1、3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数 一、情境设置一、情境设置:过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。二、二、函数单调性定义函数单调性定义一般地，设函数一般地，设函数 y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为I I：如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函数那么就说函数 f(x)f(x)在区间在区间D D上是增函数上是增函数.12,x x12xx1
2、2()()f xf x如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量的值的值 ，当，当 时，都有时，都有 ，那么就说函数那么就说函数 f(x)f(x)在区间在区间D D上是减函数上是减函数.12,x x12xx12()()f xf x1.1.正确理解利用导数判断函数的单调性的正确理解利用导数判断函数的单调性的 原理原理.（重点）（重点）2.2.利用导数判断函数单调性利用导数判断函数单调性.（难点）（难点）3.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法掌握利用导数判断函数单调性的方法.如图如图(1)(1)表示高台跳水运动表示高台跳水运动员的高度员的高度
3、 h h 随时间随时间 t t 变化的变化的函数函数 的图象的图象,图图(2)(2)表示高台跳水表示高台跳水运动员的速度运动员的速度 v v 随时间随时间 t t 变变化的函数化的函数 的图象的图象.运动员从起跳到最高运动员从起跳到最高点点,以及从最高点到入水这两以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别段时间的运动状态有什么区别?2()4.96.510h ttt()()9.86.5 v th ttaabbttvhOO(1)(1)(2)(2)探究点：函数的单调性与其导函数的关系探究点：函数的单调性与其导函数的关系(1)(1)(2)(2)aabbttvhOO运动员从起跳到最高点运动员从起跳
4、到最高点,离水面的高度离水面的高度h随时间随时间t 的增的增加而增加加而增加,即即h(th(t)是增函数是增函数.相应地相应地,()()0.v th t从最高点到入水从最高点到入水,运动员运动员离水面的高离水面的高度度h随时间随时间t t的增加的增加而减少而减少,即即h(th(t)是是减函数减函数.相应地相应地,()()0.v th t(1)(1)(2)(2)提示：提示：这种情况是否这种情况是否具有一般性？具有一般性？,.观观察察下下面面一一些些函函数数图图象象 探探讨讨函函数数的的单单调调性性与与其其导导数数正正负负的的关关系系yxyxO 1 12yxOyx 2 23yxOyx 3 31yx
5、Oyx 4 4(1)(1)观察图象观察图象,完成下列填空完成下列填空.图图中的函数中的函数y=xy=x的导函数的导函数y=_,y=_,此函数的单调增此函数的单调增区间为区间为_;_;图图中的函数中的函数y=xy=x2 2的导函数的导函数y=_,y=_,此函数的单调此函数的单调增区间为增区间为_;_;单调减区间为单调减区间为_;_;图图中的函数中的函数y=xy=x3 3的导函数的导函数y=_,y=_,此函数的单调此函数的单调增区间为增区间为_;_;图图中的函数中的函数y=y=的导函数的导函数y=,y=,此函数的单此函数的单调减区间为调减区间为_._.1x21x1 1(-,+)(-,+)2x2x(
6、-,0)(-,0)3x3x2 2(-,+)(-,+)(-,0),(0,+)(-,0),(0,+)(0(0，+)+)(2)(2)根据根据(1)(1)中的导函数与单调区间之间的关系中的导函数与单调区间之间的关系,思考函数的单调性与导函数的正负有什么关系思考函数的单调性与导函数的正负有什么关系?提示提示:根据根据(1)(1)中的结果可以看出中的结果可以看出,函数的单调区函数的单调区间与导函数的正负有关间与导函数的正负有关,当导函数在某区间上大当导函数在某区间上大于于0 0时时,此时对应的函数为增函数此时对应的函数为增函数,当导函数在某当导函数在某区间上小于区间上小于0 0时时,此时对应的函数为减函数
7、此时对应的函数为减函数.0 000000 00 00 011111 1如如图图,导导数数x x表表示示函函数数f xf x 在在点点 x,f xx,f x处处的的切切线线的的斜斜率率.在在x=xx=x处处,x0,x0,切切线线是是“左左下下右右上上”式式的的,这这时时,函函数数f xf x在在 x x 附附近近单单调调递递增增;在在x=xx=x 处处,x0,x0,x 0,那那么么函函数数y=f xy=f x 在在这这个个区区间间内内单单调调递递增增;如如果果f fx 0,x 0,)0,则则f(xf(x)在该区间上在该区间上单调递增单调递增,反过来也成立吗反过来也成立吗?提示提示:不一定成立不一
