1、1北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-22-2第一章第一章推理与证明推理与证明3 3 反证法反证法2一、教学目标：一、教学目标：结合已经学过的数学实例，结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法了解间接证明的一种基本方法反证法；反证法；了解反证法的思考过程与特点。了解反证法的思考过程与特点。二、教学重点：二、教学重点：了解反证法的思考过程与了解反证法的思考过程与特点。特点。教学难点：教学难点：正确理解、运用反证法。正确理解、运用反证法。三、教学方法：三、教学方法：探析归纳，讲练结合探析归纳，讲练结合四、教学过程四、教学过程3综合法特点综合法特点：复习复习由因导果由因导果由由已知
2、已知结论结论分析法特点：分析法特点：执果索因执果索因即：即：由由结果结果找条件找条件倒推倒推4思考？思考？A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都都撒谎。则撒谎。则C C必定是在撒谎，为什么？必定是在撒谎，为什么？假设假设C C没有撒谎没有撒谎,则则C C真真;由由A A假假,知知B B真真.那么假设那么假设“C C没有撒谎没有撒谎”不成立不成立;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.那么那么A A假且假且B B假假;这与这与B B假矛盾假矛盾.推出矛盾推出矛盾.推翻假设推翻假设.原命题成立原命题成立.分析分析:由假
3、设由假设5 反证法：反证法：假设原命题不成立，假设原命题不成立，经过正确的推理经过正确的推理,得出矛盾，得出矛盾，因此说明假设错误因此说明假设错误,从而证明原命题成立从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫这样的的证明方法叫反证法反证法反证法的基本步骤：反证法的基本步骤：四步四步得出矛盾的方法：得出矛盾的方法：（1 1）与已知条件矛盾；）与已知条件矛盾；（2 2）与已有公理、定理、定义矛盾；）与已有公理、定理、定义矛盾；（3 3）自相矛盾。）自相矛盾。6应用反证法的情形：应用反证法的情形：(1)(1)直接证明比较困难直接证明比较困难;(2)(2)直接证明需分成很多类直接证明需分成很多类,而对立命
4、题分类较少而对立命题分类较少;（3)3)结论有结论有“至少至少”,“,“至多至多”,“,“有无穷多个有无穷多个”之类字样之类字样（4 4）结论为）结论为“唯一唯一”之类的命题；之类的命题；7例例1、已知已知a a是整数，是整数，2 2能整除能整除2a，求证：，求证：2能整除能整除a.1)22(2144)12(2222mmmmma2a2a证明：假设命题的结论不成立，即证明：假设命题的结论不成立，即“2 2不不能整能整除除a a”。因为因为a a是整数，故是整数，故a a是奇数，是奇数，a a可表示为可表示为2m2m+1 1（m m为整数），则为整数），则，即，即是奇数。所以，是奇数。所以，2 2
5、不不能整除能整除。这与。这与”相矛盾。于是，相矛盾。于是，“2 2不不能整除能整除a a”已知已知“2能整除能整除这个假设错误，故这个假设错误，故2能整除能整除a.8例例2、在同一平面内，两条直线在同一平面内，两条直线a a，b b都和直线都和直线c c垂直。求证：垂直。求证：a a与与b b平行。平行。证明：证明：假设命题的结论不成立，即假设命题的结论不成立，即“直线直线a a与与b b相交相交”。设直线。设直线a a，b b的交点为的交点为M M，a a，c c的交点的交点为为P P，b b，c c的交点为的交点为Q Q，如图所示，则，如图所示，则00PMQ。MPQPQMMPQPMQ000
6、1809090PMQ这样这样的内角和的内角和 。这与定理这与定理“三角形的内角和等于三角形的内角和等于0180”相矛盾，这说明假设是错误的。相矛盾，这说明假设是错误的。所以所以直线直线a a与与b b不相交，即不相交，即a a与与b b平行。平行。9解题反思：解题反思：证明以上题时，你是怎么想到反证法的？证明以上题时，你是怎么想到反证法的？反设时应注意什么？反设时应注意什么？反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？辑矛盾归属哪一类？10例3.已知四面体SABC中，SA底面ABC，ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影求证：H不可能是
7、SBC的垂心ABCHDS解题反思：证明该问题的关键是哪一步？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？11例例4、已知已知a0，证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，证：假设方程ax+b=0(a 0)至少存在两个根，1 12 21 12 2不不妨妨设设其其中中的的两两根根分分别别为为x x，x x 且且x x x x1212则ax=b，ax=b则ax=b，ax=b1212ax=axax=ax1 12 2 a ax x-a ax x=0 01 12 2 a a（x x-x x）=0 012121212 x x，x-x 0 x x，x-x 0 a=0 a=0 与已知a 0矛盾,与已知a 0矛盾,
8、故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。证明：关于证明：关于x的方程的方程ax=b有且只有一个根。有且只有一个根。12 例例5 5、求证：求证：是无理数。是无理数。2 2证：假设 2是有理数，证：假设 2是有理数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2=，n n m=2n m=2n2222 m=2n m=2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m=2 2k k（k kN N）22222222从而有4k=2n，即n=2k从而有4k=2n，即n=2k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这与m，n互质矛盾！这与m，n互质矛盾！所以
9、假设不成立，2是有理数成立。所以假设不成立，2是有理数成立。解题反思：解题反思：本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？13练习：练习：课本课本14P练习练习1 1.归纳总结：归纳总结：1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，具体地讲，当所证命题的结论为当所证命题的结论为否定形式否定形式或或 含有含有“至多至多”、“至少至少”等不确定词，等不确定词，此外，此外，“存在性存在性”、“唯一性唯一性”问题问题.142.2.归谬归谬是是“反证法反证法”的核心步骤，归谬的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形情形.15作业：作业：课本课本15P习题习题1-31-3：（3 3）、（）、（4 4）五、教后反思：五、教后反思：
