1、-1-2 2.3 3圆的方程圆的方程-2-2 2.3 3.1 1圆的标准方程-3-2.3.1圆的标准方程知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析目标导航1.掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程;能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径,并运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题.2.掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法,并能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题.3.会判断点与圆的位置关系.-4-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析1231.圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆,定点是圆心,定长是圆的半径.设M(x,y)是C上的任意一点,点
2、M在C上的条件是|CM|=r,r为C的半径.名师点拨 圆的常用几何性质如下:(1)圆心在过切点,且与切线垂直的直线上;(2)圆心必是两弦中垂线的交点;(3)不过圆心的弦,弦心距d,半弦长m及半径r满足r2=d2+m2;(4)直径所对的圆周角是90,即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直.-5-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123【做一做1】已知圆O的一条弦长为2,且此弦所对圆周角为60,则该圆的半径为.-6-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析1232.圆的方程(1)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为x2+y2
3、=r2.(2)圆心坐标为(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.-7-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123归纳总结几种特殊形式的圆的标准方程-8-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123【做一做2】圆心是O(-3,4),半径为5的圆的方程为()A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2=25C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25答案：D-9-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析1233.点与圆的位置关系设点P(x0,y0)
4、和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,则点P在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2|PC|=r;点P在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2|PC|r;点P在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2|PC|24,所以点P在圆外.答案：A-11-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析121.圆的图形不是函数的图象剖析：根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象,否则,不是函数的图象.对于平面直角坐标系中的圆,垂直于x轴的直线与其至多有两个交点,因此圆不是函数的图象.但是存在图象是圆弧形状的函数.
5、-12-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析122.求圆关于一个点或一条直线对称的圆的方程的问题剖析：要求圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2关于点P(x0,y0)对称的圆的方程,首先找圆心C(a,b)关于点P(x0,y0)的对称点,得到对称圆的圆心,半径不变.如:求圆(x+1)2+y2=4关于原点对称的圆的方程.因为已知圆的圆心是(-1,0),它关于原点的对称点是(1,0),所以所求的圆的方程为(x-1)2+y2=4.同理求圆关于直线mx+ny+p=0对称的圆的方程,只需求圆心关于直线的对称点.如:已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,求圆C的方
6、程,我们可以设圆心(1,0)关于y=-x对称的点为(a,b),则-13-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五求圆的标准方程【例1】根据下列条件分别求圆的标准方程:(1)圆心为(3,4),半径等于 ;(2)以M(-4,-5),N(6,-1)为直径两端点;(3)圆心为(1,-3),经过点(-3,-1);(4)圆心为(2,-5),且与直线4x-3y-3=0相切;(5)圆心在直线x=2上,且与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2).(6)求经过点A(4,1),且与直线x-y-1=0相切于点B(2,1)的圆的方程.分析：(1)(2)(3)(4)(
7、5)根据各个条件,分别确定圆心坐标和半径大小,写出标准方程.(6)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,根据题目条件列出关于a,b,r的方程组.解方程组求得a,b,r的值,即得圆的方程.-14-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-15-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-16-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五反思 1.在求圆的标准方程时,要注意中点坐标公式、点到直线的距离公式、两点的距离公式的正确运用.2.列方程
8、组时要充分借助圆的几何性质,发现图中几何元素的关系,转化为a,b,r的方程;3.解方程组时,要充分利用加减消元法,不要盲目运用代入消元法.要将两者结合起来.-17-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】求下列圆的方程.(1)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1);(2)圆心C(3,0),且截直线y=x+1所得弦长为4.(3)求经过点P1(4,9)和P2(6,3),且以P1P2为直径的圆的标准方程.-18-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-19-
