1、高高三三数学数学 第第 1 页页 共共 12 页页 高高三三数学数学 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 1 15 50 0 分，考试用时分，考试用时 12120 0 分钟。答卷分钟。答卷 前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务 必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利！祝各位考生考试顺利！ 参考参考公式： 柱体的体积公式 ShV
2、 柱体 ，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式 ShV 3 1 锥体 ，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的体积公式 3 3 4 RV 球 ，其中，其中R表示球的半径表示球的半径 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1 1每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案再选涂其他答案标号。标号。 2 2本卷共本卷共 9 9 题，题，每小题每小题 5 5 分，分，共共 4545 分。分。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一、选择题
3、：在每小题给出的四个选项中，只有一一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 （1）已知集合）已知集合2|Axx，2 , 1 , 0 , 1B，则，则BA (A) 1 , 0 , 1 (B) 1 , 0 (C) 1, 0 (D) 2 , 1 , 0 , 1 （2）若数列）若数列 n a是等比数列，其前是等比数列，其前n项和为项和为 n S，且，且 33 3aS ，则公比，则公比q (A) 2 1 (B) 2 1 (C) 1或 2 1 (D) 1或 2 1 （3）已知）已知 2 1 log 3 1 a， 3 1 log 2 1 b， 3 2 log3c，则，则 (A) bac (B) abc (C)
4、 cba (D) acb 高高三三数学数学 第第 2 页页 共共 12 页页 （4）设设0log: 2 xp，12: 1 x q，则则p是是q的的 (A) 充分而不必要条件充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件必要而不充分条件 (C) 充要条件充要条件 (D) 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 （5）若直线）若直线2 xy被圆被圆4)( 22 yax所截的弦长为所截的弦长为22，则实数，则实数a的值为的值为 (A) 0或或4 (B) 1或或3 (C) 1或或3 (D) 2或或6 （6）已知正方体的体积是已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是，则这个正方体的外接球的体积是
5、 (A) 32 (B) 34 (C) 3 34 (D) 38 （7） 将将函数函数xxycos3sin的图像的图像沿沿x轴向右平移轴向右平移)0(mm个单位长度， 所得个单位长度， 所得函数的图像函数的图像关于关于y 轴对称轴对称，则则m的的最小值最小值是是 (A) 12 (B) 12 (C) 6 (D) 6 （8）已知双曲线已知双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的的左顶点与抛物线左顶点与抛物线)0(2 2 ppxy的焦点的距离为的焦点的距离为4，且，且 双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为) 1, 2(，则双曲线
6、的焦距为，则双曲线的焦距为 (A) 22 (B) 32 (C) 4 (D) 52 （9）已知函数）已知函数 0,2 0, 12 )( 2 xxx x xf x ，若函数，若函数mxfxg)()(有三个零点，则实数有三个零点，则实数m的取值范的取值范 围是围是 (A) 0 , (B) , 1 (C) 0,1 (D) 1 , 0 二、二、填空题：本大题共填空题：本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 高高三三数学数学 第第 3 页页 共共 12 页页 （10）若）若i为为虚单位，则虚单位，则复数复数 2 )1 ( 3 i _. （11）某校三个社团的人员分布如下表
