1、线段最值问题（一）一两点之间线段最短两点之间，线段最短经常结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和圆来求解线段或者线段和的最大最小值问题。解题的关键是找到定点和定长的线段，然后利用上述知识找到临界位置，求出最值.1.两点之间，线段最短：A和B两点之间，线段AB最短.2. ，（），则当点在点时，当点在点时，二垂线段最短垂线段最短是直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短的简称，如图，线段外一点与线段上各点的连线中，垂线段最短.一考点：两点之间线段最短，垂线段最短二重难点：两点之间线段最短，垂线段最短三易错点：1利用两点之间线段最短求解最值时要找到定点和定线段，然后再找到临界位置求解；2
2、利用垂线段最短求解最值时关键是找准定点和动点所在的线段或直线题模一：两点之间线段最短例1.1.1 在RtABC中，ACB=90，BAC=30，BC=6（I）如图，将线段CA绕点C顺时针旋转30，所得到与AB交于点M，则CM的长=_；（II）如图，点D是边AC上一点D且AD=2 ，将线段AD绕点A旋转，得线段AD，点F始终为BD的中点，则将线段AD绕点A逆时针旋转_度时，线段CF的长最大，最大值为_【答案】 （1）6（2）150；【解析】 （）如下图所示：将线段CA绕点C顺时针旋转30，AMC 为等腰三角形，AM=MCBAC=30，MBC为等边三角形，AM=MB=CM又BC=6，AB=2BC=1
3、2，CM=6故答案为：6（2）在RtABC中，ACB=90，BAC=30，BC=6，AB=12取AB的中点E，连接EF、EC，EF是中位线，所以CF的最大值为，即：当将线段AD绕点A逆时针旋转 150度时，线段CF的长最大，最大值为例1.1.2 如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在xOy的平分线上移动则点C到原点的最大距离是（）A 1+B +C 2+D 1+2【答案】A【解析】 如图，当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，ABC为等边三角形，边长为2，OCABCF=AC=，
4、AF=BF=1，BOC=AOC=22.5，EOA=EAO=22.5，FEA=FAE=45，AF=EF=1，AE=，OC=OE+EF+CF=1+例1.1.3 如图，ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）A 2B +1C D 1【答案】D【解析】 AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，ADBC，GDEF，DA=DG，DC=DF，ADG=90CDG=FDC，=，DAGDCF，DAG=DCFA、D、C、M四点共圆根据两点之间线段最
5、短可得：BOBM+OM，即BMBOOM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO=，OM=AC=1，则BM=BOOM=1例1.1.4 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM（1） 当M点在何处时，AMCM的值最小；（2）当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）【解析】 该题考查的是四边形综合（1）当M点落在BD的中点时，的值最小1分（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时的值最小2分理由如下：M是正方形AB
6、CD对角线上一点又，ABMCBM3分又在EC上取一点N使得，连结BN又BNEABM3分又即BMN是等边三角形4分根据“两点之间线段最短”，得最短当M点位于BD与CE的交点处时，的值最小，即等于EC的长5分（3）过E点作交CB的延长线于F设正方形的边长为x，则， 6分在RtEFC中，解得（舍去负值）正方形的边长为7分例1.1.5 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF连接BF，作EHBF所在直线于点H，连接CH（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是_；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明
7、；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值【答案】 （1）CH=AB；（2）成立，见解析（3）【解析】 （1）如图1，连接BE，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，A=BCD=ABC=90，点E是DC的中点，DE=DF，点F是AD的中点，AF=CE，在ABF和CBE中，ABFCBE，1=2，EHBF，BCE=90，C、H两点都在以BE为直径的圆上，3=2，1=3，3+4=90，1+HBC=90，4=HBC，CH=BC，又AB=BC，CH=AB（2）当点E在DC边上
8、且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立如图2，连接BE，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，A=BCD=ABC=90，AD=CD，DE=DF，AF=CE，在ABF和CBE中，ABFCBE，1=2，EHBF，BCE=90，C、H两点都在以BE为直径的圆上，3=2，1=3，3+4=90，1+HBC=90，4=HBC，CH=BC，又AB=BC，CH=AB（3）如图3，CKAC+AK，当C、A、K三点共线时，CK的长最大，KDF+ADH=90，HDE+ADH=90，KDF=HDE，DEH+DFH=360ADCEHF=3609090=180，DFK+DFH=180，DFK=DEH，
