1、3.1基本不等式第三章 不等式1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一算术平均数与几何平均数如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？答案梳理梳理如果a，b都是非负数，那么 ，当且仅当ab时，等号成立.其中 称为a，b的 平均数，称为a，b的 平均数.两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.算术几何知识点二基本不等式及其常见推论思考答案梳理梳理题型探究类型一
2、常见推论的证明例例1证明不等式a2b22ab(a，bR).证明a2b22ab(ab)20，a2b22ab.引申探究引申探究证明由例1，得a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，反思与感悟(1)本例证明的不等式成立的条件是a，bR，与基本不等式不同.(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法.a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca，2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，当且仅当abc时，等号成立.跟踪训练跟踪训练1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2b2c2abbcca.证明类型二用基本不等式证明不等式例例2已知x，y都是正数.证明当且仅当x
3、y时，等号成立.(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.解答即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立.反思与感悟在(1)的证明中把 ，分别看作基本不等式中的a，b从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号.跟踪训练跟踪训练2已知a，b，c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.证明即(ab)(bc)(ca)8abc，当且仅当abc时，等号成立.类型三用基本不等式比大小例例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，
4、a，b，x均大于零，则答案解析第二年的产量为AAaA(1a)，第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b).若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2.依题意有A(1x)2A(1a)(1b)，a0，b0，x0，反思与感悟基本不等式一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.跟踪训练跟踪训练3设ab1，P，Q，R ，则P，Q，R的大小关系是 A.RPQ B.PQRC.QPR D.PRQ答案解析ab1，lg alg b0，即QP.即RQ.综合，有PQR.当堂训练a0，b0，1.已知a0，b0，则 的最小值是 A.2 B.C.4 D.5答案解析12342.若0a0，b0，给出下列不等式：答案解析1234故恒成立；当a3时，a296a，故不恒成立.综上，恒成立的是.1234规律与方法2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.本课结束