9、2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五判断点与圆的位置关系【例2】(1)圆的直径端点为(2,0),(2,-2),求此圆的方程,并判断A(5,4),B(1,0)是在圆上、圆外,还是在圆内;(2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,求实数m的取值范围.分析：(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程.判断点在圆上、圆外、圆内的方法是:根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断.(2)利用点在圆的外部建立不等式求m的取值范围.-20-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型
10、五解(1)由已知得圆心坐标为C(2,-1),半径r=1.则圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.A,B两点都在圆外.(2)点P(-2,4)在圆的外部,(-2+1)2+(4-2)2m,解得m0.因此实数m的取值范围是0m5,所以点(-1,4)在圆外部.答案：C-23-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五求圆关于点(线)对称的圆 分析：对称圆的圆心坐标变化、半径不变,另外也可利用相关点法来求.-24-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-25-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重
11、难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五反思 本例中方法一更简单一些.但需掌握点关于直线的对称点坐标的求法.-26-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x+1)2+(y-2)2=1解析：圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆心C(2,-1),故圆C的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.答案：A-27-2.3.1圆
12、的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五圆的标准方程的实际应用【例4】如图,一座圆拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少米?分析：建立平面直角坐标系,求出圆拱桥所在圆的标准方程,再利用方程解决相关问题.-28-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五解以圆拱桥拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图.设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=
13、r2,将点A的坐标(6,-2)代入方程,得36+(r-2)2=r2,解得r=10.所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1 m后,可设点A的坐标为(x0,-3)(x00),-29-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五反思 建立的平面直角坐标系不同,圆的方程也不同.建立平面直角坐标系时,要尽量使方程简单,并有利于目标实现.本题若选择其他方法建立平面直角坐标系也不影响结论.-30-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】已知某隧道的截面是半径为4 m的半圆,车辆
14、只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m,高为3 m的货车能不能驶入这个隧道?-31-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五易错辨析 易错点一:对几何关系把握不准确致错【例5】已知圆C的半径为2,且与y轴和直线4x-3y=0都相切,试求圆C的标准方程.错解:由题意可设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=4,因为圆C与y轴相切,可知a=2,-32-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四题型五-33-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析题型一题型二题型三题型四
15、题型五易错点二:对圆的标准方程理解不深致错【例6】已知圆的方程是(3x-3)2+(3y+4)2=9,则该圆的圆心坐标为,半径等于.错解:由圆的方程知圆心坐标为(3,-4),半径r=3.错因分析：对圆的标准方程的形式理解不深刻,所给出的圆的方程中,x与y的系数不是1,故不是标准方程,因此所得结论错误.-34-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123451圆C:(x-a)2+(y+1)2=3的圆心坐标是()A.(a,1)B.(a,-1)C.(-a,1)D.(-a,-1)答案：B-35-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123452以点A(-5
16、,4)为圆心,且与x轴相切的圆的标准方程为()A.(x+5)2+(y-4)2=16B.(x-5)2+(y+4)2=16C.(x+5)2+(y-4)2=25D.(x-5)2+(y+4)2=25解析：因为圆与x轴相切,所以r=4.故圆的标准方程为(x+5)2+(y-4)2=16.答案：A-36-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123453圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析：求圆关于某点或直线的对称图形的方程,主要是求圆心关于
17、点或直线的对称点.求得圆心(-2,0)关于(0,0)的对称点为(2,0),则所求的圆的方程为(x-2)2+y2=5.答案：A-37-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123454圆心在直线y=x上且与x轴相切于点A(1,0)的圆的方程为.解析：设其圆心为P(a,a),而切点为A(1,0),则PAx轴,所以由PA所在直线x=1与y=x联立,得a=1.故方程为(x-1)2+(y-1)2=1.也可通过数形结合解决,若圆与x轴相切于点(1,0),圆心在y=x上,可推知此圆与y轴切于点(0,1).答案：(x-1)2+(y-1)2=1-38-2.3.1圆的标准方程目标导航知识梳理重难聚焦随堂练习典例透析123455已知点P是曲线x2+y2=16上的一动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在曲线上运动时,求线段PA的中点M的轨迹方程.
