1、1.了解直接证明的两种基本方法了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、反证法，了解反证法的思考过程、特点特点.1.分析法是从要证明的结论出发，逐步分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的寻找使结论成立的()AA.充分条件充分条件 B.必要条件必要条件C.充要条件充要条件 D.等价条件等价条件 分析法是执果索因，允许原因能分析法是执果索因，允许原因能推出结论即可，并不一定需要充要条推出结论即可，并不一定需要充要条件，
2、故必须为充分条件件，故必须为充分条件.2.若若a,bR,且且ab，有下列四个式子，有下列四个式子a2+ab2b2;a5+b5a3b2+a2b3;a2+b22(a-b-1);+2.其中一定成立的有其中一定成立的有()ababDA.4个个 B.3个个 C.2个个 D.1个个 因为因为a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20,所以所以a2+b22a-2b-2,一定成立，一定成立，均可找到反例均可找到反例.3.用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形的内角中至少三角形的内角中至少有一个不大于有一个不大于60”时，假设正确的是时，假设正确的是()BA.假设三内角都不大于假设三内角都不大于
3、60B.假设三内角都大于假设三内角都大于60C.假设三内角至多有一个大于假设三内角至多有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于假设三内角至多有两个大于60“至少有一个不大于的否定至少有一个不大于的否定”为为“都大于都大于”.4.设设a=,b=-,c=-,则则a,b,c的大小的大小 关系是关系是 .27362acb 因为因为b=-=,c=-=,所以所以bc，故，故acb.也可用分析法也可用分析法.7347362462222 3625.若若a +b a +b ，则，则a、b应满足的应满足的条件是条件是 .a0,b0,且且ababba 由已知，由已知，a -a +b -b 0,则则a(-)+b(-
4、)0,即即(-)(a-b)0,故故a0，b0，且，且ab.abbaabbaab1.综合法综合法一般的，利用已知条件和某些数学定义、一般的，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法法叫做综合法.用用P表示已知条件、已有的定义、定理、表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：可用框图表示为：PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ2.分析法分析法一般的，从要证明的结论出发，逐
5、步寻求一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件结论归纳为判定一个明显成立的条件(已知条已知条件、定理、定义、公理等件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫这种证明的方法叫做分析法做分析法.用用Q表示要证明的结论，则分析法可用框表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：图表示为：QP1 P1 P2P2 P3 得到一个明显成立的条件得到一个明显成立的条件3.反证法反证法(1)定义：一般的，假设原命题的结论定义：一般的，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，不成立，经过正确的
6、推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法立，这样的证明方法叫做反证法.(2)用反证法导出的矛盾主要有：用反证法导出的矛盾主要有：与假设矛盾；与假设矛盾；与数学公理、定理、定义、公式或与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾；与已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾与公认的简单事实矛盾.4.应用应用在解决问题时，经常把综合法和分析在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论去转化结论，得到中间结论Q；根据结论；根据结论的特
7、点去转化条件，得到中间结论的特点去转化条件，得到中间结论P.若若由由P可以推出可以推出Q成立，就可以证明结论成成立，就可以证明结论成立立.在证明一个问题时，如果不容易从条在证明一个问题时，如果不容易从条件到结论证明时，可采取分析的方法或件到结论证明时，可采取分析的方法或者是间接证明的方法者是间接证明的方法反证法反证法.有时证有时证明一道题需多法并用明一道题需多法并用.例例1 已知点已知点P是直角三角形是直角三角形ABC所在平面所在平面外的一点，外的一点，O是斜边是斜边AB的中点，并且的中点，并且PA=PB=PC，求证：，求证：PO平面平面ABC.要证明要证明PO平面平面ABC，也就是，也就是要
8、证明要证明PO垂直于平面垂直于平面ABC内的两条相内的两条相交直线交直线.连接连接OC,OP，如图所示，如图所示，因为因为AB是是RtABC的斜边，的斜边，O是是AB的中点，的中点，所以所以OA=OB=OC.又因为又因为PA=PB=PC，所以所以POA POB POC,所以所以POA=POB=POC.因为因为POA+POB=180,所以所以POA=POB=90,所以所以POC=90.即即POOA，POOC，所以，所以PO平面平面ABC.综合法证明立体几何问题，以综合法证明立体几何问题，以立体几何的公理、定理、定义为基础，立体几何的公理、定理、定义为基础，以递推的性质为依据进行推理论证，以递推的
9、性质为依据进行推理论证，因此，关键是找到与要证结论相匹配因此，关键是找到与要证结论相匹配的公理、定理、判定定理及其性质的公理、定理、判定定理及其性质.同同时综合法必须保证前提是正确的，推时综合法必须保证前提是正确的，推理形式合乎逻辑，才能保证结论成立理形式合乎逻辑，才能保证结论成立.已知已知a0,b0，且，且a+b=1，试用分，试用分析法证明不等式析法证明不等式(a+)(b+).例例21a1b254 题目条件要求使用分析法证题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明明不等式，只需要注意分析法证明问题的步骤即可问题的步骤即可.要证要证(a+)(b+),只需证只需证ab+,只需证只需证
