1、1.三个公理 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.三推论:两相交直线确定平面;两平行直线确定平面;直线外的点与直线确定平面.公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.线线之间的位置关系相交平行异面共面判定两直线平行的公理 4:平行于同一条直线的两直线互相平行.3.两异面直线所成的角 角的范围(0,90.由定义找角:垂直相交非钝角,且两边分别平行两异面直线.异面垂直,无垂足.4.线面平行的判定定理b a,a a,b/a,ba.la,l b,ba=m lm.由线线平行得线面平
2、行.5.线面平行的性质定理由线面平行得线线平行.aa,ba,ab,ab,bb,ab.ab,ga=a,gb=b,ab.6.面面平行的判定定理由线面平行得面面平行.7.面面平行的性质定理由面面平行得线线平行.1.判定直线与平面垂直的方法：判定直线与平面垂直的方法：（1）定义法：定义法：直线与平面内任意一条直线垂直则线面垂直；直线与平面内任意一条直线垂直则线面垂直；（2）判定定理：判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都,那么该直线与此平面那么该直线与此平面.（线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直）；）；空间中的垂直的判定及其性质空间中的垂直的判定及其
3、性质 n m llmnBlmna aa aa a =（3）面面垂直的性质：面面垂直的性质：如果两个平面垂直如果两个平面垂直,那么一个平面内垂那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直直于它们交线的直线与另一个平面垂直.lmmlla aa aa ab bb bb b =知识梳理（4）平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)；（5）面面平行的性质(a，a)；（6）面面垂直的性质：如果两个平面垂直,那么一个平 面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.(l，l)2.判定两平面垂直判定两平面垂直的的方法方法:（1）定义法：定义法：平面与平面相交成直二面角则面面垂直；平面与平面相交成直二面角则面面
4、垂直；（2）判定定理：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直.（线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直）；）；aaa aababb b 3.线面垂直的性质：线面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平垂直于同一个平面的两条直线平行行./aabba aa a 1.求异面直线所成的角的方法：平移平移构造可解三角形构造可解三角形2.求直线与平面所成的角的方法：找（或作）射影 构造可解三角形3.求二面角的方法：（1 1）垂线法）垂线法利用定义作出平面角，通过利用定义作出平面角，通过 解直角三角形求角的大小解直角三角形求角的
5、大小（2 2）垂面法）垂面法通过作二面角的棱的垂面，两条交线所通过作二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角成的角即为平面角二、空间角二、空间角 例2.三个平面可将空间分成几部分?你能画出它们的直观图吗?答:三个平面可将空间分成 4个、或 6个、或 7个、或 8个部分.4部分abg6部分abg7部分8部分abgbag例例3.3.如图所示如图所示,四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA底面底面ABCD,ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,EPA=AB=BC,E是是PCPC的中点的中点.求证：求证：(1)CDAE.(1)C
6、DAE.(2)PD(2)PD平面平面ABE.ABE.证明证明:(1)(1)因为因为PAPA底面底面ABCD,ABCD,所以所以CDPA,CDPA,又又CDAC,PAAC=A,CDAC,PAAC=A,故故CDCD平面平面PAC.PAC.又又AEAE平面平面PAC,PAC,故故CDAE.CDAE.(2)(2)因为因为PA=AB=BC,ABC=60PA=AB=BC,ABC=60,所以所以PA=AC.PA=AC.又因为又因为E E是是PCPC的中点的中点,所以所以AEPC.AEPC.由由(1)(1)知知CDAE,CDPC=C,CDAE,CDPC=C,从而从而AEAE平面平面PCD,PCD,故故AEPD
7、.AEPD.因为因为PAAB,ABAD,PAAB,ABAD,所以所以ABAB平面平面PAD,PAD,所以所以BAPD,BAPD,又因为又因为BAAE=A,BAAE=A,所以所以PDPD平面平面ABE.ABE.题型题型 空间角的求法空间角的求法例例5.5.如图如图,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中,APB=90,APB=90,PAB=60PAB=60,AB=BC=CA,AB=BC=CA,点点P P在平面在平面ABCABC内的射影内的射影O O在在ABAB上上.(1)(1)求直线求直线PCPC与平面与平面ABCABC所成的角的正切值大小所成的角的正切值大小.(2)(2)求二面角求二面角B-