9、在DFK和DEH中，DFKDEH，DK=DH，在DAK和DCH中，DAKDCH，AK=CH又CH=AB，AK=CH=AB，AB=3，AK=3，AC=3，CK=AC+AK=AC+AB=，即线段CK长的最大值是例1.1.6 在ABC中，ACB=90，AC=BC=4，M为AB的中点D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN（1）如图1，当BD=2时，AN= ，NM与AB的位置关系是 ；（2）当4BD8时，依题意补全图2；判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（2）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的
10、长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果【答案】 （1），垂直（2）见解析【解析】 （1）ACB=90，AC=BC=4，BD=2，CD=2，AD=2，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，ADE是等腰直角三角形，DE=AD=2，N为ED的中点，AN=DE=，M为AB的中点，AM=AB=2，CAB=DAN=45，CAD=MAN，ACDAMN，AMN=C=90，MNAB，故答案为：，垂直；（2）补全图形如图2所示，（1）中NM与AB的位置关系不发生变化，理由：ACB=90，AC=BC，CAB=B=45，CAN+NAM=45，线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，AD=AE，
11、DAE=90，N为ED的中点，ANDE，CAN+DAC=45，NAM=DAC，在RtAND中，DAN=cos45=，同理=，DAC=45CAN=MAN，ANMADC，AMN=ACD，D在BC的延长线上，ACD=180ACB=90，AMN=90，MNAB；（2）连接ME，EB，过M作MGEB于G，过A作AKAB交BD的延长线于K，则AKB等腰直角三角形，在ADK与ABE中，ADKABE，ABE=K=45，BMG是等腰直角三角形，BC=4，AB=4，MB=2，MG=2，G=90，MEMG，当ME=MG时，ME的值最小，ME=BE=2，DK=BE=2，CK=BC=4，CD=2，BD=6，BD的长为6
12、时，ME的长最小，最小值是2例1.1.7 如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边APR，等边AGQ，连接QR求证：PG=RQ；求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标【答案】 （1）b=2，c
13、=3（2）M（，）（3）见解析PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（，）【解析】 分析：（1）把A（3，0），B（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c即可解决问题（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M（3）欲证明PG=QR，只要证明QARGAP即可当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QNOA于N，AMQC于M，PKOA于K，由sinACM=求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题（1）一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，A（3，0），B（0，3），抛物线y=x2+
14、bx+c过A、B两点，解得，b=2，c=3（2），对于抛物线y=x22x+3，令y=0，则x22x+3=0，解得x=3或1，点C坐标（1，0），AD=DC=2，点D坐标（1，0），BE=2ED，点E坐标（，1），设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到解得，直线CE为y=x+，由解得或，点M坐标（，）（3）AGQ，APR是等边三角形，AP=AR，AQ=AG，QAC=RAP=60，QAR=GAP，在QAR和GAP中，QARGAP，QR=PG如图3中，PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QNOA于N，AMQC于M，PKOA于KGAO=60，A
15、O=3，AG=QG=AQ=6，AGO=30，QGA=60，QGO=90，点Q坐标（6，3），在RTQCN中，QN=3，CN=7，QNC=90，QC=2，sinACM=，AM=，APR是等边三角形，APM=60，PM=PR，cos30=，AP=，PM=RM=MC=，PC=CMPM=，CK=，PK=，OK=CKCO=，点P坐标（，）PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（，）题模二：垂线段最短例1.2.1 如图，边长为10的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60得到FC，连接DF则在点E运动过程中，DF的最小值是【答案】 2.5【解析】 取A
16、C的中点G，连接EG，旋转角为60，ECD+DCF=60，又ECD+GCE=ACB=60，DCF=GCE，AD是等边ABC的对称轴，CD=BC，CD=CG，又CE旋转到CF，CE=CF，在DCF和GCE中，DF=EG，根据垂线段最短，EGAD时，EG最短，即DF最短，此时CAD=60=30，AG=AC=10=5，EG=AG=5=2.5，DF=2.5例1.2.2 如图，O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y=x+6上的一点，过点P作O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）A 3B 4C 6D 31【答案】B【解析】 P在直线y=x+6上，设P坐标为（m，6m），连接OQ，OP
