1、东北大学机械工程与自动化学院（东北大学机械工程与自动化学院（2012）Page 2学习导航学习导航4.1 4.1 信号的时域分析信号的时域分析4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析4.4 4.4 信号的时频分析信号的时频分析第4章 信号的分析与处理 Page 34.1 4.1 信号的时域分析信号的时域分析 4.1.1 4.1.1 信号的时域统计参数信号的时域统计参数1 1、连续信号主要统计参数的计算、连续信号主要统计参数的计算 （1 1）均值）均值：（2 2）均方值：）均方值：（3 3）均方根值：）均方根值：（4 4）方差：）方差：（5 5）标
2、准差：）标准差：TTxttxT0d)(1lim222xxxxTxxxTxdttxT02222)(1limxrmsx22201lim()TxTx t dtT01()Txx t dtT2201()Txx t dtTPage 42 2、离散时间序列主要统计参数的计算、离散时间序列主要统计参数的计算 （1 1）离散信号的均值）离散信号的均值：（2 2）离散信号的离散信号的均方值：均方值：（3 3）离散信号的离散信号的均方根值：均方根值：（4 4）离散信号的离散信号的方差：方差：标准差：标准差：NnnNxxN11limNnnNxxN11limNnNxnxN1221limnnxnNxxN1221lim22
3、xxx4.1 信号的时域分析信号的时域分析Page 53 3、时域统计参数的应用、时域统计参数的应用 （1 1）均方根值诊断法）均方根值诊断法 利用系统上某些特征点振动响应的均方根值作为判利用系统上某些特征点振动响应的均方根值作为判断故障的依据。断故障的依据。均方根值诊断法可适用于作简谐振动的设备、作周均方根值诊断法可适用于作简谐振动的设备、作周期振动的设备，也可用于作随机振动的设备。测量的期振动的设备，也可用于作随机振动的设备。测量的参数：低频（几十参数：低频（几十HzHz）时宜测量位移；中频（）时宜测量位移；中频（1000Hz1000Hz左右）时宜测量速度；高频时宜测量加速度。左右）时宜测
4、量速度；高频时宜测量加速度。国际标准协会的国际标准协会的ISO2372ISO2372、ISO2373ISO2373对回转机械允许对回转机械允许的振动级别规定如表的振动级别规定如表4-14-1所示。所示。4.1 信号的时域分析信号的时域分析Page 6均方根值诊断法多适用于机器作稳态振动的情况。如果机器振动不平稳可用振幅-时间图诊断法。振幅-时间图诊断法多是测量和记录机器在开机和停机过程中振幅随时间变化过程，根据振幅-时间曲线判断机器故障。例：离心式空压机或其它旋转机械的开机过程。若记录到的振幅A随时间t变化的几种情况如图所示。（2 2）振幅时间图诊断法）振幅时间图诊断法 (a)振幅不变，其他设
5、备及地基振动，流体压力脉动或阀门振动。(b)振幅随开机过程增大，转子失衡，轴承座和基础刚度小，推力轴承损坏等。(c)开机过程中出现共振。柔性转子，箱体、支座、基础共振。(d)振幅在开机过程中突然增大，油膜振荡，间隙过小或过盈不足。4.1 信号的时域分析信号的时域分析Page 74.1.2 4.1.2 信号的概率密度函数信号的概率密度函数 1、概率密度函数分析 概率分布函数对于任何随机信号 21d)()(xxxxpxPdxxdPxpxxPdxxpxxPdxxpxxPdxxpxPxx)()()(1)()()()(1)()(11111均值均方根值标准差 dxxxpx)(dxxpxxrms)(2dxx
6、pxxx)()(2正弦信号正弦加随机噪声 窄带随机信号 宽带随机信号 4.1 信号的时域分析信号的时域分析Page 82 2、典型信号的概率密度函数、典型信号的概率密度函数 （1）正弦波信号正弦信号 x=Asint221)(xAxp在均值x处p(x)最小；在信号的最大、最小幅值处p(x)最大。4.1 信号的时域分析信号的时域分析Page 9（2 2）正态分布随机信号）正态分布随机信号 概率密度函数 一维高斯概率密度曲线和概率分布曲线 224)(exp21)(xxxxxp4.1 信号的时域分析信号的时域分析Page 10（3 3）混有正弦波的高斯噪声的概率密度函数）混有正弦波的高斯噪声的概率密度
