1、复习：解：不同的走法分为两类：第一类由甲村走水路到乙村，再由乙村到丙村：只有1种走法。第二类由甲村走旱路到乙村，再由乙村到丙村：有22=4种走法。由分类计数原理：1+4=5从甲村到乙村有2条旱路，一条水路，从乙村到丙村有南、北两条路，当从甲村走水路到乙村时，再从乙村到丙村就只能走南路，问从甲村经过乙村到丙村共有多少种不同的走法？什么是分类计数原理，分步计数原理。答：共有5种不同的走法。分类计数原理分类计数原理(加法原理加法原理)完成一件事，有完成一件事，有n类办法，在第类办法，在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方种不同的方法，法
2、，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法12nN=m+m+m分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法12nN=mmm分类计数原理与分类计数原理与“分类分类”有关，各种方法有关，各种方法相互独立相互独立，用其中任何一种方法都可以用其
3、中任何一种方法都可以完成这件事；完成这件事；分步计数原理与分步计数原理与“分步分步”有关，各个步骤有关，各个步骤相互依存相互依存，只有各个步骤都完成了，这只有各个步骤都完成了，这件事才算完成件事才算完成问题1从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上名同学参加上午的活动，午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？我们把上面问题中被取的对象叫做我们把上面问题中被取的对象叫做元素元素于是所提出的问题就是从于是所提出的问题就是从3个不同的元个不同的元素中任取素中任取2个，
4、按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法问题问题2从从a、b、c、d这四个字母中，取出这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？的排法？解决这个问题，需分解决这个问题，需分3个步骤：个步骤：第第1步，先确定左边的字母，在步，先确定左边的字母，在4个字母中任取个字母中任取1个，有个，有4种方法；种方法；第第2步，确定中间的字母，从余下的步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有个字母中去取，有3种方法；种方法；第第3步，确定右边的字母，只能从余下的步，确定右边的字母，只能从余下的
5、2个字母中去取，有个字母中去取，有2种方法种方法根据分步计数原理，共有根据分步计数原理，共有43224一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的一个排列一个排列注意：注意：1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素没有重复元素，也没有重也没有重复抽取相同的元素复抽取相同的元素2.排列的定义中包含两个基本内容：一是排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素取出元素”；二是；二是“
6、按照一定顺序排按照一定顺序排列列”“一定顺序一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志标志3.根据排列的定义，根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同素的排列顺序也完全相同也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那
7、么也是不同的排列那么也是不同的排列4.如果如果mn，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），叫做，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），叫做选排列选排列；如果；如果mn，这样的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做，这样的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做全排列全排列【总结提炼总结提炼】排列问题，是取出排列问题，是取出m个元素后，还要个元素后，还要按一定的顺序按一定的顺序排成一列，取出排成一列，取出同样的同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）方法（两个不同的排列）由排列的定义可知，由排
8、列的定义可知，排列与元素的顺序有关排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列所有的排列练习练习 1：下列问题是排列问题吗？下列问题是排列问题吗？（1）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其四个数字中，任选两个做加法，其不同不同选择有多选择有多少种？少种？（2）从）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其四个数字中，任选两个做除法，其不同不同选择有多选择有多少种？少种？（3）从）从1到到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少
9、个不同十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？的点的坐标？（4）平面上有）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？可确定多少条直线？线？可确定多少条直线？（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？个学生排队照相，则不同的站法有多少种？（从中归纳这几类问题的区别）（从中归纳这几类问题的区别）是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列是排列是排列不是排列不是排列是排列是排列练习练习3：写出从写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中任取中任取2个元素的个元素的所有排列所有排列解决办法是先画解决办法是先画“树形图
10、树形图”，再由此写出所有的排列，共，再由此写出所有的排列，共20个个 若把这题改为：写出从若把这题改为：写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中任取中任取4个元素的所有排列，结果个元素的所有排列，结果如何呢？如何呢？方法仍然照用，但数字将更大，写起来更方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦啰嗦”练习练习2:在在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果种不同的选法？写出所有可能的选举结果ABACADBCBDCDBACADACBDBDC研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排