17、，由PQ为圆O的切线，得到PQOQ，在RtOPQ中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2，PQ2=m2+（6m）22=2m212m+34=2（m3）2+16，则当m=3时，切线长PQ的最小值为4例1.2.3 在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P（x+y，xy）（1）如图1，如果O的半径为2，请你判断M（2，0），N（2，1）两个点的变换点与O的位置关系；若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P在O的内，求点P横坐标的取值范围（2）如图2，如果O的半径为1，且P的变换点P在直线y=2x+6上，求点P与O上任意一点距离的最小值【答案】 （1）变换点在O上；变换点在O外；P横坐
18、标的取值范围为2x0；2x0（2）1【解析】 （1）M（2，0）的变换点M的坐标为（2，2），则OM=2，所以点M（2，0）的变换点在O上；N（2，1）的变换点N的坐标为（3，1），则ON=2，所以点N（2，1）的变换点在O外；设P点坐标为（x，x+2），则P点的变换点为P的坐标为（2x+2，2），则OP=，点P在O的内，2，（2x+2）24，即（x+1）21，1x+11，解得2x0，即点P横坐标的取值范围为2x0；（2）设点P的坐标为（x，2x+6），P（m，n），根据题意得m+n=x，mn=2x+6，3m+n=6，即n=3m+6，P点坐标为（m，3m+6），点P在直线y=3x+6上，设直线
19、y=3x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OHAB于H，交O于C，如图2，则A（2，0），B（0，6），AB=2，OHAB=OAOB，OH=，CH=1，即点P与O上任意一点距离的最小值为1例1.2.4 已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，
20、使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题4：如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由【答案】 （1）对角线PQ与DC不可能相等；（2）PQ的长最小为4；（3）PQ的长最小为5；（4）PQ的长最小为（n+4）【解析】 问题1：过点D作DEBC于点E，梯形ABCD，ADBC，ABBC四边形ABED是矩形，DE=AB=2，BE=AD=1，CE=
21、BC-BE=2，DC=2，四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，设PB=x，则AP=2-x，在RtDPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2-x）2+1=8，化简得x2-2x+3=0，=（-2）2-413=-80，方程无解，对角线PQ与DC不可能相等问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点，过点Q作QHBC，交BC的延长线于H，ADBC，ADC=DCH，即ADP+PDG=DCQ+QCH，PDCQ，PDC=DCQ，ADP=QCH，又PD=CQ，RtADPRtHCQ，AD=HC，AD=1，BC=3，BH=
22、4，当PQAB时，PQ的长最小，即为4问题3：如图2，设PQ与DC相交于点G，PECQ，PD=DE，G是DC上一定点，作QHBC，交BC的延长线于H，同理可证ADP=QCH，RtADPRtHCQ，即=，CH=2，BH=BC+CH=3+2=5，当PQAB时，PQ的长最小，即为5问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，PEBQ，AE=nPA，G是AB上一定点，作QHCD，交CB的延长线于H，过点C作CKCD，交QH的延长线于K，ADBC，ABBC，D=QHC，DAP+PAG=QBH+QBG=90，PAG=QBG，QBH=PAD，ADPBHQ，AD=1，BH=n+1，CH=BH+BC=3+n+1=n
23、+4，过点D作DMBC于M，则四边形ABMD是矩形，BM=AD=1，DM=AB=2CM=BC-BM=3-1=2=DM，DCM=45，KCH=45，CK=CHcos45=（n+4），当PQCD时，PQ的长最小，最小值为（n+4）随练1.1 如图，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值为（ ）A B 2C D 【答案】B【解析】 ABC=90，ABP+PBC=90，PAB=PBC，BAP+ABP=90，APB=90，OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），点P在以AB为直径的O上，连接OC交O于点P，此时PC最小
24、，在RTBCO中，OBC=90，BC=4，OB=3，OC=5，PC=OCOP=53=2PC最小值为2随练1.2 如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点P为射线BD，CE的交点（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把ADE绕点A旋转，当EAC=90时，求PB的长；直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值【答案】 （1）见解析（2）PB=或PB长的最小值是1，最大值是+1【解析】 （1）欲证明BD=CE，只要证明ABDACE即可（2）分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=ABAE=1由PEBAEC，得，由此即可解决问题b、如图3中，当