7、函数 含有正弦信号s(t)=Ssin(2ft+)的随机信号x(t)的表达式：其中：n(t)为零均值的高斯随机噪声，其标准差为n。)()()(tstntxd)4cos(exp21)(022nnSxxp x(t)的标准差为s，其概率密度函数表达式为：4.1 信号的时域分析信号的时域分析Page 114.2.1 4.2.1 相关系数相关系数 相关指变量之间的线性关系。确定性信号的相关性可用函相关指变量之间的线性关系。确定性信号的相关性可用函数关系描述，随机信号的相关性用统计量描述。数关系描述，随机信号的相关性用统计量描述。4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 相关系数 22()()()()x
8、yxyxyxyxyE xyE xE y 由柯西-许瓦兹不等式 222()()()()xyxyE xyE xE y所以所以xy1。xy=1说明说明x，y理想地线性相关；理想地线性相关；xy=0表示表示x，y完完全无关。全无关。Page 124.2.2 4.2.2 自相关函数分析自相关函数分析 1、自相关函数的概念 4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 x(t)和和 的相关系数：的相关系数：222202()()()()1lim()()xxxxxxTxTxEx tx tE x t x tx t x tdtT（）定义自相关函数()x t01()()lim()()TxTRE x t x tx t
9、 x tdtT（）则有 22)()(xxxxRPage 134.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 TTxttxtxTR0d)()(1lim)(信号的性质不同，自相关函数有不同的表达形式。周期信号（功率信号）非周期信号（能量信号）TxttxtxTR0d)()(1)(ttxtxRxd)()()(Page 142 2、自相关函数的性质、自相关函数的性质 1 1）自相关函数为实偶函数）自相关函数为实偶函数，即即 Rx()=)=Rx(-(-)。4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 证明：证明：)()(d)()(1limd)()(1lim)(00 xTTTTxRttxtxTttxtxTR2
10、 2）值不同，值不同，Rx()不同，当不同，当=0时，时，Rx(0)的值最大，并等于的值最大，并等于信号的均方值信号的均方值x2。TxxxTxttxTR02222d)(1lim)0(2(0)(0)1xxxRPage 153 3）Rx()值的限制范围值的限制范围 4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 2222)(xxxxxR4 4）当）当时，时，x(t)和和x(t+)之间不存在内在联系，彼此无关，之间不存在内在联系，彼此无关，即即x()0，Rx()x2。若x=0，则Rx()0，如图所示。Page 165 5）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数。）周期函数的自相关函数仍为同频率的周期
11、函数。例 求正弦函数 的自相关函数。解4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析)sin()(0txtxTxdttxtxTR0)()(1)(TdtttxT00)(sin)sin(1令t+=cos2d)2cos(cos212)(202020 xxRxPage 17正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在=0=0时有最大值。时有最大值。它保留了幅值信息和频率信息，但丢失了原正弦函数中的初始它保留了幅值信息和频率信息，但丢失了原正弦函数中的初始相位信息。相位信息。只要信号中含有周期成分，其自相关函数在只要信号中含有周期成分，其自相关函数在很大时都不衰减很大时都不
