1、创造创造猜想猜想思考思考观察观察弧度制弧度制数数 学学 是是 科科 学学 的的 大大 门门 和和 钥钥 匙匙身高八尺身高五尺13 1、一个扇形的花园，半径为、一个扇形的花园，半径为10米，圆心角米，圆心角 为为 ，那么花园的弧长和面积分别是多少？，那么花园的弧长和面积分别是多少？2101014 2、想建造一个扇形的小花园，但是材料有限，、想建造一个扇形的小花园，但是材料有限，最多只能围成周长为最多只能围成周长为80米的扇形，那么该花米的扇形，那么该花园最大能建成多少面积？园最大能建成多少面积？解：设花园的圆心角为解：设花园的圆心角为 ，半径为，半径为 ，得到，得到nR2280180n RCRl
2、R 80144003602180Rnn2214400()360360360nn RnS 我们发现初中的计算方法遇到了很大的麻烦，事实上我们发现初中的计算方法遇到了很大的麻烦，事实上引起问题的根源是角度的表示问题。引起问题的根源是角度的表示问题。15历史上数学家早就发现了这个问历史上数学家早就发现了这个问题，角度计算的复杂性，严重影题，角度计算的复杂性，严重影响了高等数学中三角函数的发展，响了高等数学中三角函数的发展，那么如何才能彻底解决这个问题那么如何才能彻底解决这个问题呢呢?计算复杂，我太难了！计算复杂，我太难了！角度和什么有关系呢角度和什么有关系呢？如何解决问题如何解决问题思考思考创造创造
3、16我们记我们记 ，如果此时，如果此时OA1B1A2B2B3A311AOB半径半径 ，111ROA弧长弧长1111lAB那么将半径变成那么将半径变成 时时,弧长弧长？222ROA222lA B若将半径变成若将半径变成 呢呢,弧长弧长？333ROA333lA B同学们能否从中发现弧长和半径之间同学们能否从中发现弧长和半径之间的联系呢？的联系呢？17我们记我们记 ，如果此时，如果此时OA1B1A2B2B3A311AOB半径半径 ，111ROA弧长弧长1111lAB 其实我们发现，在角度不变的情况下，弧长随其实我们发现，在角度不变的情况下，弧长随着半径按同一个比例变化，也就是着半径按同一个比例变化，
4、也就是3311221231A BABA BlROAOAOA那么将半径变成那么将半径变成 时时,弧长弧长？222ROA222lA B2若将半径变成若将半径变成 呢呢,弧长弧长？333ROA333lA B3183311221231A BABA BlROAOAOA如何保持如何保持弧长与半径的比值弧长与半径的比值不不变，有什么前提条件吗？变，有什么前提条件吗？我们发现：只有角度我们发现：只有角度 不变的情况不变的情况下，才有弧长与半径下，才有弧长与半径 的比值不变。的比值不变。11AOB那么如果角度发生了改变呢？这个比值和角那么如果角度发生了改变呢？这个比值和角度是什么关系呢？度是什么关系呢？1911
5、,ROA111AB 在一个圆中，我们记在一个圆中，我们记半径半径 弧长弧长那么将角度变成那么将角度变成111ABlRR11AOB122AOB12?ABlRR那么将那么将角度角度变成变成123AOB13?ABlRR发现：角度与弧长和发现：角度与弧长和半径的比值成正比。半径的比值成正比。如果希望同学们来给角定义一个新的度量方式，如果希望同学们来给角定义一个新的度量方式，那么你会如何定义？那么你会如何定义？2OA1B1B2B3320 早在早在18世纪，伟大的瑞士数学世纪，伟大的瑞士数学家欧拉家欧拉(Leonhardo Eulero)首先提出了这个想法，首先提出了这个想法，将长度等于半径长的圆弧将长度
6、等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角，弧，弧度记作度记作radrad.这种以弧度为单位来度量角的制度叫做这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制弧度制.1 lRradRROB Br rl=r rA A21数学教师汤姆生数学教师汤姆生(James homson)在北爱尔兰首府贝在北爱尔兰首府贝尔法斯特尔法斯特(Belfast)女王学院女王学院的数学考试题目中创造性地的数学考试题目中创造性地首先使用了首先使用了“弧度弧度”一词一词.当当时，他将时，他将“半径半径”(radius)的的前四个字母与前四个字母与“角角”(angle)的前两个字母合在一起，构的前两个字母
