1、第第4课时课时绝对值三角绝对值三角不等式不等式 若点若点O为数轴的原点，为数轴的原点，A，B为数轴上的任为数轴上的任意两点，则一定有意两点，则一定有|AB|AO|OB|吗吗?如如果原点果原点O的坐标为的坐标为0，而，而A，B两点在数轴上两点在数轴上的坐标分别为的坐标分别为a，b，那么一定有，那么一定有|ab|a|b|吗吗?预学预学1:定理定理1 如果如果a，b是实数，那么是实数，那么|ab|a|b|，当且仅，当且仅当当ab0时，等号成立时，等号成立.议一议议一议:说出不等式说出不等式|a|b|ab|等号成立的等号成立的条件条件.【解析】等号成立的条件是【解析】等号成立的条件是ab0且且|a|b
2、|.预学预学2:定理定理2 如果如果a，b，c是实数，那么是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立时，等号成立.想一想想一想:方程方程|2x|x4|2的解集是多少的解集是多少?【解析】【解析】|2x|x4|24|2，当且仅，当且仅当当(2x)(x4)0，即，即2x4时等号成立时等号成立.方程方程|2x|x4|2的解集为的解集为2，4.预学预学3:|ab|与与|a|b|，|ab|与与|a|b|及及|a|b|之间的关系之间的关系|a|b|ab|，|a|b|ab|a|b|.当当ab0时，时，|ab|a|b|;当当ab0时，时，|ab|a|b|.练一练练一练:
3、若若a，bR，且，且|a|3，|b|2，则，则|ab|的最大值是的最大值是，最小值是，最小值是.【解析】【解析】|a|b|ab|a|b|，故，故|ab|的的最大值是最大值是5，最小值是，最小值是0.【答案】【答案】50 预学预学4:不等式不等式|a|b|ab|a|b|中等号成中等号成立的条件立的条件 左边等号成立的条件是左边等号成立的条件是ab0，右边等号成立，右边等号成立的条件是的条件是ab0，|a|b|a|b|等号成立的条等号成立的条件是件是ab0.想一想想一想:不等式不等式|a|b|ab|a|b|，其中，其中左右两边等号成立的条件分别是什么左右两边等号成立的条件分别是什么?【解析】【解析
4、】|a|b|ab|等号成立的条件是等号成立的条件是ab0，|ab|a|b|等号成立的条件等号成立的条件ab0.2.利用绝对值三角不等式解决函数的最值问利用绝对值三角不等式解决函数的最值问题题 例例2、对于任意的实数对于任意的实数a(a0)和和b，不等式，不等式|ab|ab|M|a|恒成立恒成立.(1)求实数求实数M的最大值的最大值;(2)若实数若实数M的最大值为的最大值为m，当，当x1时，解不等时，解不等式式|x1|x2|m.变式训练变式训练3、设函数设函数f(x)|x3|xa|，其，其中中aR.(1)当当a2时，解不等式时，解不等式f(x)1;(2)若对于任意实数若对于任意实数x，恒有，恒有
5、f(x)2a成立，求成立，求a的取值范围的取值范围.【解析】【解析】(1)当当a2时，时，f(x)1就是就是|x3|x2|1.当当x2时，不等式为时，不等式为3xx21，得，得51，不等式无解不等式无解;当当2x3时，不等式为时，不等式为3xx20，所以，所以0 x3;当当x3时，不等式为时，不等式为x3x21，得，得51，不等式恒成立，所以不等式恒成立，所以x3.综上可知，不等式综上可知，不等式f(x)1的解集是的解集是(0，).(2)因为因为f(x)|x3|xa|(x3)(xa)|a3|，所以所以f(x)的最大值为的最大值为|a3|.对于任意实数对于任意实数x，恒有，恒有f(x)2a成立等
6、价于成立等价于|a3|2a.当当a3时，不等式为时，不等式为a32a，得，得a3;当当a3时，不等式为时，不等式为a32a，得，得a1，无解，无解.综上，所求综上，所求a的取值范围是的取值范围是3，).1.两数和与差的绝对值不等式的性质两数和与差的绝对值不等式的性质:|a|b|ab|a|b|.(1)对绝对值三角不等式定理对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值此定理求函数的最值.(2)该定理可强化为该定理可强化为|a|b|ab|a|b|，它，它经常用于证明含绝对值的不等式经常用于证明含绝对值的不等式
7、.2.含绝对值不等式的证明主要分两类含绝对值不等式的证明主要分两类:一类是一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值不等式的性质或利用绝对值不等式的性质:|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明，通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明布等方法来证明.
