1、中考必做的36道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系O中，抛物线（）与轴交于点A，其对称轴与轴交于点B（1）求点A，B的坐标；（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；（3）若该抛物线在这一段位于直线的上方，并且在这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式解：（1）当 x 0 时， y 2 . A（0，2）抛物线对称轴为 x， B（1，0）（2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A（2，2）则直线 l 经过 A 、 B .没直线的解析式为 ykxb则解得直线的解析式为 y2x 2（3）抛物线对称轴为 x
2、1抛物体在 2 x3 这一段与在1x 0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在2x 1这一段位于直线 l 的上方，在 1 x0 这一段位于直线 l 的下方抛物线与直线 l 的交点横坐标为 1 ；当 x1 时， y2x(1)2 4则抛物线过点（1，4）当 x1 时， m2m 24 ， m2抛物线解析为 y2x2 4x2 . 连接（2013江苏南京，26，9分）已知二次函数ya（xm）2a（xm）（a、m为常数，且a0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C.与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.当ABC的面积等于1时，求a的值
3、；当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值.【答案】（1）证明：ya（xm）2a（xm）ax2（2ama）xam2am.因为当a0时，（2ama）24a（am2am）a20.所以，方程ax2（2ama）xam2am0有两个不相等的实数根.所以，不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点. 3分（2）解：ya（xm）2a（xm）a（x）2，所以，点C的坐标为（，）.当y0时，a（xm）2a（xm）0.解得x1m，x2m1.所以AB1.当ABC的面积等于1时，11.所以1（）1，或11.所以a8，或a8.当x0时，yam2am.所以点D的坐标为（0，am2am）.当ABC的面积与ABD
4、的面积相等时，111（）=1（am2am），或1=1（am2am）.所以m，或m，或m.9分变式: （2012北京，23，7分）已知二次函数在和时的函数值相等。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值；（3） 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。【答案】（1）方法一：二次函数在和时的函数值相等.这个二次函数的解析式是方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为则.这个二次函
5、数的解析式是.（2）二次函数的图象过点.又一次函数的图象经过点（3）令解得：由题意知，点B、C间的部分图象的解析式为，（）.则向左平移后得到图象G的解析式为：，（）.此时平移后的一次函数的解析式为.若平移后的直线与平移后的抛物线相切.则有两个相等的实数根。即一元二次方程有两个相等的实数的根。判别式=解得：与矛盾.平移后的直线与平移后的抛物线不相切.结合图象可知，如果平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界交点为和.则，解得：，解得：第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破（例题）（2012湖南湘潭，26，10分） 如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为.（1）求抛物线的
6、解析式；（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标.【答案】解：（1）将B（4，0）代入中，得：抛物线的解析式为：（2）当时，解得，A点坐标为（1，0），则OA=1当x=0时，C点坐标为（0,2），则OC=2在RtAOC与RtCOB中，RtAOCRtCOBACO=CBOACB=ACO+OCB=CBO+OCB=90那么ABC为直角三角形所以ABC的外接圆的圆心为AB中点，其坐标为（1.5，0）（3）连接OM.设M点坐标为（x，）则 = =当x=2时，MBC的面积有最大值为4，M的坐标为（2，3）变式（2011安徽芜湖2
7、4）面直角坐标系中，ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到ABOC（1）若抛物线过点C，A，A，求此抛物线的解析式；（2）ABOC和ABOC重叠部分OCD的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”（例题）23（2012河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合），过点P作轴的垂线交直线AB与点C，作PD
8、AB于点D（1）求a、b及的值；（2）设点P的横坐标为m 用含的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； 连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在，直接写出值；若不存在，说明理由第23题图BCDxOPAy【答案】（1）由，得 由，得经过两点，设直线AB与轴交于点，则轴，.（2）由可知抛物线的解析式为在中， 当时，有最大值存在满足条件的值，【提示】分别过点D、B作DFPC，BGPC，垂足分别为F、G在中，又当时，解得；当时，解得变式一27（2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y=x2bx3的图像经过点P（2,5）（
9、1）求b的值，并写出当1x3时y的取值范围；（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由【答案】解：（1）把点P代入二次函数解析式得5= （2）22b3，解得b=2.当1x3时y的取值范围为4y0.（2）m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+1221，不能成为三角形的三边长当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m22m3、m24、m22m3，由于， m2