7、合在一起，构成成 radian，并被人们广泛接，并被人们广泛接受和引用受和引用.22 那么角度制和弧度制之间如何建立联系呢？那么角度制和弧度制之间如何建立联系呢？lR lradR 180rad1=rad0.01745rad1801801 rad=()57.30=57 1823弧度制弧度制角度制角度制度量单位度量单位弧度弧度(10(10进制进制)度度(60(60进制进制,1,1=60,1=60=60,1=60)单位规定单位规定把长度等于半径长的弧把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1 1弧弧度的角。度的角。周角的周角的1/3601/360叫做叫做1 1度的角。度的角。换算关系换算
8、关系基本关系基本关系导出关系导出关系 360=2rad1=rad0.01745rad180180=rad1801rad=()57.30=57 1824 的长的长OB旋转的方向旋转的方向 的弧的弧度数度数 的的度数度数逆时针方向逆时针方向逆时针方向逆时针方向逆时针方向逆时针方向1顺时针顺时针2顺时针顺时针0未旋转未旋转0逆时针方向逆时针方向逆时针方向逆时针方向AOBAOBr2 rr2rrr2 r22180180180-114.6-57.33603600AB正角正角零角零角负角负角正实数正实数零零负实数负实数25注注:1.1.用弧度为单位表示角的大小时，用弧度为单位表示角的大小时，“弧度弧度”二字
9、或二字或“rad”rad”通常省略不写，但用通常省略不写，但用“度度”（）为单位不能省）为单位不能省.2.2.用弧度为单位表示角时，通常写用弧度为单位表示角时，通常写 成成“多少多少”的形式的形式,如无特别要求，不用将如无特别要求，不用将化成小数化成小数.度 03045120135150360弧度数63422334322056记住一些常见的角度与弧度制的换算：记住一些常见的角度与弧度制的换算：18060902702635例例1：将下列各角从弧度化为度：将下列各角从弧度化为度：（2）（1）1.527例例2：将下列各角从度化为弧度：将下列各角从度化为弧度：（2）37 30（1）252 28根据弧度
10、的定义，我们知道根据弧度的定义，我们知道 ，于是容，于是容易得到，弧长计算公式易得到，弧长计算公式lR|lR考虑到现在角度的正负，用考虑到现在角度的正负，用 来表示角度。来表示角度。|那么现在的扇形的面积公式应该怎么表示呢？那么现在的扇形的面积公式应该怎么表示呢？221()36021811 =|20|2ln Rn RSRRR29解决我们在一开始提出的问题解决我们在一开始提出的问题请用新的弧长和面积公式重新计请用新的弧长和面积公式重新计算算解：解：7210635;3lRm 2117523SlRm 1、一个扇形的花园，半径为、一个扇形的花园，半径为10米，圆心角米，圆心角 为为 ，那么花园的弧长和
11、面积分别是多少？，那么花园的弧长和面积分别是多少？2101030 解：设圆心角为解：设圆心角为 ，半径为，半径为 ，于是得到，于是得到R280CRl 我们用弧度制结合新的弧长和面积公式轻易解决了这我们用弧度制结合新的弧长和面积公式轻易解决了这个问题。个问题。211(802)4022SlRR RRR 40(,40)1R当当 时，时，20R max400S此时此时 ，40l 2lR该花园最大能建成该花园最大能建成400m2，2、想建造一个扇形的花园，但是材料有限，、想建造一个扇形的花园，但是材料有限，最多只能围成周长为最多只能围成周长为80米的扇形，那么该米的扇形，那么该 花园最大能建成多少面积？花园最大能建成多少面积？31 1、知识能力、知识能力 3、创新思维、创新思维 弧度制的概念弧度制的概念 弧度制与角度制的相互转化弧度制与角度制的相互转化 扇形弧长与面积公式扇形弧长与面积公式 2、数学思想、数学思想 类比的数学思想类比的数学思想Thanks For Your Attention Thanks For Your Attention The End