8、定成立.例如例如,f(x,f(x)=x)=x3 3在在R上为增函数上为增函数,但但f(0)=0,f(0)=0,即即f(xf(x)0)0是是f(xf(x)在该区间上单调递增的充在该区间上单调递增的充分不必要条件分不必要条件.(2)(2)利用导数求函数单调区间时利用导数求函数单调区间时,能否忽视定义域能否忽视定义域?提示提示:首先需要确定函数的定义域首先需要确定函数的定义域,函数的单调区间是函数的单调区间是定义域的子集定义域的子集.【规律总结【规律总结】1.1.函数的单调性与其导数正负的关系函数的单调性与其导数正负的关系(1)(1)充分条件充分条件:注意注意f(xf(x)0()0(或或f(xf(x
9、)0)0)仅是函数仅是函数f(xf(x)在某个区间上递增在某个区间上递增(或递减或递减)的充分条件的充分条件.(2)(2)恒成立恒成立:在区间在区间(a,b(a,b)内可导的函数内可导的函数f(xf(x)在区间在区间(a,b(a,b)上递增上递增(或递减或递减)的充要条件应是的充要条件应是f(x)0(f(x)0(或或f(x)0)(x(a,b)f(x)0)(x(a,b)恒成立且恒成立且f(xf(x)在区间在区间(a,b(a,b)的任意子区间内都不恒等于的任意子区间内都不恒等于0.0.(3)(3)常数函数常数函数:特别地特别地,如果如果f(xf(x)=0,)=0,那么函数那么函数y=f(xy=f(
10、x)在这个区间内是常数函数在这个区间内是常数函数.2.2.利用导数研究函数单调性时应注意的四个问题利用导数研究函数单调性时应注意的四个问题(1)(1)定义域定义域:在利用导数讨论函数的单调区间时在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域首先要确定函数的定义域,解决问题的过程只能解决问题的过程只能在定义域内在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间单调区间.(2)(2)端点值端点值:在对函数划分单调区间时在对函数划分单调区间时,除了必须除了必须确定使导数等于零的点外确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内还要注意在定义域内的间断点的间断点.(3
11、)(3)符号符号:如果一个函数的单调区间不止一个如果一个函数的单调区间不止一个,这这些单调区间之间不能用些单调区间之间不能用“”连接连接,而只能用而只能用“逗号逗号”或或“和和”字等隔开字等隔开.(4)(4)常数函数常数函数:如果函数在某个区间上如果函数在某个区间上,恒有恒有f(xf(x)=0,)=0,则则f(xf(x)为该区间上的常数函数为该区间上的常数函数,如如f(xf(x)=3,)=3,则则f(xf(x)=3=0.)=3=0.设设f(xf(x)=x)=x (x0)(x0)，则，则f(xf(x)的单调增区间是的单调增区间是 ()()A.(A.(，2)2)B.(B.(2 2，0)0)C.(C
12、.(，)D.(D.(，0)0)2x22C C【即时训练【即时训练】例例1 1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x x x 4或或 x x 1时时,当当 x x=4或或 x x=1时时,()fx()0;fx()0;fx()0.fx试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.f(x)f(x)解解:当当1 x x 0,f(x)0,f(x)f(x)当当 x x 4 或或 x x 1时时,可知可知 在此区间内单调递减在此区间内单调递减;f(x)0,f(x)0.f(x)=3x+3=3(x+1)0.因此因此,函数函数 在在 上单调递增上单调递增.3 3f(x)=x+3xf(x
13、)=x+3xxRxR 为为2 2 2 2 因因f f x x=x x-2 2x x-3 3,所所以以f f x x=2 2x x-2 2=2 2 x x-1 1.当时数单调递22f x 0,即f x 0,即x1,函x1,函f x=x-2x-3增f x=x-2x-3增;当时数单调递减22f x 0,即f x 0,即x1,函x 0 0,即即 时时,函函数数f f x x f f ;当当x x 0,)0,得函数单调递增区间得函数单调递增区间;解不等式解不等式f f(x(x)0,)0(0(或或 0).0).(3)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）确认并指出递增区间（或递减区间）.2.2.证明可导函数证明可导函数f(xf(x)在在(a,b(a,b)内的单调性的方法内的单调性的方法(1)(1)求求 (2)(2)确认确认 在在(a,b(a,b)内的符号内的符号.(3)(3)得出结论得出结论.f(x)f(x)f(x)f(x)f(x).f(x).f(x)f(x)不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。荀子劝学
