1、历年高考函数大题分类归纳一、函数大题1.(本小题满分13分）2011设. （1）如果在处取得最小值，求的解析式； （2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和 的值(注：区间的长度为）解：（1）已知，又在处取极值，则，又在处取最小值-5.则 （2）要使单调递减，则 又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：b-a为区间长度。又又b-a为正整数，且m+n1，解关于x的不等式；.解：（1）将得（2）不等式即为即当当.二、三角函数1.(本小题满分12分）2011在中，的对边分别是，已知.（1）求的值；(2)若，求边的值 解：（1）由 正弦定理得： 及：所以。 （2）由 展开易得： 正弦定
2、理： 2（本小题满分12分）2010已知函数. （1）若，求；（2）若，求的取值范围.解：（1）由得，所以.（2）由（1）得由得，所以从而.3（本小题满分12分）2009在中，所对的边分别为，（1）求；（2）若，求,，解：（1）由 得 则有 = 得 即.（2） 由 推出 ；而,即得, 则有 解得 4（本小题满分12分） 2008已知， （1）求的值；（2）求函数的最大值解：（1）由 得， 于是=. （2）因为 所以 的最大值为. 5（本小题满分12分）2007如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点 是的中点，当，时，求的值解：
3、（1）将，代入函数中得，因为，所以由已知，且，得（2）因为点，是的中点，所以点的坐标为又因为点在的图象上，且，所以，从而得或，即或6.(本小题满分12分) 2006在锐角中，角、所对的边分别为、,已知(1)求的值； (2)若，求的值。解:(1)因为锐角中,所以则(2)因为,又则.将代入余弦定理:得解得.7（本小题满分12分）2005已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在0，上的单调区间.解：当时， 最小正周期为在是单调增加，在是单调减少三、概率试题1(本小题满分12分）2011某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同
4、，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力2. 求此人被评为优秀的概率；3. 求此人被评为良好及以上的概率解：（1）员工选择的所有种类为，而3杯均选中共有种，故概率为. （2）员工选择的所有种类为，良好以上有两种可能?：3杯均选中共有种； ?：3杯选中2杯共有种。故概率为.解析：本题考查的主要知识是排列组合与概率知识的结合，简单题。2（本小题满分12分）2010某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会
5、随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止. (1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；(2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.解：(1)设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则.(2) 设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则.18（本小题满分12分）2009某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；
6、若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求：(1) 该公司的资助总额为零的概率；（2）该公司的资助总额超过15万元的概率18解：（1）设表示资助总额为零这个事件，则（2）设表示资助总额超过15万元这个事件，则18（本小题满分12分）2008因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的倍、倍、倍的概率分别是、；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的倍、倍、倍的概率分别是、（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；（2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.解：（1）令A表
7、示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件19（本小题满分12分）2007栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，移栽后成活的概率分别为，（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，则，恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为18.(本小题满分1
8、2分) 2006某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得二等奖；摸出两个红球可获得一等奖.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.求(1)甲、乙两人都没有中奖的概率;(2)甲、乙两人中至少有一人获得二等奖的概率。解:（1）（2）方法一：方法二：方法三：19（本小题满分12分）2005A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.解：设表示游戏终止时掷硬币的次数
9、，正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：四、立体几何18.(本小题满分12分）2011如图，在交AC于 点D,现将（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为解：（1）设，则 令 则单调递增极大值单调递减由上表易知：当时，有取最大值。证明：（2） 作得中点F，连接EF、FP 由已知得： 为等腰直角三角形， 所以.20（本小题满分12分） 2010如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD._C_H_M_D_E_B_O
10、_A_F又平面平面,则MO平面，所以MOAB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MOAB，则，所以，故.（2）CE是平面与平面的交线.由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.作BFEC于F，连AF，则AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.因为BCE=120，所以BCF=60.，所以，所求二面角的正弦值是.解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面平面,则MO平面.以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（
11、1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），（1）设直线AM与平面BCD所成的角为.因（0，），平面的法向量为.则有，所以.（2），.设平面ACM的法向量为，由得.解得，取.又平面BCD的法向量为，则设所求二面角为，则.20（本小题满分12分）2009如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离20解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN
12、是PN在平面ABM上的射影，所以 就是与平面所成的角，且，所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，所以为中点，则O点到平面ABM的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为.（3）设所求距离为，由，得：20（本小题满分12分）2008如图，正三棱锥的三条侧棱、两两垂直，且长度均为2、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、或其延长线分别相交于、，已知（1）求证
13、：面；（2）求二面角的大小20解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以，则平面，所以。 又是的中点，所以，则。 因为，所以面，则，因此面。（2）作于，连。因为平面，根据三垂线定理知， 就是二面角的平面角。 作于，则，则是的中点，则。设，由得，解得，在中，则，。所以，故二面角为。解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则所以所以 所以平面 由得，故：平面 (2)由已知设则由与共线得:存在有得同理: 设是平面的一个法向量,则令得 又是平面的一个法量 ， 所以二面角的大小为 20（本小题满分12分）2007右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为已知，（1）设点是的
