法的思分析法的思路过程，特点路过程，特点用框图表示为用框图表示为:注意：证明最后面的
4、明显成立的条件可以是：注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等1 1：证明不等式：证明不等式：(a0,b0).(a0,b0).a a+b ba a b b2 2证法证法1:1:因为因为;所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a+b ba a b b 2a a+b ba a b b a a+b ba a b b2 2证法证法2:2:要证要证;a a+b ba ab b2 2()b 20a a 2a a+b ba ab b只需证只需证;20a a+b ba ab b只需证只需证;()b 20a a只需证只需证;因为因为
5、;成立成立a a+b ba a b b2 2所以所以 成立成立综合法综合法分析法分析法思考：思考：综合法与分析法综合法与分析法有什么异同？有什么异同？都是直接证明都是直接证明综合法：综合法：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止逐步下推，直到推出要证明的结论为止相同不同不同 分析法：分析法：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止分析法分析法结论结论 已知条件已知条
6、件 综合法综合法已知条件已知条件结论结论综合法和分析法的推证过程如下：综合法和分析法的推证过程如下：(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；（2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论归结为一个明显成立的条件即可。的充分条件，直至把证明的结论归结为一个明显成立的条件即可。(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等关联词语综合法和分析法的各自特点和它们的适用情况。综合法和分析法的各自特点和它们的适用情况。（1 1）综
7、合法：）综合法：由因导果由因导果，当条件明确，思路清晰时适用；，当条件明确，思路清晰时适用；（2 2）分析法：）分析法：执果索因执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。，当条件多，入手难，思路乱时适用。（3 3）综合法是分析法的逆过程。）综合法是分析法的逆过程。已知条件已知条件结论结论结论结论 已知条件已知条件 1.求证：求证：6372证法一：为了证明为了证明6372成立成立因为因为,6372都是正数和所以只需证明所以只需证明22)63()72(成立成立展开得展开得18291429即即1821421814 1814 因为因为1814 成立，所以成立，所以6372成立成立证法二：1814 18
8、14 18214222)63()72(637218291429都是正数，所以要证和证明：因为10183101832210183）（）（1024 显然成立，所以因为1024 成立52731024 在本例中，如果我们从在本例中，如果我们从“2410”出发，逐步倒推回去，出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从但由于我们很难想到从“2410”入手，所以用综合法比较困难入手，所以用综合法比较困难.反思反思.,.,证证明明思思路路件件能能启启发发我我们们的的命命题题中中的的条条式式时时在在证证明明条条件件不不等等它它为为条条件件不不等等式式我我们们称称下下得
9、得出出的的条条件件是是在在本本例例的的结结论论121 naaa,1111121aaaRa 所以因为证明.111aa 即,2221aa 同理 ,nnaa21 .,时取等号所以原式在取等号时因为121121 niiiaaaaaa得由不等式的性质因为,Raaan21.)(,),(,和和证证明明方方法法是是一一种种执执果果索索因因的的思思考考这这明明方方法法叫叫做做这这种种证证立立从从而而得得出出要要证证的的命命题题成成质质等等定定理理、性性定定义义、公公理理或或已已证证明明的的的的事事实实立立成成或或一一个个明明显显至至所所需需条条件件为为已已知知条条件件直直条条件件步步寻寻求求使使它它成成立立的的
10、充充分分逐逐出出发发论论结结的的要要证证常常从从常常还还们们我我时时证证明明命命题题methodanalytical .,abcbaccabba2022222 所以因为 .,abcacbbacac2022222 所以因为 .,abccbaabccb2022222 所以因为证明把它们相加得个不取等号式中至少有一所以上述不全相等由于,cba )()()()(2222333baccabcbacba综合法分析法特点由因索果由果索因条件充分条件不要条件格式PQ1Q2.QnQQP1P2.PnP关系解答个一般方式解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的PQ1Q2.Qn QPn.P2 P1P课堂小结课堂
11、小结【1】已知已知a0a0，b0b0，求证：，求证：a3+b3a2b+ab2.即即a3+b3a2b+ab2.证明一：证明一：比较法（作差）比较法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)a0a0，b0b0，(a-b)2(a+b)0.故（故（a3+b3）-（a2b+ab2）0,a+b00，而，而(a-b)20.=(a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)故故a3+b3a2b+ab2.2233abbaba 证明二：证明二：比较法（作商）比较法（作商）a2+b22ab，ababab2 ababba22 )ba(ab)abba
12、)(ba(22 1 又又a0a0，b0b0，所以，所以ab00，所以有所以有a3+b3a2b+ab2.证明三：分析法证明三：分析法欲证欲证a3+b3a2b+ab2，只需证明只需证明(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).由于由于a0a0，b0b0，所以所以a+b00，故只要证明故只要证明a2+b2-abab即可。即可。即即证明证明a2+b22ab.而而a2+b22ab 显然是成立的显然是成立的即即a3+b3a2b+ab2.证明四：综合法证明四：综合法a2+b22ab，a2+b2-abab.又又a0a0，b0b0，a+b00，故故(a+b)(a2+b2-ab)ab(a+b).2 2.如图如
13、图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线,垂足为垂足为E,E,过过E E 作作SCSC的垂线的垂线,垂足为垂足为F,F,求证求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A证法一证法一:要证要证AFSCAFSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AESC:AESC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AEBC:AEBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BCSA:BCSA只需证只需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以
14、.AFSC.AFSC成立成立分析：分析：本题条件较多，而且垂直关本题条件较多，而且垂直关系较多，我们不容易发现如何使用系较多，我们不容易发现如何使用这些垂直条件，因此利用综合法比这些垂直条件，因此利用综合法比较困难，我们采用分析法，较困难，我们采用分析法，证法二证法二:SA:SA平面平面ABCABC AEBC AEBC又又AESB,AESB,且且BCSB=BBCSB=B AE AE平面平面SBCSBC AESC AESC又又EFSC,EFSC,且且AEEF=EAEEF=E SC SC平面平面AEFAEF AFSC AFSCBCSABCSA BC BC平面平面SABSAB又又ABBC,ABBC,且且ABSA=AABSA=A
