1、第2 2课时指数函数性质的应用1.能利用指数函数的单调性解不等式、比较大小、求最值.2.掌握指数函数在实际生活中的简单应用,体会指数函数是一类重要的函数模型.指数函数的图象和性质【做一做1】已知a=31.03,b=31.04,则()A.abB.a=bC.abD.ab答案:C【做一做2】已知指数函数f(x)=ax,且f(3)f(2),则a的取值范围是.解析:函数f(x)=ax是指数函数,且f(3)f(2),f(x)在R上是减函数.0a1时,指数函数y=ax是R上的增函数,且当x0时,底数a的值越大,函数图象越“陡”,说明其函数值增长得越快,如图甲所示.当底数0a1时,指数函数y=ax是R上的减函
2、数,且当xb1,当x0时,总有0axbx0时,总有axbx1.若0ba1,当xax1;当x=0时,总有ax=bx=1;当x0时,总有0bxax0,ab0时,axbx;当xb0时,axbx.题型一题型二题型三题型四【例1】比较下列各题中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73;(2)2.3-0.28,0.67-3.1.分析:(1)构造指数函数,利用其单调性比较大小;(2)利用中间值1比较大小.解:(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R上是增函数.又2.53,所以1.72.51.73.(2)(中间量法)由指数函数的性质,知2.
3、3-0.280.670=1,所以2.3-0.280.67-3.1.题型一题型二题型三题型四反思反思比较指数值大小的方法:(1)单调性法:比较同底数幂的大小,可构造指数函数,利用指数函数的单调性比较大小.要注意:明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值;明确指数函数的底数与1的大小关系.如本例(1).(2)中间量法:比较不同底数且不同指数幂的大小,常借助中间值1进行比较.如本例(2).题型一题型二题型三题型四【变式训练1】下列大小关系正确的是()A.0.4330.40B.0.43030.4C.30.40.430D.030.430=1,0.430.40=1,0=1,故0.4300,且a1),求x
4、的取值范围.分析:讨论a的取值得关于x的不等式解不等式得x的取值范围.解:当0a1时,a2x+1ax-5,2x+1x-5,解得x-6.综上所述,当0a1时,x的取值范围是(-,-6.题型一题型二题型三题型四反思反思解关于x的不等式af(x)ag(x)(a0,且a1)时,主要依据指数函数的单调性,它的一般步骤为:题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思反思指数函数y=ax(a1)在R上是增函数,在闭区间s,t上存在最大值、最小值,当x=s时,函数取得最小值as;当x=t时,函数取得最大值at.指数函数y=ax(0a1)在R上是减函数,在闭区间s,t上存在最大值
5、、最小值,当x=s时,函数取得最大值as;当x=t时,函数取得最小值at.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四【例4】某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x(xN*),本利和(本金加上利息)为y元.(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;(2)已知存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.题型一题型二题型三题型四解:(1)已知本金为a元,利率为r,则1期后的本利和为y=a+ar=a(1+r),2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3期后的本利和为y=a(1+r)3,x期后的本利和为y=a(1+r)x,xN*,即本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a(1+r)x,xN*.(2)将a=1 000,r=2.25%,x=5代入上式,得y=1 000(1+2.25%)5=1 0001.022 551 117.68(元),即5期后的本利和约为1 117.68元.反思解指数函数的应用问题时,通常利用归纳法得出函数解析式.
