1、第第4 4课时课时导数及其应用导数及其应用知识网络要点梳理填一填:瞬时变化率 导数在实际问题中的应用 导数的计算 导数与函数的单调性 实际问题中导数的意义 常用导数公式 导数的四则运算法则 知识网络要点梳理知识网络要点梳理4.导数的几何意义(1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率等于函数f(x)在x=x0处的导数值f(x0).(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.5.利用导数研究函数单调性(1)利用导数求函数单调区间的步骤:确定函数的定义域;求导数f(x);在定义域内,解不等式f(x)0得到函数的递增区间;解不等式f(x)0得到函数的递减区间.(2)根据单调性求参数取值
2、范围:函数f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f(x)0(f(x)0)在区间I上恒成立.知识网络要点梳理6.利用导数研究函数的极值与最值(1)应用导数求函数极值的一般步骤:确定函数f(x)的定义域;解方程f(x)=0的根;检验f(x)=0的根的两侧f(x)的符号:若左正右负,则f(x)在此根处取得极大值;若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值;否则,此根不是f(x)的极值点.(2)求函数f(x)在闭区间a,b上的最大值、最小值的方法与步骤:求f(x)在(a,b)内的极值;将求得的极值与f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.知识网络要点梳理7.利
3、用导数研究函数、方程、不等式的综合问题利用导数研究下列问题:(1)函数的零点个数问题;(2)方程的根的问题;(3)不等式恒成立问题;(4)证明不等式问题;(5)解不等式问题;(6)比较大小问题.知识网络要点梳理思考辨析思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)经过点A(x0,y0)作曲线y=f(x)的切线,则切线斜率等于f(x0).()(2)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则在区间(a,b)上必有f(x)f(x)恒成立,则af(x)min.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五专题归纳高考体验专题一专
4、题二专题三专题四专题五答案:B 专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五专题二导数的几何意义【例2】(1)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为;(2)(2015课标高考)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五解析:(1)y=-5ex,则k=-5e0=-5,所以所求切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.当x=1时,k=y=2,切线方程为y=2x-1.由y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立,得ax2+ax+2=0,再由相切知=a2-8a=0,解得
5、a=0或a=8.当a=0时,y=ax2+(a+2)x+1并非曲线而是直线,a=0舍去,故a=8.答案:(1)5x+y+2=0(2)8专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五反思感悟反思感悟利用导数研究曲线的切线问题,务必要注意所给点是否在曲线上,若点在曲线上,则函数在该点处的导数值就是曲线在该点切线的斜率,若所给点不在已知曲线上,则应先设出切点坐标,再结合两点连线的斜率公式建立联系求解.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五变式训练变式训练2若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.解析:点(1,a)在曲线y=ax2-ln x上,切线与曲线在点(1,a)
6、处相切.f(1)=2a-1.切线的斜率为2a-1.又由切线与x轴平行,2a-1=0,专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五专题三利用导数研究函数单调性【例3】已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)ln x,aR.(1)当a=8时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在2,+)上单调递增,求a的取值范围;(3)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围.分析(1)将a的值代入,确定定义域,求导数,然后解不等式即得;(2)转化为f(x)0在2,+)恒成立求解;(3)转化为不等式f(x)0,求f(x)在0,1上的最大值.解(1)f(x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)=(x-a)x-
7、(a+1).当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:a+1=2,a=1.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五专题五利用导数研究函数、方程、不等式的综合问题分析(1)将a,b的值代入,然后研究函数的极值,并结合单调性求出最值;(2)方程有唯一实数解,亦即相应函数图像与x轴只有一个交点,可先研究函数的极值情况,并结合图像分析,得到m的值.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五(1)若f(x)在2,5上单调递减,求实数a的取值范围;(2)
8、若f(x)0对任意x0恒成立,求实数a的最小值.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题五令g(x)=2x-xln x,因此g(x)=2-(ln x+1)=1-ln x,显然当0 x0,即得g(x)在(0,e)上是增函数;当xe时,g(x)0,即得g(x)在e,+)上是减函数.所以g(x)max=g(e)=e.故ae,即a的最小值为e.专题归纳高考体验123456789101112131415考点一导数的运算1.(2013江西高考)设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(1)=.解析:令ex=t,则x=ln t,f(t)=ln t+t,f(1)=2.答案:2专题归纳
9、高考体验123456789101112131415考点二导数的几何意义A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)专题归纳高考体验123456789101112131415专题归纳高考体验123456789101112131415答案:A 专题归纳高考体验1234567891011121314153.(2016全国丙高考)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.解析:当x0时,-x0,f(-x)=ex-1+x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ex-1+x.因为f(x)=ex-1+1,所以f(1)=2,
10、所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:y=2x专题归纳高考体验1234567891011121314154.(2015课标全国高考)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=.解析:f(x)=3ax2+1,f(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,已知点为(1,a+2).5-a=3a+1,解得a=1.答案:1专题归纳高考体验123456789101112131415专题归纳高考体验123456789101112131415专题归纳高考体验123456789101112131415专题归纳高考体验123456789
11、1011121314156.(2016全国乙高考)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解(1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.()设a0;当x(ln(-2a),1)时,f(x)0;当x(1,ln(-2a)时,f(x)0,b0,d0B.a0,b0,c0C.a0,b0,d0D.a0,b0,c0,d0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(
12、-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)专题归纳高考体验123456789101112131415f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=0.在区间(0,1)上,F(x)0;在(1,+)上,F(x)0,即当0 x0;当x1时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1).故选A.答案:A专题归纳高考体验12345678910111213141513.(2016全国甲高考)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若当x(1,+)
13、时,f(x)0,求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0,+).当a=4时,曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.专题归纳高考体验123456789101112131415专题归纳高考体验12345678910111213141514.(2016全国丙高考)设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(3)设c1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.解(1)(导数与函数的单调性)令f(x)=0解得x=1.当0 x0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.专题归纳高考体验123456789101
14、112131415解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f(x)=3x2+8x+4.令f(x)=0,得3x2+8x+4=0,专题归纳高考体验123456789101112131415专题归纳高考体验123456789101112131415(3)当=4a2-12b0,x(-,+),此时函数f(x)在区间(-,+)上单调递增,所以f(x)不可能有三个不同零点.当=4a2-12b=0时,f(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.当x(-,x0)时,f(x)0,f(x)在区间(-,x0)上单调递增;当x(x0,+)时,f(x)0,f(x)在区间(x0,+)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有=4a2-12b0.故a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要条件.当a=b=4,c=0时,a2-3b0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.因此a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.