14、中点，证明：平面；（2）求与平面所成的角的大小；（3）求此几何体的体积解法一：（1）证明：作交于，连则，因为是的中点，所以则是平行四边形，因此有，平面，且平面则面（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，作于，因为平面平面，则面连结，则就是与面所成的角因为，所以与面所成的角为（3）因为，所以所求几何体的体积为解法二：（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，因为是的中点，所以，易知，是平面的一个法向量由且平面知平面（2）设与面所成的角为求得，设是平面的一个法向量，则由得，取得：又因为所以，则所以与面所成的角为（3）同解法一20.(本小题满分12分)2006如图,已知三棱锥的侧棱、两两垂直
15、，且是的中点.(1)求点到面的距离;(2)求异面直线所成的角;(3)求二面角的大小;20.(1)取的中点,连、则面,的长就是所要求的距离.、，在直角三角形中，有（另解：由(2)取的中点，连、，则是异面直线与所成的角.求得:(3)连结并延长交于,连结、.则就是所求二面角的平面角.作于,则在直角三角形中,在直角三角形中,方法二:(1)以为原点,、分别为、轴建立空间直角坐标系.则有、设平面的法向量为则由由，则点到面的距离为所以异面直线与所成的角.(3)设平面的法向量为则由知:由知:取由(1)知平面的法向量为则.结合图形可知,二面角的大小为:.20（本小题满分12分）2005如图，在长方体ABCDA1
16、B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1EA1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.20解法（一）（1）证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE， DHD1为二面角D1ECD的平面角. 设AE=x，则BE=2x解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（
17、0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依题意（不合，舍去）， .AE=时，二面角D1ECD的大小为.五、圆锥曲线1.(本小题满分12分）2011已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值解析：（1）直线AB的方程是 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：（2） 由p=4，化简得，从而
18、,从而A:(1,),B(4,)设=，又，即8（4），即，解得2（本小题满分12分）2010已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设，又为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程.解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点， 所以，即，由得椭圆的离心率.（2）由（1）可知，椭圆的方程为：联立抛物线的方程得：，解得：或（舍去），所以 ，即，所以的重心坐标为.因为重心在上，所以，得.所以.所以抛物线的方程为：，椭圆的方程为：.3（本小题满分14分）2009如图，已知圆是椭圆的内接的内切圆, 其中为椭圆的左顶点（1）求圆的半径;（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，
19、G证明：直线与圆相切解: （1）设，过圆心作于,交长轴于由得,即 (1)而点在椭圆上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)则,即 (4)解得将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为:即则圆心到直线的距离故结论成立.22（本小题满分14分）2008已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交抛物线于点（1）证明三点共线；（2）如果、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由（1）证明：设，则直线的
20、方程： 即：因在上，所以 又直线方程：由得：所以 同理，所以直线的方程： 令得将代入上式得，即点在直线上所以三点共线 （2）解：由已知共线，所以 以为直径的圆的方程：由得所以（舍去）， 要使圆与抛物线有异于的交点，则所以存在，使以为直径的圆与抛物线有异于的交点 则，所以交点到的距离为 22（本小题满分14分）2007设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于 两点问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（1）在中，（小于的常数）故动点的轨迹是以，为焦点，实轴
21、长的双曲线方程为（2）方法一：在中，设，假设为等腰直角三角形，则由与得，则由得，故存在满足题设条件方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得所以，则由，可设，则，则 由得根据双曲线定义可得，平方得：由消去可解得，故存在满足题设条件21.(本小题满分12分) 2006如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点转动,并且交椭圆于、两点,为线段的中点.(1)求点的轨迹的方程;(2)若在的方程中,令设轨迹的最高和最低点分别为和.当为何值时,为一个正三角形?解:如图(1)设椭圆上的点、,又设点坐标为，则由得当不垂直轴时，当垂直于轴时，点即为点，满足方程（*）.所以点的轨迹的方程为:.(2)因为轨迹的方程
22、可化为:使为一个正三角形时,21（本小题满分12分）2005如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值； （2）若M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹方程.解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l0)则直线MF的斜率为k，消所以直线EF的斜率为定值（2） 同理可得设重心G（x, y），则有六、数列21.(本小题满分14分）2011 （1）已知两个等比数列，满足， 若数列唯一，求的值； （2）是否存在两个等比数列，使得成公差为 的等差数列？若存在，求 的通项公式；若存在，说明理由解：
23、（1）要唯一，当公比时，由且， ，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根），此时满足条件的a有无数多个，不符合。当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合综上：。（2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列。22（本小题满分14分）2010正实数数列中,且成等差数列.(1) 证明数列中有无穷多项为无理数；(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.证明：（1）由已知有：，从而，方法一：取，则（）用反证法证明这些都是无理数.假设为有理数，则必为正整数，且，故.,
24、与矛盾，所以（）都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数;方法二：因为，当的末位数字是时，的末位数字是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多(2) 要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有（）又必为偶数，所以（）满足即（）时，为整数；同理有（）也满足，即（）时，为整数；显然和（）是数列中的不同项；所以当（）和（）时，为整数；由（）有，由（）有.设中满足的所有整数项的和为，则21（本小题满分12分）2009数列的通项，其前n项和为(1) 求; (2) 求数列的前n项和.解: （1）由于,故,故 ()(2)
25、两式相减得故19（本小题满分12分）2008等差数列的各项均为正数，前项和为，为等比数列, ，且(1)求与；(2)求和：解:（1）设的公差为，的公比为，则为正整数， 依题意有 解得或(舍去) 故（2） 21（本小题满分12分）2007设为等比数列，（1）求最小的自然数，使；（2）求和：解：（1）由已知条件得，因为，所以，使成立的最小自然数（2）因为，得：。 所以22.(本小题满分14分) 2006已知各项均为正数的数列满足:(1)求数列的通项公式;(2)设求,并确定最小正整数,使为整数.解:(1)条件式化为；因此为一个等比数列,其公比为2,首项为. 所以因,由解出（2）由有,为使为整数,当且仅当为整数.当时,显然不为整数,当时,故的最小正整数为9.22（本小题满分14分）2005已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.22解：方法一：先考虑偶数项有： 同理考虑奇数项有： 综合可得方法二：因为两边同乘以，可得：令所以
