1、第3章导数及其应用知识网络 整体构建要点归纳 主干梳理方法总结 思想构建栏目索引 知识网络 整体构建返回 要点归纳 主干梳理函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率.2.曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线yf(x)在P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为xx0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f(x0).3.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便.因此观察式
2、子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.4.判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.5.利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的.(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3)可导函数的极值点一定是导
3、数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号.6.求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间a，b上连续的函数f(x)，在a，b上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)x3，x(1,1).(2)求函数最值的步骤一般地，求函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.7.应用导数解决
4、实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f(x0)0，则f(x0)是函数的最值.返回 方法总结 思想构建题型一导数几何意义的应用导数几何意义的应用，主要体现在与切线方程有关的问题上.利用导数的几何意义求切线方程的关键是弄清楚所给的点是不是切点，常见类型有两种：一种是求“在某点处的切线方程”，此点一定为切点，先求导，再求斜率，进而求出切线方程；另一种是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0 x1).又已知y1f(x1
5、)由求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.切线问题是高考的热点内容之一，在高考试题中既有选择题、填空题，也有综合性大题，难度一般为中等.例1已知函数f(x)xaln x(aR).(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；解析答案f(1)1，f(1)1,yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1),即xy20.(2)求函数f(x)的极值.解析答案当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa;x(0，a)时，f(x)0，f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a
6、，无极大值.综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值.反思与感悟反思与感悟跟踪训练1已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；解因为f(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.解析答案(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由.解析答案解因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线yg(x)相切的直线方程.解析答案当x01时，g(1)12，g(x)21，切点
7、坐标为(1,21)，所以切线方程为y12x9；当x01时，g(1)0，g(1)9，切点坐标为(1,9)，所以切线方程为y9.下面求曲线yf(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.当x0时，f(0)11，此时切线方程为y12x11；当x1时，f(1)2，此时切线方程为y12x10.所以y12x9不是公切线.由f(x)0，得6x26x120，解析答案解得x1或x2.当x1时，f(1)18，此时切线方程为y18；当x2时，f(2)9，此时切线方程为y9，所以y9是公切线.综上所述，当k0时
8、，y9是两曲线的公切线.题型二应用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内单调递减.解析答案反思与感悟解由题知，f(x)的定义域是(0，)，设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.解析答案反思与感悟当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值反思与感悟反思与感悟求解函数yf(x)单调区间的步骤：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)；(3)解不等式
9、f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间.特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“”连接.解析答案(1)求f(x)的单调区间；解函数f(x)的定义域为(，)，当x0时，f(x)0；当x0时f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，).(2)证明：当f(x1)f(x2)(x1x2)时，x1x20.解析答案解析答案同理，当x1时，f(x)0.当f(x1)f(x2)(x1x2)时，不妨设x1x2，由(1)，知x1(，0)，x2(0,1).下面证明x(0,1)，f(x)f(x)，当x(
10、0,1)时，g(x)0，g(x)单调递减，所以x(0,1)，f(x)f(x).又因为x2(0,1)，所以f(x2)f(x2)，从而f(x1)f(x2).因为x1，x2(，0)，f(x)在(，0)上单调递增，所以x1x2，即x1x20.题型三利用导数求函数的极值和最值1.利用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f(x)0的根；(3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在
11、(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.特别地，当f(x)在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(，).解析答案解f(x)3x22axb，当x2时，f(2)2，即切点为(2,2).又因为切线斜率kf(2)8，所以，所求切线方程为y28(x2)，即8xy140.解析答案(2)求函数yf(x)在2,1上的最大值与最小值.解当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下
12、表：解析答案(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0；当x(2，)，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，则a4.(2)求f(x)的单调区间；解析答案解析答案所以g(x)在x(1，)上为增函数，题型四导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以填空题出现，则难度以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.解
13、析答案解f(x)x24ax3a2(xa)(x3a).令f(x)0，得xa或x3a.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)在(，a)和(3a，)上是减函数，在(a,3a)上是增函数.当x3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值f(3a)b.解析答案(2)若当xa1，a2时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围；解f(x)x24ax3a2，其对称轴为x2a.因为0a1，所以2aa1.所以f(x)在区间a1，a2上是减函数.当xa1时，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；当xa2时，f(x)取得最小值，f(
14、a2)4a4.又因为0a1，解析答案要使f(x)0在1,3上恒有两个相异实根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，解析答案解析答案则f(x)x24.因为x2,1，所以f(x)0，即函数f(x)在区间2,1上单调递减.1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围.这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围.2.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f(x)0(或f(x)0)，且f(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可.课堂小结返回