8、AP-CB-AP-C的正切值大小的正切值大小.解析解析:(1)(1)如图连接如图连接OC.OC.由已知由已知,OCPOCP为直线为直线PCPC与平面与平面ABCABC所成的角所成的角,设设ABAB的中点为的中点为D,D,连接连接PD,CD.PD,CD.因为因为AB=BC=CA,AB=BC=CA,所以所以CDAB.CDAB.因为因为APB=90APB=90,PAB=60,PAB=60,所以所以PADPAD为等边三角形为等边三角形,不妨不妨设设PA=2,PA=2,则则OD=1,OP=,AB=4.OD=1,OP=,AB=4.所以所以CD=2 ,OC=CD=2 ,OC=在在RtRtOCPOCP中，中，
9、3322ODCD1 1213.=OP339tan OCP.OC1313=(2)(2)过过D D作作DEAPDEAP于于E,E,连接连接CE.CE.由题知由题知D D，E E分别为分别为ABAB，APAP中点，中点，所以所以DEBP.DEBP.由已知可得由已知可得,CD,CD平面平面PAB.PAB.所以所以CDPA,CDPA,又又DEPADEPA，所以，所以PAPA平面平面CDECDE，所以，所以CEPACEPA，所以所以,CED,CED为二面角为二面角B-AP-CB-AP-C的平面角的平面角.由由(1)(1)知知,DE=,DE=，在在RtRtCDECDE中中,故二面角故二面角B-AP-CB-A
10、P-C的正切值为的正切值为2.2.3CD2 3tan CED2DE3=，一、选择题.1.如图,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的图是()PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)平行平行相交异面C 2.下列命题中,错误的命题是()(A)平行于同一直线的两个平面平行 (B)平行于同一平面的两个平面平行 (C)一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个相交 (D)一条直线与两个平行平面所成的角相等A 3.在正体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于()(A)
11、AC (B)BD (C)A1D (D)A1D1ABCDA1B1C1D1E分析:如图,(A)AC 与 CE 相交,排除.(B)直观 BD 可能垂直 CE.BDAC,且 BDCC1,则 BD平面 ACC1A1,而 CE平面 ACC1A1,BDCE.B 4.已知直线 l平面 a,直线 m平面 b,有下列命题:a/blm;abl/m;l/mab;lma/b.其中正确的命题是()(A)与 (B)与 (C)与 (D)与almbalmbalmbalmb成立反例成立反例D 5.设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题:若 ab,bc,则 a/c;若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c
12、 也是异面直线;若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交;若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面.其中真命题的个数是 .ABCDA1B1C1D1abc反例如图.bc反例如图.反例如图.反例如图.0 个 6.(1)用符号语言表示语句:“直线 l 经过平面 a内一定点 P,但 l 在 a 外”,并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.若直线 a平面 a,Aa,Aa,A直线 b,a/b,则 ba.解:(1)Pl,Pa,la.aPl 6.(1)用符号语言表示语句:“直线 l 经过平面 a内一定点 P,但 l 在 a 外”,并画出
13、图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.若直线 a平面 a,Aa,Aa,A直线 b,a/b,则 ba.解:(2)若直线 a 和点 A 都在平面 a 内,a 不经过点 A,直线 b 经过点 A 且平行于 a,则直线 b在平面 a 内.aAab 7.如图,过点 S 引三条不共面的直线 SA,SB,SC,其中BSC=90,ASC=ASB=60,且SA=SB=SC=a.求证:平面 ABC平面 BSC.SACB证明:ASC=ASB=60,SA=SB=SC=a.ASC ASB,AB=AC.取 BC 的中点 E,则 AEBC.E在等腰直角BSC 中,斜边中线 SE=CE.在等边三角形 ASC中,AC=AS.AES AEC.得AES=AEC,即 AEES.由知AE平面 BSC.AE平面 ABC,平面 ABC平面 BSC.