12、衰减，并具有明显的周期性。，并具有明显的周期性。不包含周期成分的随机信号，自相关函数随不包含周期成分的随机信号，自相关函数随的增大趋于零。的增大趋于零。宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到零，窄带随机噪声的衰宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到零，窄带随机噪声的衰减较慢。白噪声自相关函数收敛最快，为减较慢。白噪声自相关函数收敛最快，为-函数，所含频率函数，所含频率为无限多，频带无限宽。为无限多，频带无限宽。4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 Page 181、互相关函数的概念互相关函数互相关函数Rxy()定义：4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 4.2.3 4.2.3 互相关函
13、数分析互相关函数分析 01()()lim()()TxyTRE x t y tx t y tdtT（）两信号x(t)和y(t)的互相关系数互相关系数 0()()()()1lim()()xyxyxyxyxyTxyTxyxyxyxyEx ty tE x t y tx t y tdtRT （）（）-Page 192 2、互相关函数的性质、互相关函数的性质 （1）互相关函数是可正、可负的实函数。（2）互相关函数是非偶、非奇函数，并且有Rxy()=Ryx(-)。（3）Rxy()的峰值不在=0处，其峰值偏离原点的位置0反映了两信号时移的大小，相关程度最高。（4）互相关函数的限制范围：xyxyxyxyxyR
14、（）4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 Page 20（5）两个统计独立的随机信号，当均值为零时，则Rxy()=0。4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 因为，将随机信号x(t)和y(t)表示为其均值和波动部分之和的形式：)()(txtxx)()(tytyy则有yxxyTyxTTTxyRttytxTttytxTR)(d)()(1limd)()(1lim)(00（6）两个不同频率周期信号的互相关函数为零。0d)(sin()sin(1d)()(1)(02211000TTxytttyxTttytxTR（7）周期信号与随机信号的互相关函数为零。Page 21例例 求两个同频率正弦函数
15、的互相关函数：求两个同频率正弦函数的互相关函数：)sin()(0txtx4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析)sin()(0tyty)cos(21)(sin)sin(1)()(1lim)(000000yxdttytxTdttytxTRTTTxy可见，两个均值为零且具有相同频率的周期信号，其互相关函数中保留了这两信号的圆频率圆频率、对应的幅值幅值x0和和y0以及相位差相位差值值的信息，即两同频率的周期信号，才有互相关函数。Page 224.2.4 4.2.4 相关函数的应用相关函数的应用 1、自相关函数的应用自相关函数分析主要用来检测混淆在随机信号的确定性信号。自相关函数的性质，周期信号
16、或任何确定性信号在所有时差值上都有自相关函数值，而随机信号当足够大以后其自相关函数趋于零（假定为零均值随机信号）。汽车车身振动的自相关分析汽车车身振动的自相关分析在汽车车身架处测得的振动加速度时间历程曲线图a及其自相关函数图b。尽管测得信号本身呈现杂乱无章的，混有一定程度的随机干扰，但其自相关函数却有一定的周期性，其周期T约为50ms，说明存在着周期性激励源，其频率f=1/T=20Hz。4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 Page 23从强噪声中检测到微弱的正弦信号从强噪声中检测到微弱的正弦信号一个微弱的正弦信号被淹没在强干扰噪声之中，但在自相关函数中，当足够大时该正弦信号能清楚地显
17、露出来。在机械等工程应用中自相关分析有一定的使用价值。但一般说来，用它的傅里叶变换(自谱)来解释混在噪声中的周期信号可能更好些。另外，由于自相关函数中丢失了相位信息，这使其应用受到限制。4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 Page 242 2、互相关函数的应用、互相关函数的应用 如果系统是线性的，则滞后的时间可以直接用输入、输出互相关图上峰值的位置来确定。识别、提取混淆在噪声中的信号。根据线性系统的频率保持性，只有和激振频率相同的成分才可能是由激振引起的响应，其它是干扰成分。只要将激励信号和响应信号做互相关处理，就可以得到由激振引起的响应，消除噪声的干扰。(1)相关测速相关测速 热轧