7、（每名同学只能参加一个社团）：）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）： 学校要对这三个社团的活动效果进行抽学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查， 按分样调查， 按分 层抽样的方法从社团成员中抽取层抽样的方法从社团成员中抽取30人，人，结果武术社结果武术社 被抽出被抽出12人，则这三个社团人数共有人，则这三个社团人数共有_. （12）已知二项式已知二项式 2 1 ()nx x 的展开式的的展开式的二项式系数二项式系数 之和为之和为32，则展开式中含，则展开式中含x项的系数是项的系数是_. （13）已知实数）已知实数ba,满足条件：满足条件：0ab，且，且1是是 2 a与与
8、 2 b的等比中项，又是的等比中项，又是 a 1 与与 b 1 的等的等差中项，则差中项，则 22 ba ba _. （14）曲线曲线) 1ln3(xxy在点在点），（ 11处的切线方程为处的切线方程为_. （15）已知已知ba,是单位向量，且是单位向量，且0ba，若向量，若向量c满足满足1bac，则，则c的最大值是的最大值是_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 75 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 （16）（本小题满分）（本小题满分15分）分） 在在ABC中，内角中，内角CBA,所对的边分别是所对的边分别是cb
9、a,，已，已知知1a，2b， 4 1 cosC. （）求求c的值；的值； （）求求) 3 2sin( C的值的值. 武术社武术社 摄影社摄影社 围棋社围棋社 高一高一 45 30 a 高二高二 15 10 20 高高三三数学数学 第第 4 页页 共共 12 页页 （17）（本小题满分）（本小题满分15分）分） 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 3 2 和和 4 3 ，且各次射击互相独立，且各次射击互相独立. （）若（）若甲、乙两人各射击甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率次，求至少有一人命中目标的概率； （）（）若甲连续射击若甲连续射
10、击3次，设命中目标次数为次，设命中目标次数为，求命中目标次数，求命中目标次数的分布列及数学期望的分布列及数学期望. 高高三三数学数学 第第 5 页页 共共 12 页页 （18）（本小题满分本小题满分15分分） 四棱锥四棱锥ABCDP中，中，PA平面平面ABCD，四边形，四边形ABCD是矩形，且是矩形，且 2 ABPA，3AD，E是线段是线段BC上的动点，上的动点，F是线段是线段PE的中点的中点. （）求求证：证：PB平面平面ADF； （）若直线若直线DE与平面与平面ADF所成角为所成角为 30， （1）求）求线段线段CE的长的长； （2）求二面角）求二面角AEDP的余弦值的余弦值. F P A
11、 B C D E 高高三三数学数学 第第 6 页页 共共 12 页页 （19）（本小题满分（本小题满分51分）分） 已知已知椭圆椭圆1: 2 2 2 2 b y a x C)0( ba经过点经过点），（ 2 3 1P，离心率，离心率 2 1 e，直线，直线l的方程为的方程为4x. （）（）求椭圆求椭圆C的方程；的方程； （）（）AB是经过右焦点是经过右焦点F的任一弦（不经过点的任一弦（不经过点P），设直线），设直线AB与直线与直线l相交于点相交于点M，记，记 PMPBPA、的斜率分别为的斜率分别为 321 kkk、.问：是否存在常数问：是否存在常数，使得，使得 321 kkk？若存在，求？若存
12、在，求 的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由. （20）（本小题满分）（本小题满分51分）分） 函数函数axxxf ln)(，Ra. （）（）讨论讨论函数函数)(xf的单调区间和极值；的单调区间和极值； （）已知（）已知ex 1 和和 2 x是是函数函数)(xf的两个不同的零点，求的两个不同的零点，求a的值并证明：的值并证明： 2 3 2 ex .（其中（其中e为自然为自然 对数的底数）对数的底数） 高高三三数学数学 第第 7 页页 共共 12 页页 高高三三数学数学 参考答案参考答案 一、选择题 每题 5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C A A A B
13、 D D C 二、填空题 每题 5 分 10. i 2 3 11. 150 12. 10 13. 3 1 14. 34 xy 15. 12 三、解答题三、解答题 16.（本小题满分（本小题满分15分）分） 解：解：（）因为因为Cabbaccos2 222 ；3 分分 且且1a，2b， 4 1 cosC， 解得解得2c；.6 分分 （）因为（）因为1cossin 22 CC, 所以所以 4 15 sinC，.7 分分 8 15 cossin22sinCCC,.9 分分 8 7 1cos22cos 2 CC，11 分分 又又 3 sin2cos 3 cos2sin) 3 2sin( CCC, ,.