25、点E在BA延长线上时，BE=3解法类似a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在A下方与A相切时，PB的值最小b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在A上方与A相切时，PB的值最大分别求出PB即可（1）证明：如图1中，ABC和ADE是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，DAB=CAE，在ADB和AEC中，ADBAEC，BD=CE（2）解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=ABAE=1EAC=90，CE=，同（1）可证ADBAECDBA=ECAPEB=AEC，PEBAECPB=b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3EAC=90，CE=，同（1）
26、可证ADBAECDBA=ECABEP=CEA，PEBAEC，PB= ，综上，PB=或解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在A下方与A相切时，PB的值最小理由：此时BCE最小，因此PB最小，（PBC是直角三角形，斜边BC为定值，BCE最小，因此PB最小）AEEC，EC=，由（1）可知，ABDACE，ADB=AEC=90，BD=CE=，ADP=DAE=AEP=90，四边形AEPD是矩形，PD=AE=1，PB=BDPD=1b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在A上方与A相切时，PB的值最大理由：此时BCE最大，因此PB最大，（PBC是直角三角形，斜边BC为定值，BCE最大，因
27、此PB最大）AEEC，EC=，由（1）可知，ABDACE，ADB=AEC=90，BD=CE=，ADP=DAE=AEP=90，四边形AEPD是矩形，PD=AE=1，PB=BD+PD=+1综上所述，PB长的最小值是1，最大值是+1随练1.3 如图，平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点C落在第二象限其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm求点C的坐标；若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值= cm【答案】 （1）（3，9）；6（1）（2）12【解析】 （1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在RtAO
28、B中，AB=12，OB=6，则BC=6，BAO=30，ABO=60，又CBA=60，CBD=60，BCD=30，BD=3，CD=3，所以点C的坐标为（3，9）；设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12cosBAO=12cos30=6AO=6x，BO=6+x，AB=AB=12在AO B中，由勾股定理得，（6x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（1），滑动的距离为6（1）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CEx轴，CDy轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE=x，OD=y，ACE+BCE=90，DCB+BCE=90，ACE=DCB，又AEC=BDC
29、=90，ACEBCD，即，y=x，OC2=x2+y2=x2+（x）2=4x2，取AB中点D，连接CD，OD，则CD与OD之和大于或等于CO，当且仅当C，D，O三点共线时取等号，此时CO=CD+OD=6+6=12， 第二问方法二：因角C与角O和为180度，所以角CAO与角CBO和为180度，故A，O，B，C四点共圆，且AB为圆的直径，故弦CO的最大值为12随练1.4 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是，则的最大值为_，最小值为_。【答案】 【解析】 如图所示，连接AC、DP，由勾股定理可得，因此，本题正确答案
30、为 随练1.5 如图1，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点M是BC的中点，作正方形MNPQ，使点A、C分别在MQ和MN上，连接AN、BQ（1）直接写出线段AN和BQ的数量关系是_（2）将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转（0360）判断（1）的结论是否成立？请利用图2证明你的结论；若BC=MN=6，当（0360）为何值时，AN取得最大值，请画出此时的图形，并直接写出AQ的值【答案】 （1）BQ=AN（2）3【解析】 （1）BQ=AN理由：如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，点M是BC的中点，AMBC，BM=AM，AMB=AMC=90四边形PQMN是正方形，QM=NM在QMB和NMA中，QMBNMA（SAS），BQ=AN故答案为：BQ=AN；（2）BQ=AN成立理由：如图2，连接AM，在RtBAC中，M为斜边BC中点，AM=BM，AMBC，AMQ+QMB=90四边形PQMN为正方形，