18、钢带的光经两个透镜聚焦到相 距d的光电池，被转换成电信号x(t)和y(t)。调整延迟，使延时等于钢带 经过d的时间。读取互相关函数最大 值对应的延时d。钢带速度：v=d/d4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 Page 25（2 2）相关分析在故障诊断中的应用）相关分析在故障诊断中的应用 确定输油管裂损位置确定输油管裂损位置 根据互相关函数确定两个传感器根据互相关函数确定两个传感器1 1和和2 2信号的时差信号的时差m，即声波从声，即声波从声源到达两个测点的时差，于是，可以确定声源即故障点的位置。源到达两个测点的时差，于是，可以确定声源即故障点的位置。4.2 4.2 信号的相关分析信号
19、的相关分析 mvS21式中：S两传感器的中点至漏损处的距离；V音响通过管道的传播速度。Page 26（3 3）传递通道的相关测定）传递通道的相关测定 汽车司机座振动传递途径的识别汽车司机座振动传递途径的识别 在发动机、司机座、后桥放置三个加速度传感器，将输出并放大的信号进行相关分析，可以看到：发动机与司机座的相关性较差，而后桥与司机座的互相关较大，可以认为司机座的振动主要是由汽车后轮的振动引起的。4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 Page 27复杂管路系统振动传递途径的识别：管路系统图中，管路系统图中，A A点压力正常，点压力正常，B B点压力异常。对点压力异常。对A A、B B两
20、点的压两点的压力信号做互相关分析，可以比较各传递途径对力信号做互相关分析，可以比较各传递途径对B B点压力的影响。点压力的影响。4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关分析 Page 28（4 4）相关分析的声学应用）相关分析的声学应用 利用相关分析区分不同时间到达的声音。利用相关分析区分不同时间到达的声音。测量墙板隔音性能时，微音器输出信号测量墙板隔音性能时，微音器输出信号x2(t)由穿透声和绕射声由穿透声和绕射声叠加而成。因为穿透声先到微音器，所以相关图中第一个峰表叠加而成。因为穿透声先到微音器，所以相关图中第一个峰表示穿透声的功率。示穿透声的功率。4.2 4.2 信号的相关分析信号的相关
21、分析 测量墙板的衰减 绕射声和穿透声的相关峰 Page 294.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析4.3.1 4.3.1 功率谱密度函数功率谱密度函数 1、帕斯瓦尔（Paseval）定理 帕斯瓦尔定理：在时域中信号的总能量,等于在频域中信号的总能量 4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析dffXdttx22|)(|)(X(f)2称为能谱,它是沿频率轴的能量分布密度。Page 302 2、功率谱密度函数（简称功率谱）的定义、功率谱密度函数（简称功率谱）的定义 定义：定义：随机信号x(t)的自功率谱密度函数（简称自谱）4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析其逆变换为 d)()(2
22、jfxxeRfSfefSRfxxd)()(2 j 自相关函数Rx()为实偶函数，Sx(f)亦为实偶函数。Sx(f)中包含着Rx()的全部信息。定义：定义：两个随机信号x(t)和y(t)的互功率谱密度函数（简称互谱）d)()(2 jfxyxyeRfS其逆变换为 fefSRfxyxyd2 j 互相关函数Rxy()并非偶函数，因此Sxy(f)具有虚、实两部分，同样，Sxy(f)保留了Rxy()的全部信息。Page 313 3、功率谱密度函数的物理意义、功率谱密度函数的物理意义 由Sx(f)曲线可知这一总功率是由无数的在不同频率上的功率元Sx(f)df所总合而成的，Sx(f)波形的起伏表示了总功率在各
