1、第1414课时三角形与全等三角形基础自主导学考点梳理自主测试考点一三角形的有关概念1.三角形:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.2.分类基础自主导学考点梳理自主测试考点二三角形的性质1.三角形的三边关系:三角形任意两边的和大于第三边;任意两边的差小于第三边.2.三角形的外角及其外角和(1)外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角.(2)外角和:三角形的外角和是360.3.三角形的内角和定理及推理(1)三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180.(2)推论:三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;直角三角形的两锐角互
2、余.4.中位线的性质:三角形的中位线平行且等于第三边的一半.5.三角形具有稳定性.基础自主导学考点梳理自主测试考点三三角形中的重要线段1.三角形的角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性:三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的内心.2.三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称高.特性:三角形的三条高所在的直线相交于一点,这个点叫做三角形的垂心.3.三角形的中线在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.特性:三角形的三条中线交于一点,这个点叫三角形
3、的重心.4.三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于它的一半.基础自主导学考点梳理自主测试考点四全等三角形的性质与判定1.概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.性质全等三角形的对应边、对应角分别相等.3.判定(1)三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“SAS”.(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“ASA”.(4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写为“角角边”或“AAS”.(5)斜边和一条
4、直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写为“斜边、直角边”或“HL”.基础自主导学考点梳理自主测试考点五定义、命题、定理、公理1.定义对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义.2.命题判断一件事情的语句叫做命题.(1)命题由题设和结论两部分组成.命题通常写成“如果那么”的形式,“如果”后面是题设,“那么”后面是结论.(2)命题的真假:判断为真的命题称为真命题;判断为假的命题称为假命题.(3)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题称为互逆命题.每一个命题都有逆命题.基础自主导学考点梳理自主测试3.定理经过证明的真
5、命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不是所有的定理都有逆定理.4.公理有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真伪的依据,这样的真命题叫公理.基础自主导学考点梳理自主测试考点六证明1.证明从一个命题的条件出发,根据定义、公理及定理,经过逻辑推理,得出它的结论成立,从而判断该命题为真命题,这个过程叫做证明.2.证明的一般步骤(1)审题,找出命题的题设和结论;(2)由题意画出图形,具有一般性;(3)用数学语言写出已知、求证;(4)分析证明的思路;(5)写出证明过程,每一步应有根据,要推理严密.3.反证法先假设命题中结论的反面成立,推出与已知条件或定
6、义、定理等相矛盾,从而结论的反面不可能成立,借此证明原命题结论是成立的.这种证明的方法叫做反证法.基础自主导学考点梳理自主测试1.若一个三角形三个内角度数的比为234,则这个三角形是()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形答案:B2.已知三角形的两边分别为5和9,则此三角形的第三边可能是()A.3B.4C.9D.14答案:C3.如图,AB=AC,要说明ADC AEB,需添加的条件不能是()A.B=CB.AD=AEC.ADC=AEBD.DC=BE答案:D基础自主导学考点梳理自主测试4.下面的命题中,判断为真的是()A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等B.有两条边和一
7、个角对应相等的两个三角形全等C.有一条边对应相等的两个等腰三角形全等D.有一条高对应相等的两个等边三角形全等答案:D规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1三角形的边角关系【例1】若三角形三边长分别为3,4,x-1,则x的取值范围是()A.0 x8B.2x8C.0 x6D.2x6解析:已知三角形两边a,b的长,确定第三边c的取值范围,c应满足|a-b|ca+b.根据三角形的三边关系,得1x-17,所以2x8.答案:B规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2利用“三线”的性质解题【例2】如图,BM是ABC的一条中线,AB=5cm,BC=3cm.求:(1)ABM与BCM的周
8、长之差;(2)SABMSCBM.分析:(1)根据中线的定义得到AM=MC,然后将ABM和BCM的周长分别表示出来再求差;(2)分别以AM和MC为底,作出它们的高,分别表示出来ABM和BCM的面积再求比值.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4解:(1)AM=MC,ABM与BCM的周长之差=AB+AM+BM-(BM+BC+MC)=AB-BC=5-3=2(cm).(2)如图,过B作BHAC,交AC的延长线于点H.AM=MC,规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4变式训练1已知在ABC中,AB=AC,且周长为16cm,AD是底边BC上的中线,A
9、DAB=45,且ABD的周长为12cm,求ABC各边的长及AD的长.解:AB=AC=5cm,BC=6cm,AD=4cm.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3全等三角形的性质与判定【例3】如图,C是线段AB的中点,CD平分ACE,CE平分BCD,CD=CE.(1)求证:ACD BCE;(2)若D=50,求B的度数.分析:本题综合考查三角形的全等及性质,利用“SAS”判定ACD BCE后,再利用性质可得到E=50,从而求出B.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4(1)证明:C是线段AB的中点,AC=BC.CD平分ACE,CE平分BCD,1=2,2=3,1=3.又CD=CE,
10、ACD BCE(SAS).(2)解:1=2,2=3,1=2=3.3=60.由ACD BCE,得D=E.D=50,E=50.则B=180-E-3=180-50-60=70.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4变式训练2如图,已知D是AC上一点,AB=DA,DEAB,B=DAE.求证:BC=AE.证明:DEAB,CAB=ADE.BAC ADE(ASA),BC=AE.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4真假命题的判断【例4】下列命题正确的是()A.如果|a|=|b|,那么a=bB.等腰梯形的对角线互相垂直C.顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D.相等的圆周角所对的弧相等解析:A项错误,例如:|-2|=|2|,但-22;B项错误,等腰梯形的对角线可能垂直,但并不是所有的等腰梯形的对角线都垂直;C项正确,可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到;D项错误,相等的圆周角所对的弧相等,必须是在同圆或等圆中.答案:C规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4