10、2m3m24m22m3，（m2）280，当m不小于5时成立，即y1y2y3成立所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，变式二（2013重庆B卷，25，10分）如图，已知抛物线的图像与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5).（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点M作MN/y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为，ABN的面积为，且，求点P的
11、坐标.yxOCAB【答案】解：（1）设直线BC的解析式为，将B（5，0），C（0，5）代入有： 解得： 所以直线BC的解析式为再将B（5，0），C（0，5）代入抛物线有： 解得： 所以抛物线的解析式为：（2）设M的坐标为（x，），则N的坐标为（x，），MN=当时，MN有最大值为MMyxOCABNMQ（3）当时，解得，故A（1,0），B（5,0），所以AB=4由（2）可知，N的坐标为（，）则，那么在y上取点Q(-1，0)，可得故QPBC则直线QP的解析式为 当时，解得，所以P点坐标为（2，），（，），第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”（例题）（2012四川资阳，25，9分）抛物
12、线的顶点在直线上，过点F的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA轴于点A，NB轴于点B（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含的代数式表示），再求的值；（2）(3分)设点N的横坐标为，试用含的代数式表示点N的纵坐标，并说明NFNB；（3）(3分)若射线NM交轴于点P，且PAPB，求点M的坐标（第25题图）答案：解（1）顶点坐标为(2 , )顶点在直线上，2+3=，得=2（2）点N在抛物线上，点N的纵坐标为即点N(,)过点F作FCNB于点C，在RtFCN中，FC=+2，NC=NB-CB=,=而=，NF=NB（3）连结AF、BF由NF=NB，得NFB=NBF，由（2）
13、的结论知，MF=MA，MAF=MFA,MA轴，NB轴，MANB,AMF+BNF=180MAF和NFB的内角总和为360,2MAF+2NBF=180，MAF+NBF=90,MAB+NBA=180，FBA+FAB=90又FAB+MAF=90FBA=MAF=MFA 又FPA=BPF，PFAPBF，= 过点F作FG轴于点G,在RtPFG中，PG=，PO=PG+GO=，P( , 0) 设直线PF：，把点F（2 , 2）、点P( , 0)代入解得=，=，直线PF：解方程，得=3或=2（不合题意，舍去）当=3时，=，M（3 ,）变式一25已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O过抛
14、物线上一点P（x，y）向直线y= 作垂线，垂足为M，连FM（如图）（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x=1上有一点F(1，)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得-=1，=1，c=0，a=-1，b=2，c=0（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x，故设P点的坐标为（m，-m2+2m），则M点的坐标（m，），PFM是以PM为底边的等腰三角形PF=MF，即（
15、m-1）2+（-m2+2m-）2=（m-1）2+（-）2-m2+2m-=或-m2+2m-=-，当-m2+2m-=时，即-4m2+8m-5=0=64-80=-160此式无解当-m2+2m-=-时，即m2-2m=-m=1+或m=1-、当m=1+时，P点的坐标为（1+，），M点的坐标为（1+，）、当m=1-时，P点的坐标为（1-，），M点的坐标为（1-，），经过计算可知PF=PM，MPF为正三角形，P点坐标为：（1+，）或（1-，）（3）当t=时，即N与F重合时PM=PN恒成立证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H，在RtPNH中，PN2=（x-1）2+（t-y）2=x2-2x+1+t2-2t
16、y+y2，PM2=（-y）2=y2-y+，P是抛物线上的点，y=-x2+2x；PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2-y+，1-y+t2-2ty+y2=y2-y+，移项，合并同类项得：-y+2ty+-t2=0，y（2t-）+（-t2）=0对任意y恒成立2t-=0且-t2=0，t=，故t=时，PM=PN恒成立存在这样的点变式二（2012山东潍坊，24，11分）如图12，已知抛物线与坐标轴分别交于A（，0）、B（2，0）、C（0，）三点，过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点分别过点C、D（0，）作平行于x轴的直线l1、l2（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON为直径的圆与直线l
17、1相切；（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长图12ABCDOMNl1l2【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为，由，解得所以（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），因为点M、N在抛物线上，所以，所以；又=，所以ON=，又因为y2，所以ON=设ON的中点为E，分别过点N、E向直线l1作垂线，垂足为P、F，则EF=，所以ON=2EF，即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半，所以以ON为直径的圆与直线l1相切（3）过点M作MHNP交NP于点H，则=+，又y1=kx1，y2=kx2，所以=，所以；又因为点M、N既在y=kx的图象上
18、又在抛物线上，所以，即，所以x =2k，所以=，所以，所以MN=延长NP交l2于点Q，过点M作MSl2于点S，则MS + NQ = =，又=，所以MS + NQ =MN即M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长第24题ABCDOMNl1l2EPQFSH第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向例题（2012浙江宁波，26，12分）如图，二次函数的图象交x轴于A（1，0），B(2，0)，交y轴于C（0，2），过A，C画直线(1)求二次函数的解析式；(2)点P在x轴正半轴上，且PA =PC，求OP的长；(3)点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H若M在y轴右侧，且CH