23、频率处的功率元分布的变化情况，称Sx(f)为随机信号x(t)的功率谱密度函数。用同样的方法，可以解释互谱密度函数Sxy(f)。4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析20()(0)()limTxxTx tRSf dfdtTPage 32自谱自谱Sx(f)和幅值谱和幅值谱X(f)或能谱或能谱X(f)2之间的关系之间的关系 在整个时间轴上，信号平均功率为 4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析 ffXTttxTPTTTavd1limd1lim202dffXdttx22|)(|)(自功率谱密度函数和幅值谱的关系为自功率谱密度函数和幅值谱的关系为 单边谱和双边谱：单边谱和双边谱：自功率谱密度
24、函数是偶函数，它的频率范围是(-，)，称双边自功率谱密度函数。它在频率范围(-，0)的函数值是其在(0，)频率范围函数值的对称映射，因此，可用在f=0范围内Gx(f)=2Sx(f)来表示信号的全部功率谱。把Gx(f)称为x(t)信号的单边功率谱密度函数。Page 334 4、自功率谱密度、自功率谱密度Sx(f)与幅值谱的关系与幅值谱的关系 自功率谱密度Sx(f)为自相关函数Rx()的傅里叶变换，故Sx(f)包含着Rx()中的全部信息。自功率谱密度Sx(f)反映信号的频域结构，这与幅值谱x(f)相似，但是自功率谱密度所反映的是信号幅值的平方，因此其频域结构特征更为明显。幅值谱和自功率谱4.3 4
25、.3 信号的频域分析信号的频域分析Page 344.3.2 4.3.2 功率谱的应用功率谱的应用 1 1、功率谱密度、功率谱密度Sx(f)与幅值谱与幅值谱x(f)及系统的频率响应函数及系统的频率响应函数H(f)的的关系关系若输入为x(t)，输出为y(t)，系统的频率响应函数为H(f)，则有 4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析)()()(fXfYfH其中，H(f)、Y(f)、X(f)均为f 的复函数。)(j)()(fXfXfXIRX(f)表示为 X(f)的共轭值为)(j)()(fXfXfXIR*()()()()()()()xyxxSfY fXfH fX fXfSfg则有*2*()()(
26、)()()()()()()yxSfY fYfH f HfH fX fXfSfgPage 354.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析对于对于输入、输出的自功率谱密度与系统频率响应函数的关系输入、输出的自功率谱密度与系统频率响应函数的关系：2()()()yxSfH fSf)(|)(|)(2fGfHfGxy)(/)()(fSfSfHxy 通过输入、输出自谱的分析，就能得出系统的幅频特性。但这样的谱分析丢失了相位信息，不能得出系统的相频特性。对于单输入、单输出的理想线性系统，可得对于单输入、单输出的理想线性系统，可得 ()()()xyxSfH f Sf所得到的H(f)不仅含有幅频特性而且含有相频
27、特性，这是因为互相关函数中包含着相位信息。Page 362 2、利用互谱排除噪声影响、利用互谱排除噪声影响 受到外界干扰测试系统，n1(t)为输入噪声，n2(t)为加于系统中间环节的噪声，n3(t)为加在输出端的噪声。该系统的输出y(t)为 4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析)()()()()(321tntntntxty式中：x(t)、n1(t)和n2(t)分别为系统对x(t)、n1(t)和n2(t)的响应。输入与输出y(t)的互相关函数为)()()()()(321 xnnxnxxxxyRRRRR)()(xxxyRR)()()()(fSfHfSfSxxxxyPage 373 3、功率