14、13 分分 所以所以 16 3715 ) 3 2sin( C. 15 分分 17. （本小题满分（本小题满分51分）分） （）设“设“至少有一人命中目标至少有一人命中目标”为事件为事件A， 4 1 3 2 4 3 3 1 4 3 3 2 )(+=AP4 分分 高高三三数学数学 第第 8 页页 共共 12 页页 12 11 = .6 分分 （或（或设“两设“两人都没命中目标人都没命中目标”为事件为事件B， 12 1 4 1 3 1 )(=BP4 分分 “至少有一人命中目标至少有一人命中目标”为事件为事件A， 12 11 12 1 -1)(=AP6 分）分） （）的取值情况可能为的取值情况可能为
15、0，1,2,3， () 27 1 3 1 3 1 3 1 0=P () 27 6 3 1 3 1 3 2 1 1 3 =CP () 27 12 3 1 3 2 3 2 2 2 3 =CP () 27 8 3 2 3 2 3 2 3=P10 分分 的分布列为的分布列为 0 0 1 1 2 2 3 3 P P 27 1 27 6 27 12 27 8 .13 分分 以以2 27 8 3 27 12 2 27 6 1=+=E 。 15 分分 18.（本小题满分（本小题满分15分）分） 高高三三数学数学 第第 9 页页 共共 12 页页 （）依题意，以点依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），
16、为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得可得)0 , 0 , 0(A,)0 , 0 , 2(B，)0 , 3 , 2(C，)0 , 3 , 0(D，)0 , 2(yE,) 1 , 2 , 1 ( m F，)2 , 0 , 0(P。 向量向量)2, 0 , 2(PB,向量向量)0 , 3 , 0(AD，) 1 , 2 , 1 ( m AF ， 0 ADPB，0 AFPB，2 分分 即即ADPB ,AFPB ,AADAF,4 分分 所以所以PB平面平面ADF.5 分分 （）（）（1）设设),(zyxn为平面为平面ADF的法向量，的法向量， 则则 0 0 nAF nAD 即即 0 2 0 zy m
17、x y , 不妨令不妨令1x，可得，可得) 1, 0 , 1 (n为平面为平面ADF的一个法向量，的一个法向量，7 分分 向量向量)0 , 3, 2(yDE 于是有于是有 DEn DEn DEn cos 2 1 ，9 分分 所以所以 2 1 0) 3(2101 ) 1(0) 3(021 22 y y ，得，得5, 1yy（舍）（舍）.10 分分 )0 , 1 , 2(E，)0 , 3 , 2(C，线段线段CE的长为的长为2；.11 分分 F P A BEC D x y z 高高三三数学数学 第第 10 页页 共共 12 页页 （2）设）设),(zyxn为平面为平面PED的法向量，的法向量，)2
18、, 1 , 2(PE,)2, 3 , 0(PD 则则 0 0 mPD mPE 即即 023 022 zy zyx , 不妨令不妨令2x，可得，可得) 3 , 2 , 2(n为平面为平面ADF的一个法向量，的一个法向量，.12 分分 又又)2 , 0 , 0(AP为平面为平面ADE的一个法向量，的一个法向量，13 分分 所以所以 17 173 cos APn APn APn。15 分分 19.（本小题满分（本小题满分51分）分） （）由（）由 题意可得题意可得 1 4 9 1 2 1 22 222 ba cba a c ，3 分分 得得2a，3b，.5 分分 椭圆椭圆1 34 : 22 yx C
19、；6 分分 （）（）设设),( 11 yxA、),( 22 yxB,直线直线AB为为) 1( xky.7 分分 由由 1 34 ) 1( 22 yx xky ,得得01248)43( 2222 kxkxk，.8 分分 显然显然0，由韦达定理有由韦达定理有: 34 8 2 2 21 k k xx, 34 124 2 2 21 k k xx；.10 分分 因为因为),( 11 yxA、),( 22 yxB、)0 , 1 (F共线，共线， 所以所以 11 2 2 1 1 x y x y k 11 分分 若若 2 2 1 1 21 1 2 3 1 2 3 x y x y kk 高高三三数学数学 第第
20、11 页页 共共 12 页页 ) 11 () 1 1 1 1 ( 2 3 2 2 1 1 21 x y x y xx 1)( 2 2 3 2 2121 21 xxxx xx k12 分分 ) 2 1 (2k, 13 分分 又又 2 1 3 kk，.14 分分 所以所以2。.15 分分 20.（本小题满分（本小题满分51分）分） （）函数（）函数axxxf ln)(定义域为定义域为, 0，1 分分 则则 x ax a x xf 11 )( ，.2 分分 （1）当）当0a时，时，函数函数)(xf是是, 0上的增函数，无极值；上的增函数，无极值；4 分分 （2）当）当0a时，则时，则 a xxf 1
21、 , 0)( ， 所以所以)(xf的单调增区间是的单调增区间是 a 1 , 0；5 分分 单调减区间是单调减区间是 , 1 a ；.6 分分 )(xf在在 a x 1 处取得极大值处取得极大值1 1 ln) 1 ( aa f，无极小值；，无极小值；7 分分 （） 因为因为ex 1 是是函数函数)(xf的零点，的零点， 则则0)(ef，得，得 e e e a 22 1 ；8 分分 所以所以x e xxf 2 1 ln)(；.9 分分 因为因为0 22 3 )( 2 3 e ef，10 分分 高高三三数学数学 第第 12 页页 共共 12 页页 0 22 5 )( 2 2 5 e ef，11 分分 所以所以)( 2 3 ef0)( 2 5 ef，12 分分 由（）知，函数由（）知，函数)(xf在区间在区间,2 e上单调递减，上单调递减，.13 分分 所以函数所以函数)(xf在区间在区间 2 5 2 3 ,ee上有唯一零点，上有唯一零点，.14 分分 因此因此 2 3 2 ex 成立成立15 分分