19、M AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；若 M的半径为，求点M的坐标【答案】解：(1)设该二次函数的解析式为：将x=0，y=2代入，得2= a(0+1)(02)解得a=1抛物线的解析式为，即(2)设OP =x，则 PC=PA =x +1在RtPOC中，由勾股定理，得解得，即(3) CHMAOC，MCH=CAO情形1：如图，当H在点C下方时，MCH=CAO，CMx轴，解得x=0（舍去），或x=1， M(1，2)情形2：如图，当H在点C上方时MCH=CAO，由(2)：得，M为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM的解析式为y=kx2把P（，0）的坐标代入，得，解得，由，解得x=0（舍去），或x
20、，此时，在x轴上取一点D，过点D作DEAC于点E，使DECOA=DEA=90，OAC=EAD，ADEAOC，解得AD=2D(1，0)或D（3，0）过点D作DMAC，交抛物线于M则直线DM的解析式为：或当 2x 6= x2 x2时，方程无实数解当 2x+2x2 x2时，解得点M的坐标为M或M变式一25如图，抛物线y=x2+x+3与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴相交于点F（1）求直线BC的解析式；（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作P当点P运动到点D时，若P与直线BC相交，求r的取值范围；若r= ，是否存在点P使P与直
21、线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由提示：抛物线y=ax2+bx+x（a0）的顶点坐标（，），对称轴x=变式二22（2012广东省，20，9分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC.(1)求AB和OC的长；(2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行于BC，交AC于点D.设AE的长为m，ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留).【答案】(1)当y=0时，解得x1=3，x
22、2=6.AB=|x1x2|=|36|=9.当x=0时，y=9.OC=9.(2)由(1)得A(3,0)，B(6,0)，C(0,9)，直线BC的解析式为y=x9，直线AC的解析式为y=3x9.AE的长为m，E(m3,0).又直线l平行于直线BC，直线l的解析式为y=x.由得，点D(,m).ADE 的面积为：S=AE|D纵|=(m3)|m|=.(0m9)(3)CDE面积为：SACESADE=()=，当m=3时，CDE面积的最大值为.此时，点E(0,0).如图，作OFBC于F，OB=6，OC=9，OF=.以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为：.第6题 分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质例题（201
23、1贵州遵义，27，14分）已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C。（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标。【答案】（1）（2）若PAB=90，分别过P、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F。图（1）易得APEBAF,且BAF为等腰直角三角形，APE为等腰直角三角形。设PE=a，则
24、P点的坐标为（a，a3）代入解析式3-a= 解得a=0，或a=3（与A重合舍去）P（0,3）若PBA=90，如下图，直线与x轴交与点D, 分别过P、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F。由图可得PED、BAD为等腰直角三角形，设PE=a，则DE=a，AB=,所以AD=2，则P点坐标为（5a，a）代入解析式， 解得，a=1，或a=6 （与B重合）是所以P点坐标（1,6）综上所述P（0,3）或P（1,6）（3）由题意得，CAO=OAF=45利用同弧所对的圆周角相等，OEF=OAF=45 EFO=EAO=45EOF为等腰直角三角形，SEOF=。当OE最小时，面积最小。即E为AC中点（变式一（2011山东
25、枣庄，25，10分）如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为. （1）写出的值； （2）判断的形状，并说明理由； （3）在线段上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.xy解：（1）的顶点坐标为（，）， . （2）由（1）得. 当时， 解之，得 . 又当时，C点坐标为.4分又抛物线顶点坐标，作抛物线的对称轴交轴于点E， 轴于点易知在中，；在中，；在中，； ACD是直角三角形（3）存在作OMBC交AC于M，点即为所求点由（2）知，为等腰直角三角形，由，得即. 过点作于点，则，.
26、又点M在第三象限，所以. xyMFEG变式二（2011南充市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC,AD=AB=CD=2,C=600,M是BC的中点。（1）求证：MDC是等边三角形；（2）将MDC绕点M旋转，当MD(即MD)与AB交于一点E,MC即MC)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成AEF.试探究AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF周长的最小值.【答案】（1）证明：过点D作DPBC,于点P，过点A作AQBC于点Q,C=B=600CP=BQ=AB,CP+BQ=AB 又ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD,由已知，点M是BC的中点
27、，BM=CM=AD=AB=CD, 即MDC中，CM=CD, C=600,故MDC是等边三角形.（2）解：AEF的周长存在最小值，理由如下：连接AM,由（1）平行四边形ABMD是菱形，MAB, MAD和MCD是等边三角形，BMA=BME+AME=600, EMF=AMF+AME=600BME=AMF）在BME与AMF中，BM=AM, EBM=FAM=600BMEAMF(ASA) BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=ABEMF=DMC=600 ,故EMF是等边三角形，EF=MF. MF的最小值为点M到AD的距离，即EF的最小值是.AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,AEF的周长的最小值为2+.