11、列，那研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得得”出所有排列的个数呢？这一节课我出所有排列的个数呢？这一节课我们将来共同探讨这个问题：们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式排列数及其公式1排列数的定义排列数的定义从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的排列数，记作个元素的排列数，记作mnA 注意区别注意区别“一个排列一个排列”与与“排列数排列数”的不同的不同：“一个排列一个排
12、列”是指是指“从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一个元素按照一定的顺序排成一列列”，不是数；，不是数；“排列数排列数”是指是指“从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数个元素的所有排列的个数”，是一个，是一个数因此符号只代表排列数，而不表示具体的排列数因此符号只代表排列数，而不表示具体的排列2排列数公式排列数公式 mnA=n(n-1)(n-2)(n-m+1)*N这里这里m、n 且且mn，这个公式叫做排列数公式它有以下三个特点：，这个公式叫做排列数公式它有以下三个特点：（1）第一个因数是）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少，后
13、面每一个因数比它前面一个因数少1（2）最后一个因数是）最后一个因数是nm1（3）共有）共有m个因数个因数正整数正整数1到到n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n的阶乘，用的阶乘，用n!表示。表示。nnA=n(n-1)(n-2)321当当m=n时时!nnAn)!(!mnnAmn选排列数选排列数1!0 规定31 6A66A46A例例1.计算计算（1）（2）（3）3161615143360A666!7 2 0A466543360A解：（解：（1）（2）（3）)!1)(45423452451mnmn）（！，（）（）！）（！，（）化简：（！）答：（51!20)2(!7)3()!)(4(mn 例例2 2 计算：
14、计算：;)1(316A33601415165678910111256789101112 6！=654321=720;)2(712812AA.)3(66A例3 某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛一次，问一共进行多少场比赛？例4 （1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？注意区分注意区分“本本”与与“种种”场）(1821314214A种）(6034535A种）(12553元素不可重复元素不可重复元素可重复元素可重复练习练习 有5名男生，4名
15、女生排队。（1）从中选出3人排成一排，有多少 种排法？（2）全部排成一排，有多少种排法？（3）排成两排，前排4人，后排5人，有多少种排法？.50478939A99A9949!5AA注：与（注：与（2）同解）同解例4 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？种）(15123233332313AAA即有分类，又有分步即有分类，又有分步例5 用 0 到 9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解法一：对排列方法分步思考。百位十位个位648899181919AAA百位是百位是“特殊
16、位置特殊位置”，特殊位置要特殊（优先）处理。特殊位置要特殊（优先）处理。6488992919AA或解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：百位十位个位A390百位十位个位A290百位十位个位A2964822939AA根据加法原理分析：由0的位置分类：1类：类：0在个位在个位2类：类：0在十位在十位3类：类：0不在个不在个.十位十位0是是“特殊元素特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。，特殊元素要特殊（优先）处理。解法三：间接法.求总数：从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ，A310.648898910A310A29 所求的三位数的个数是 求以0为排头的排列数为 .A2
17、9从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数例例6:5个人站成一排个人站成一排.（l）共有多少种不同的排法？）共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？解：（解：（1）由于没有条件限制，）由于没有条件限制，5个人可作全排列，有个人可作全排列，有（2）由于甲的位置已确定，其余）由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，有人可任意排列，有55
18、A44A（3）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他3人排列有人排列有 44A而甲、乙又有而甲、乙又有 22A根据分步计数原理共有根据分步计数原理共有4242A A48（捆绑法）（捆绑法）（4）甲、乙两人外的其余）甲、乙两人外的其余3人先排有人先排有 33A要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有 24A所以共有所以共有种排法种排法3234AA7 2或用（或用（1）（）（3）（间接法）（间接法）（插空法）（插空法）（5）其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？）其中甲
19、、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？（6）其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？）其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？（5）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余）甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余3人中选人中选2人来站人来站有有,23A剩下的人有剩下的人有33A共有共有2333A A3 6（特殊位置）（特殊位置）或或：甲、乙两人不站排头和排尾，则这两人可从中间：甲、乙两人不站排头和排尾，则这两人可从中间3个位置中选个位置中选2个来站有个来站有,23A剩下的人有剩下的人有33A共有共有2333A A3 6（特殊元素）（特殊元素）（6）甲站排头有）甲站