28、谱在设备诊断中的应用、功率谱在设备诊断中的应用 汽车变速箱正常工作谱图机器运行不正常时的谱图 增加了9.2Hz和18.4 Hz两个谱峰，这两个频率为设备故障的诊断提供了依据。4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析Page 384 4、瀑布图、瀑布图 各转速下的功率谱组合为转速各转速下的功率谱组合为转速功率谱三维图，称为瀑布图。功率谱三维图，称为瀑布图。4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析两种阶次两种阶次共振共振瀑布图Page 395 5、坎贝尔图、坎贝尔图 坎贝尔图是在三维谱图的基础上，以谐波阶次为特征的振动旋转信号三维谱图。汽轮发电机组振动的坎贝尔图 4.3 4.3 信号的频域
29、分析信号的频域分析Page 404.3.3 4.3.3 相干函数相干函数 1 1、相干函数的定义、相干函数的定义 4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析)1)(0()()(|)(|)(222ffSfSfSfxyyxxyxy2 2、相干函数的物理含义、相干函数的物理含义 相干函数是在频域内反映两信号相关程度的指标。评价其输入信号与输出信号间的因果性。1)()()()()()()()()()(|)(|)(222fSfSfSfSfSfSfSfHfSfSfSfyxxyyxxyxxyxy线性系统线性系统 表明：对于一个线性系统，其输出与输入之间的功率谱关系是相干函数为1，这表明输出完全是由输入引起
30、的线性响应。02xy(f)1表明有三种可能性：表明有三种可能性：(1)联系x(t)和y(t)的系统不完全是线性的；(2)系统的输出y(t)是由x(t)和其他干扰信号共同输入所引起的；(3)在输出端有干扰噪声混入。所以2xy(f)的数值标志了y(t)由x(t)线性引起响应的程度。Page 413 3、相干函数的应用、相干函数的应用 (1)系统因果性检验(2)鉴别物理结构的不同响应信号间的联系。柴油机润滑油泵的油压脉动与压油管道振动的两信号的自谱和相干函数。4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析结论：油管振动的主要原结论：油管振动的主要原因是油压脉动。因是油压脉动。Page 424.3.4
31、4.3.4 倒频谱分析及其应用倒频谱分析及其应用 1、倒频谱的数学描述 倒频谱函数Cp(q)定义4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析2|)(log|)(fSFqCxp幅值倒频谱|)(log|)()(0fSFqCqCxp还可以定义 fSFqCyylog1自相关函数 fSFRy1这种定义与自相关函数相近，变量q与在量纲上完全相同。x(t)的倒频谱 fXFqClog10Page 432 2、倒频谱的应用、倒频谱的应用 （1）分离信息通道对信号的影响在机械状态监测和故障诊断中，所测得的信号，往往是由故障源经系统路径的传输而得到的响应，也就是说它不是原故障点的信号，如欲得到源信号，必须删除传递通
32、道的影响。例在噪声测量时，所测得之信号，不仅有源信号而且混入不同方向反射的回声信号。要提取源信号，须删除回声的干扰信号。4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析 系统的输入为x(t)，输出为y(t)，脉冲响应函数是h(t)，三者的时域关系为时域关系为)()()(thtxty频域的关系为频域的关系为)()()(fHfXfY功率谱的公式功率谱的公式 2|)(|)()(fHfSfSxyPage 44|)(|log)(log)(log2fHFfSFfSFxy即 4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析 图像，源信号为具有明显周期特征的信号，经过系统特性logGh(f)的影响修正，合成而得输出信
33、号logGy(f)。进一步作傅里叶变换，即可得幅值倒频谱2|)(|log)(log)(logfHfSfSxy qCqCqChxy低倒频率低倒频率q1，反映系统的特征；高倒频率反映系统的特征；高倒频率q2，反映源信号特性。，反映源信号特性。Page 45（2 2）用倒频谱诊断齿轮故障）用倒频谱诊断齿轮故障 调幅信号 4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析)sin()()(0ttStym啮合圆频率啮合圆频率齿轮偏心随时间变化函数齿轮偏心随时间变化函数 0()(1cos)sin()my tAmtt转轴圆频率转轴圆频率 tmAtmAtnAtymm000sin2sin2sin齿轮啮合中的拍波及频谱
