1、1.理解函数单调性的实质,会用函数单调性解决相关问题.2.理解复合函数的单调性,并会证明和判断.3.熟悉单调性在研究函数中的应用.函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决一些问题.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识极为密切,是高考命题的热点.问题1判断或证明一个函数在区间判断或证明一个函数在区间D D上是增上是增(减减)函数的方法有函数的方法有:观察法(1);(2)图像法(即通过画出函数图像,观察图像,确定单调区间);(3)定义法,其过程是:作差变形判断符号,其中难点是
2、变形.问题2复合函数的单调性的判断:复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:即有结论:“同增异减”.函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=fg(x)增减减增单调函数经运算后单调函数经运算后,所得函数单调性的规律所得函数单调性的规律:增减(增)增(减)减问题问题4 4存在x0I,使得f(x0)=M(一一)函数最大值的定义函数最大值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2).那么,称M是函数y=f(x)的最大值.函数最大值的几何意义:函数图像上 的纵坐标.(
3、二二)函数最小值的定义函数最小值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1);(2).那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图像上 的纵坐标.最高点对于任意的xI,都有f(x)M 存在x0I,使得f(x0)=M 最低点1若函数y=mx+b在(-,+)上是增函数,那么().A.b0B.b0D.m0,故C正确.C2已知函数f(x)=8+2x-x2,则().A.f(x)在(-,0)上是减函数 B.f(x)是减函数C.f(x)是增函数 D.f(x)在(-,0)上是增函数【解析】由于函数f(x)=8+2x-x2=-(x-1)2+9,其图像是开口向下
4、的抛物线,对称轴为x=1,结合其图像可知,该函数的递增区间是(-,1,递减区间是(1,+),据此可知,D正确.D24复合函数的单调性复合函数的单调性求函数y=(x2-2x-3)3的单调区间.【解析】令u=x2-2x-3=(x-1)2-4,则y=u3,根据复合函数单调性判定方法知:当x1时,u是关于x的单调递增函数,又y=u3是关于u的单调递增函数,y=(x2-2x-3)3在(1,+)上是单调递增函数.y=(x2-2x-3)3的单调递减区间为(-,1),单调递增区间为(1,+).利用单调性求最值利用单调性求最值【解析】f(x)在R上为减函数,-3,3 R,f(x)在-3,3上也是减函数,故f(x
5、)max=f(-3),f(x)min=f(3),f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1+1)+f(1)=2f(1)+f(1)=3f(1)=-2.m=n=0得,f(0)+f(0)=f(0)可得f(0)=0.m=-3,n=3时,f(-3)+f(3)=f(0),f(-3)=-f(3)+f(0)=2.故f(x)max=2,f(x)min=-2.抽象函数的单调性抽象函数的单调性已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足:当x1时,f(x)0;对任意正实数x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y),求证:f(x)在(0,+)上是递减函数.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且f(1-a)+f(1-a2)0,若f(x)是(-1,1)上的减函数,求实数a的取值范围.C 1.已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而减小,则它的图像过().A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限【解析】由题知y是减函数,k0,图像经过第一、二、四象限.2.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间4,+)上是增函数,则实数a的取值范围是().【解析】对称轴x=1-a,对称轴与区间端点满足1-a4,所以a-3.A.a3B.a-3C.a-3D.a5C