20、排头有种排法，乙站排尾有种排法，乙站排尾有种排法，但两种情况都包含了种排法，但两种情况都包含了“甲站甲站排头，乙站排尾排头，乙站排尾”的情况，有的情况，有种排法，故共有种排法，故共有44A44A33A543543A2 AA7 8（间接法）（间接法）思考：用直接法如何解？思考：用直接法如何解？例例7解方程解方程3221 0 0 xxAA。解：原方程可化为解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100 x(x-1)x0,x12x-1=25解得解得x=13经检验经检验x=13是原方程的根。是原方程的根。例例8证明：证明：mmm-1n+1nnA=A+m A。证明：右边证明：右边!()!(1)!n
21、nmnmnm!(1)!(1)!nnmnmnm(1)!(1)!nnnm(1)!(1)!nnm1mnA左mnn!A=(n-m)!【演练反馈演练反馈】14辆不同公交车，有辆不同公交车，有4位司机，位司机，4位售票员，每辆车上配一位司机和一位售票员，位售票员，每辆车上配一位司机和一位售票员，问有多少种不同的搭配方案？问有多少种不同的搭配方案？2由数字由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的正整数？可以组成多少个没有重复数字的正整数？320位同学互通一封信，那么通信的次数是多少？位同学互通一封信，那么通信的次数是多少？44445 7 6AA1234566666661956AAAAAA22
22、 03 8 0A4.7人坐两排座位，第一排坐人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐人，第二排坐4人，不同的坐法有多少种？人，不同的坐法有多少种？5、在、在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？生一名冠军，问要举行几场比赛？把两排看作一排来处理把两排看作一排来处理775 0 4 0A996、一条铁路原有、一条铁路原有n个车站，为适应客运需要，新增加了个车站，为适应客运需要，新增加了m个车站，客运个车站，客运车票增加车票增加了了62种，问原有多少个车站，现有多少个车站？种，问原有
23、多少个车站，现有多少个车站？2262nmnAA(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=6 2m(2 n+m-1)=3 1 22,15mn【演练反馈演练反馈】1某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐六节课，如果第某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？6546542504AAA51145444504AA A A认真审题，根据题意分析它属什么数学问题，题目中的事件是什么，有认真审题，根据题意分析它属什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件
24、，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法；无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法；弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置。考弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置。考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考。简化等手段帮助思考。恰当分类，合理分步。恰当分类，合理分步。一个问题是否为排列问题，关键是看与元素的顺序是否有关，在计算中除运用一个问题是否为排列问题，关键是看与元素的顺序是否有关，在计算中除运用排列数公式外，还要结合
25、分类计数原理与分步计数原理排列数公式外，还要结合分类计数原理与分步计数原理看下面的问题：看下面的问题：6个队员排成一列进行操练，其中新队员甲不能站排头，也不能站排尾，问有多个队员排成一列进行操练，其中新队员甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的站法？少种不同的站法？分析：分析：这是一个有限制条件的问题，需要在正确理解题意的前提下，细致地分析这是一个有限制条件的问题，需要在正确理解题意的前提下，细致地分析与考察可能的情况，进行恰当的算法设计与考察可能的情况，进行恰当的算法设计mnA=n(n-1)(n-2)(n-m+1)mnn!A=(n-m)!6个队员排成一列进行操练，其中新队员甲不能站排头
26、，也不能站排尾，问有多少种不同的站法？个队员排成一列进行操练，其中新队员甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的站法？14A55A分析分析1：要使甲不在排头和排尾，可先让甲在中间：要使甲不在排头和排尾，可先让甲在中间4个位置中任选个位置中任选1个位置，有个位置，有种种站法；站法；然后对其余然后对其余5人在另外人在另外5个位置上作全排列有个位置上作全排列有种站法。种站法。根据分步计数原理，共有站法根据分步计数原理，共有站法15454 8 0A A分析分析2：由于甲不站排头和排尾，这两个位置只能在其余：由于甲不站排头和排尾，这两个位置只能在其余5个人中选个人中选2个人站，有个人站，有 种种站法
27、；站法；25A 对于中间的四个位置，对于中间的四个位置，4个人有个人有 种站法。种站法。44A 根据分步计数原理，共有站法根据分步计数原理，共有站法 2454480A A分析分析3：若对甲没有限制条件，共有：若对甲没有限制条件，共有 种站法，这里面包含下面三种情况：（种站法，这里面包含下面三种情况：（1）甲在排头；（甲在排头；（2）甲在排尾；（）甲在排尾；（3）甲不在排头，也不在排尾）甲不在排头，也不在排尾66A 55A55A甲在排头有甲在排头有 种站法；种站法；甲在排尾有甲在排尾有 种站法，种站法，这都不符合题设条件，从总数中减这都不符合题设条件，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有656524 8 0AA 排列问题与元素的位置有关，解排列应用题时应从元排列问题与元素的位置有关，解排列应用题时应从元素或位置出发去分析，结合框图去排列，同时注意分类计素或位置出发去分析，结合框图去排列，同时注意分类计数原理与分步计数原理的运用数原理与分步计数原理的运用