34、Page 46如果频谱图上出现过多的频差，则难以识别，这时，可以使用如果频谱图上出现过多的频差，则难以识别，这时，可以使用倒频谱。倒频谱。例如，图中左图为一个减速箱的频谱图，右图为其倒频谱图。例如，图中左图为一个减速箱的频谱图，右图为其倒频谱图。从倒谱图可以清楚地看出两个主要频率分量：从倒谱图可以清楚地看出两个主要频率分量：117.6 Hz(8.5 ms)和和48.8 Hz(20.5 ms)。4.3 4.3 信号的频域分析信号的频域分析减速箱频谱和倒频谱图减速箱频谱和倒频谱图Page 474.4 4.4 信号的时频分析信号的时频分析4.4.14.4.1时频分析的基本概念时频分析的基本概念 时频
35、分析法是指用时间和频率的联合函数来表示非平稳信号，并对其进行分析和处理的一种方法。1 1、从傅里叶变换到时频分析、从傅里叶变换到时频分析 全局性的变换能得到的仅是一个有限时间段内的信号4.4 信号的时频分析信号的时频分析22()()()()TjftjftTX fx t edtx t edtXf时频分析法按所设计的时频联合函数不同可以分为各种类型：（1 1）线性时频表示）线性时频表示若x(t)ax1(t)+bx2(t)，a、b为常数，而P(t，f)、P1(t，f)、P2(t，f)分别为x(t)、x1(t)、x2(t)的线性时频表示，则P(t，f)a P1(t，f)+b P2(t，f)线性时频表示
36、有短时傅里叶变换(STFT)、戈勃(Gabor)展开及小波变换等。Page 48（2 2）双线性时频表示）双线性时频表示 这类时频表示由能量谱或功率谱演化而来，其变换是二次的，也称二次型时频表示。二次型时频表示不满足线性。若x(t)ax1(t)+bx2(t)，P(t，f)、P1(t，f)、P2(t，f)分别为x(t)、x1(t)、x2(t)的二次型时频表示，则有P(t，f)a2P1(t，f)+b2P2(t，f)+2ReabP12(t，f)式中：最后一项称之干扰项，也称互项，P12(t，f)称为x1(t)，x2(t)的互时频表示。在双线性时频表示中，主要有Cohen类双线性时频分布和仿射类双线性
37、时频分布等，而著名的维格纳(Wigner)分布是联结Cohen类分布与仿射类分布的纽带，也是研究较多的一种双线性时频表示。4.4 信号的时频分析信号的时频分析Page 492 2、信号分辨率、信号分辨率 （1）时间分辨率 对于信号x(t)，其信号能量按时间的密度(分布)函数可记为x(t)2，在t内的部分能量可记为x(t)2t，而其信号总能量可以表示为 4.4 信号的时频分析信号的时频分析 可以看出，由信号的时间函数表示x(t)，可以确切知道每个时间点的能量密度。因此，信号的时间函数表示具有无限的时间分辨率。信号频谱X(f)仅为频率的函数，从X(f)中不能直接得到任何信号能量随时间分布的性状，因
38、此信号频谱函数表示的时间分辨率为零。为描述信号能量随时间分布的性态，可按x(t)2来定义信号能量分布的时间中心t0和持续时间T=x=t，x称信号的时窗半径，t0则称为时窗中心，它们分别满足2()Ex tdt20()tt x tdt220()()xttx tdt Page 50（2 2）频率分辨率）频率分辨率 4.4 信号的时频分析信号的时频分析 对于频谱函数X(f)的信号，其信号能量按频率的密度(分布)函数可记为X(f)2，即能量谱密度函数。在f内的部分能量可记为X(f)2f，信号总能量可以表示为 2()EX fdf 由X(f)可以确切知道每个频率点(如ff 0)的能量密度。因此，信号的频谱函
39、数表示具有无限的频率分辨率。显然，信号的时间函数表示的频率分辨率为零。为描述信号能量随频率分布的性态，可按X(f)2来定义信号能量分布的频率中心=f 0和均方根宽带B=X=f，f称为信号的频窗半径，f 0称为频窗中心，它们分别满足202()ff X fdf2202()()XffX fdfPage 51（3 3）不确定性原理）不确定性原理 4.4 信号的时频分析信号的时频分析理想的时频表示方法,希望在时间和频率上都具有无限分辨率，即从信号的时频表示P(t，f)中能确切知道信号能量在(t，f)点的分布，然而这是不可能的。介绍的Heisenberg不确定原理不允许有“某个特定时间和频率点上的能量”概
