1、周期性周期性 对于函数对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数，如果存在一个非零常数T，使得当，使得当x取定义域内的每一个值取定义域内的每一个值时，都有时，都有 ，那，那么么 f(x)就叫做周期函数就叫做周期函数.叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期.也是也是 f(x)的周期，即的周期，即有有 .f(x+k T)=f(x)f(x+T)=f(x)TkT(k Z,k0)第四课时第四课时 函数的周期性函数的周期性根据定义，若根据定义，若f(x)为周期函数，且为周期函数，且f(x1)=f(x2)，则它的一个周期则它的一个周期T=|x1-x2|A定义法定义法【变式练习2】已知函数f(x)(xR)的图象经
2、过原点，且f(x2)f(x6)，求f(2012)的值【解析】令ux2，得xu2，则f(u)f(u4)，所以函数f(x)的周期为3.依题意，f(0)0，且20125034，所以f(2012)f(0)0.换元法换元法定义法定义法【学生展示【学生展示1】已知定义在】已知定义在 R 上的奇函数上的奇函数 f(x)满满足足 f(x+2)=-f(x),求求 f(2012)的值的值.【解释】【解释】f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2).f(x+4)=f(x).f(x)是周期函数，周期为4.f(2012)=f(4503)=f(0).又f(x)是R上的奇函数，f(0)=0.f(2012)=0.
3、【变式题：】已知定义在【变式题：】已知定义在 R 上的奇函数上的奇函数 f(x)满足满足 ,求求 f(2012)的值的值.1(2)()f xf x【学生展示【学生展示2】定义在定义在 R 上的函数上的函数y=f(x)，满足，满足f(x+1)+f(x)=0，且在区间，且在区间-1，0上单调递增，上单调递增，设设a=f()，b=f(2)，c=f(3)，则，则 ()A.cab B.bca C.cba D.abc2【答案】【答案】A f(x)是周期为是周期为2的周期函数的周期函数.a=f()=f(-2)，b=f(2)=f(0),c=f(3)=f(-1).又又f(x)在区间在区间-1，0上单调递增上单调
4、递增,cab.22注意结论特征：自变量注意结论特征：自变量x前的前的系数同号系数同号。否则不成立。否则不成立。1.已知定义在已知定义在 R 上的奇函数上的奇函数 f（x）满足）满足 f（-x+2）+f(x)=0,则则 f(x)是是()A.常函数常函数 B.偶函数偶函数C.周期为周期为2的周期函数的周期函数 D.周期为周期为1的周期函数的周期函数【解析】【解析】f(-x+2)=-f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x),选选C.【答案】【答案】C 1考点考点函数周期性的判断及其应用函数周期性的判断及其应用【名师示范【名师示范1】函数】函数 f（x）的定义域为）的定义域为 R，且且 f(x)与
5、与f(x+1）都是奇函数，则）都是奇函数，则 f(x)的周期的周期是是 .分析分析 求周期即求满足求周期即求满足 f（x+T）=f(x)的的T值值.(定义法定义法)f(x)及及f(x+1)都是奇函数，都是奇函数，f(-x)=-f(x)f(-x+1)=-f(x+1)由由得得f-(-(x-1)=-f(x-1)=-f(x+1),即即f(x-1)=f(x+1)f（x）的周期为）的周期为2.2 （换元法）（换元法）f(x)及及f(x+1)都是奇函数，都是奇函数，f(-x)=-f(x)f(-x+1)=-f(x+1)设设t=-x+1,则则x=1-t由由得得f(t)=-f(2-t),即即f(-t)=f(2-t
6、)f（x）的周期为）的周期为2.()(1)(1),011(),(8.6)_2f xRfxfxxf xxf变式：设是定义在 上的偶函数，且当时，则0.3【名师示范【名师示范2】（2009山东）定义在山东）定义在 R 上的函数上的函数 f(x)满满足足f(x)=则则 f(2009)的值为（的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.2log2(1-x),x0,f(x-1)-f(x-2),x0由已知得由已知得f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=0
7、-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,所以函数所以函数 f(x)的值以的值以6为周期重复性出现，所以为周期重复性出现，所以 f(2009)=f(5)=1,故选故选C.【答案】【答案】C f(2009)=f(2008)-f(2007)=f(2007)-f(2006)-f(2007)=-f(2006)=-f(2005)+f(2004)=-f(2004)+f(2003)+f(2004)=f(2003)所以函数所以函数 f(x)的周期为的周期为6，所以，所以 f(2009)=f(-1)=1,3()(),2(2)(1)1,(0)2,(1)(2)(2011)(2012)_Rf xf xfffffff 已知定义在 上的函数满足且则-23.已知定义在已知定义在R上的函数上的函数 f(x)是以是以2为周期的奇函数，则为周期的奇函数，则方程方程 f(x)=0在在-2,2上至少有上至少有 个实数根个实数根【答案】【答案】5 （2010安徽）安徽）若若 f(x)是是 R 上周期为上周期为5的奇函数，且满足的奇函数，且满足 f(1)=1，f(2)=2,则则 f(3)-f(4)=()A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】【答案】A【解析】【解析】f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1，所以选A.