10、4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,只需证只需证4(ab)2-8ab-25ab+80,只需证只需证4(ab)2-33ab+80,即证即证ab8或或ab ,由由a+b=1,只需证只需证ab ,而由而由1=a+b2 ，所以，所以ab 显然成立，显然成立，所以原不等式所以原不等式(a+)(b+)成立成立.1a1b254254221abab14ab141a1b25414 分析法是从要证明的结论出发，分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件(不一不一定是充要定是充要)，直到最后，把要证明的，直到最后，把要证明的结论归结到判定一个明显成立的条结论归结到判
11、定一个明显成立的条件为止，这种证法也是直接证法中件为止，这种证法也是直接证法中一种常用的方法，特别是当从已知一种常用的方法，特别是当从已知条件推证要证的结论有困难时，往条件推证要证的结论有困难时，往往采用分析法往采用分析法.例例3 已知已知a,b,cR,a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0.利用反证法证明：利用反证法证明：.a0,b0,c0 假设假设a,b,c不同时为正数，不妨先考虑不同时为正数，不妨先考虑a不是正数，从而有不是正数，从而有a=0和和a0矛盾，矛盾，故故a=0不可能不可能;若若a0,所以所以bc0,所以所以b+c-a0,所以所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc0矛盾矛
12、盾,所以所以a0成立成立.同理可知同理可知b0,c0成立成立.所以原命题得证所以原命题得证.反证法证明问题的一般步骤是：反证法证明问题的一般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，反设：假设所要证明的结论不成立，也就是假设在已知条件下，存在与要也就是假设在已知条件下，存在与要证明的结论相反的情形；证明的结论相反的情形；(2)归谬：由归谬：由反设出发，结合已知条件，通过正确反设出发，结合已知条件，通过正确的逻辑推理，推得矛盾；的逻辑推理，推得矛盾；(3)存真：由存真：由所得的矛盾断言反设不真，从而肯定所得的矛盾断言反设不真，从而肯定原命题的正确性原命题的正确性.在在ABC中，三个内角中，三
13、个内角A、B、C的的对边分别为对边分别为a、b、c,若若 +=,试问：试问：A，B，C是是否成等差数列，若不成等差数列，请说否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由；若成等差数列，请给出证明明理由；若成等差数列，请给出证明.1ab1bc1abc A，B，C成等差数列，下面用综合法给出成等差数列，下面用综合法给出证明证明.因为因为 +=,所所 +=3,所以所以 +=1，所以所以c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，所以所以b2=a2+c2-ac.在在ABC中中,由余弦定理由余弦定理,得得cosB=.因为因为0B180，所以，所以B=60，所以所以A+C=2B=120,所以所以A、B、
14、C成等差数列成等差数列.1ab1bc1abcabcababcac1ab1bc2222acbac2acac121.综合法的特点：从综合法的特点：从“已知已知”看看“可知可知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”，其逐步，其逐步推理，实际上寻找它的必要条件推理，实际上寻找它的必要条件.2.分析法的特点：从分析法的特点：从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”，其逐步，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件推理，实际上是寻找它的充分条件.3.反证法的步骤：反证法的步骤：分清命题的条件和结论；分清命题的条件和结论；作出命题结论不成立的假设；作出命题结论不成立的假设；由假设出发，应用正确
15、的推理方法，由假设出发，应用正确的推理方法，推理出矛盾的结果；推理出矛盾的结果；否定假设，从而间接的证明结论否定假设，从而间接的证明结论.学例1 (2009四川卷四川卷)设数列设数列an的前的前n项和项和为为Sn，对任意的正整数，对任意的正整数n，都有，都有an=5Sn+1成成立，记立，记bn=(nN*).(1)求数列求数列an与数列与数列bn的通项公式；的通项公式；41nnaa(2)设数列设数列bn的前的前n项和为项和为Rn.是否存是否存在正整数在正整数k，使得，使得Rk4k成立？若存在，成立？若存在，找出一个正整数找出一个正整数k;若不存在若不存在;请说明理由请说明理由;(3)记记cn=b
16、2n-b2n-1(nN*)，设数列，设数列cn的前的前n项和为项和为Tn，求证：对任意正整数，求证：对任意正整数n，都有都有Tn .23 (1)当当n=1时，时，a1=5a1+1,所以所以a1=-.又又因为因为an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1，所以所以an+1-an=5an+1，即，即an+1=-an.所以数列所以数列an是等比数列，其首项是等比数列，其首项a1=-,公比公比q=-.所以所以an=(-)n(nN*).所以所以bn=(nN*).141414141414()411()4nn (2)不存在正整数不存在正整数k，使得，使得Rk4k成立成立.下证：对下证：对任意的正整数任意的正
17、整数n，都有，都有Rn4n成立成立.由由(1)知知bn=4+.因为因为b2k-1+b2k=8+=8+-=8-8，所以，当所以，当n为偶数时，设为偶数时，设n=2m(mN*)，则，则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2m-1+b2m)8m=4n;当当n为奇数时，设为奇数时，设n=2m-1(mN*),则则Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1 8(m-1)+4=8m-4=4n.所以对一切的正整数所以对一切的正整数n，都有都有Rn4n.所以不存在正整数所以不存在正整数k，使得，使得Rk4k成立成立.5(4)1n215(4)1k25(4)1k5161k20164k15 1640(161)(164)kkk(3)证明：由证明：由(1)知知bn=4+.所以所以cn=b2n-b2n-1=+=.又又b1=3,b2=,所以所以c1=.当当n=1时时,T1 .当当n2时时,Tn +25(+)=+25 +25 =.5(4)1n2541n21541n25 16(161)(164)nnn225 16(16)3 164nnn 225 16(16)nn2516n13343324321163116116n4312111()16161116n4321161116694832本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来立足教育，开创未来