40、念。不确定性原理：若当t时，()0tx t，则 12xX 只有当x(t)是高斯函数，即 2()atx tAe12xX 时，若要准确求得任何信号在(t，f)处的能量密度，必须测量信号在(t，f)点某一无限小的二维邻域内的能量。这就要求所加的二维窗函数x(t)的x和X同时无限小，而据上述定理，这是不可能的。因此，准确表示信号在(t，f)点的能量密度的时频表示是不存在的。所有的时频表示，只能不同程度地近似表示信号在(t，f)处的能量密度，即只同时具有有限的时间分辨率和频率分辨率。Page 523 3、瞬时频率、瞬时频率（1 1）瞬时频率的定义）瞬时频率的定义具有有限能量的复信号s(t)A(t)e-(
41、t)(A(t)为实函数)。定义s(t)的相位函数(t)对时间的导数为s(t)的瞬时频率，即 4.4 信号的时频分析信号的时频分析()()idttdts(t)的频窗中心f0满足 20()is tdt瞬时频率按能量时间密度加权平均值为频窗中心，或称平均频率。（2 2）解析信号）解析信号实际信号一般为实信号，其相位函数恒等于零。可定义实信号x(t)对应的复信号s(t)为()()()s tx tjx t%解析信号s(t)的瞬时频率和平均频率为原实信号的瞬时频率和平均频率。（3 3）单分量信号）单分量信号 单分量信号是在任意时刻只有一个频率或一个频域窄带的信号。时频分析是采用二维窗函数的方法，将多分量信
42、号分离为单分量信号。Page 534 4、非平稳随机信号、非平稳随机信号 非平稳随机信号是统计特征时变的随机信号。（1）统计特征非平稳随机信号的概率密度p(x，t)是时间的函数。在t=ti点，其概率密度仍满足 (,)1ip x t dx定义均值mx(t)、均方值Dx(t)和方差ex2(t)()()(,)xm tE x txp x t dx22()()(,)xD tE x tx p x t dx22()()()xxxtD tm t定义自相关函数和互相关函数*(,)()()22xxRtE x tx t*(,)()()22xyRtE x ty t4.4 信号的时频分析信号的时频分析Page 54（2
43、 2）时变谱）时变谱 非平稳随机信号的时变谱。主要有以下三种方式：时变功率谱：例如自相关函数的一维傅里叶变换：4.4 4.4 信号的时频分析信号的时频分析2(,)(,)jfxxxxSt fRted 时频分布：例如维格纳威利谱：*2(,)()()22jfxW t fEx tx ted 确定性时变连续信号x(t)的维格纳分布的定义*2(,)()()22jfxW t fx tx ted 对于非平稳随机信号，可交换数学期望与积分的顺序，可得 Sxx(t，f)Wx(t，f)进化谱：例如Wold-Cramer进化谱 Sxx(n，f)A(n，f)22()(,)(,)njf n mmA n ma n m eP
44、age 55（3 3）可化为平稳随机信号处理的非平稳随机信号）可化为平稳随机信号处理的非平稳随机信号 几类非平稳随机信号可化为平稳随机信号处理分段平稳随机信号：即在不同时间段可以看做具有不同统计特征的平稳随机信号的非平稳随机信号。将此类非平稳信号化为平稳信号处理的关键是如何正确分段，以保证在时间段内的信号是平稳的。方差平稳随机信号：即仅均值是随时间而变化的确定性函数，而其方差是不随时间变化的。此类信号可描述为x(t)d(t)+s(t)循环平稳随机信号：即统计特性呈现周期性或多周期（各周期不能通约）性平稳变化的非平稳随机信号。由于呈现周期性的统计特性不同，它又可分为一阶(均值)、二阶(相关函数)
45、和高阶(高阶累量)循环平稳随机信号。最明显的一阶循环平稳信号为 0(2)()()jfx taen t 4.4 4.4 信号的时频分析信号的时频分析Page 564.4.2 4.4.2 短时傅里叶分析短时傅里叶分析 1、连续短时傅里叶变换的定义加强在每个时刻的信号而衰减在其他时刻的信号。可以通过用中心在t的窗函数h(t)乘信号来实现，产生改变的信号xt(t)x()h(-t)改变的信号是两个时间的函数，即所关心的固定时间t和执行时间。窗函数决定留下的信号围绕着时间t大体上不变，而离开所关心时间的信号衰减了许多倍，即 4.4 4.4 信号的时频分析信号的时频分析()()0txtxt对于 接近于对于 远离
