1、解析几何之定值、定点问题解析几何中定值定点问题是高考命题中常见的一个考点，也是解析几何中的一个难点，在求解过程中往往会涉及大量的运算，圆锥曲线中的定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明难度较大定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量现就常见的题型做总结如下：一
2、、常考题型及方法总结1、常考题型（1）斜率（倾斜角）为定值（2）角度为定值（3）面积为定值（4）数量积为定值（5）线段长度为定值（6）直线方程定式（7）斜率乘积为定值（8）数量关系为定值（9）定点问题2、处理圆锥曲线中定值问题的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值3、处理圆锥曲线中定点问题的方法(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关二、例题精讲（一）斜率为定值例1、已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2
3、,1)若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由解：方法一：因为椭圆C的离心率为，且过点A(2,1)，所以，解得所以椭圆C的方程为因为PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x2对称设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为k.所以直线PA的方程为y1k(x2)，直线AQ的方程为y1k(x2)设点，由得因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x2是方程的一个根，则，所以同理所以又，所以直线PQ的斜率，所以直线PQ的斜率为定值，该值为.方法二设直线PQ的方程为ykxb，点则，所以，因为PAQ的角
4、平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x2对称，所以，即化简得所以由得则，代入，得整理得所以若，可得方程的一个根为2，不符合题意所以直线PQ的斜率为定值，该值为.变式题1-1过抛物线（0）上一定点0），作两条直线分别交抛物线于，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数证明：因为与的斜率存在且倾斜角互补所以由相减得，故 同理可得， 所以 所以 由相减得， 直线的斜率为非零常数（二）角度为定值例2、在平面直角坐标系中，圆的方程为，为圆上一点若存在一个定圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当在圆上运动时，使得恒为，求圆的方程解：设定圆圆心M，半径为，动点，由题意知，即，由于
5、点P在圆C：(x1)2y24上，所以有对任意都成立，所以，所求圆方程为(x1)2y21变式题2-1.已知双曲线的离心率为,右准线方程为.设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明：的大小为定值.证明：由题意：解得：所以所以双曲线方程为：点在圆上，圆在点处的切线的方程为,化简得由及,得 因为切线与双曲线交于不同的两点且所以，且设两点的坐标分别为则因为,且 所以为定值.（三）面积为定值例3、设是椭圆上的两点，已知向量，,若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点. 试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解：的面积为定值,证明如下：证明：由题意知解得 所以椭圆的方
6、程为 （1）当直线斜率不存在时，即,由得又所以所以所以三角形的面积为定值（2）当直线斜率存在时：设的方程为由得所以由得即 代入整理得：所以 所以三角形的面积为定值.变式题3-1. 已知椭圆C：y21的右顶点为A，上顶点为B.设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值解：由题意知，A(2,0)，B(0,1)，设P(x0，y0)(x00，y00)，则x4y4，所以直线PA的方程为y(x2)，令x0，得yM，从而|BM|1yM1，直线PB的方程为yx1，令y0，得xN，从而|AN|2xN2，所以四边形ABNM的面积S|AN|BM
7、|2，从而四边形ABNM的面积为定值（四）数量积为定值例4.已知圆，一条动直线过点与圆相交于两点，是的中点，与直线相交于,探索是否与直线的倾斜角有关。若无关，请求出其值；若有关，请说明理由解：因为所以当直线与x轴垂直时，易知则所以当直线与x轴不垂直时，设直线方程为：则由得所以所以综上所述：与直线的斜率无关，因此与直线倾斜角也无关且.变式题（五）线段长度为定值例5. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，当运动时，弦长是否为定值？请说明理由解(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且，RQ
8、是线段FP的垂直平分线点Q在线段FP的垂直平分线上，|PQ|QF|，又|PQ|是点Q到直线的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线，其方程为(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线C上点，到轴的距离为，圆的半径，则，因为点M在曲线C上，所以，所以，是定值变式题5-1.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，为定点，若动圆过点，且圆心在抛物线上运动。点是圆与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。解：设圆心，点.因为圆过点，可设圆的方程为：令，得所以所以设抛物线方程为：因为圆心在抛物线上，则所以由此可得，当时，为定值.故存在一条抛物线，
9、使为定值. 5-2.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为与，圆：若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为，证明：点到直线的距离为定值解：（1）得 又由，得 （2）设点，则圆即 又圆由，得直线QT的方程为所以因为在椭圆上，所以所以5-3. (2019沈阳模拟)已知椭圆C：1(ab0)的焦点为F1，F2，离心率为，点P为其上一动点，且三角形PF1F2的面积最大值为，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)若点M，N为C上的两个动点，求常数m，使m时，点O到直线MN的距离为定值，求这个定值解(1)当点P位于短轴的端点时，PF1F2的面积最大，即2cb，则有解得所以椭圆C的方程
10、为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2y1y2m，当直线MN的斜率存在时，设其方程为ykxn，则点O到直线MN的距离d ，联立消去y，得(4k23)x28knx4n2120, 由0得4k2n230，则x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因为d 为常数，则m0，d ，此时12满足0.当MNx轴时，由m0得kOM1，联立消去y，得x2，点O到直线MN的距离d|x|亦成立综上可知，当m0时，点O到直线MN的距离为定值，这个定值是.（六）直线方程为定式例6、已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，直线与椭圆
11、交于两点，直线交于点，试问：当变化时，点是否在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解：设椭圆的方程为：，则所以所以椭圆的方程为：由得：则直线方程为：，直线方程为：由得即 所以当变化时，点恒在定直线上（七）斜率乘积为定值例7. 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆C：的上、下顶点分别为，点在椭圆上且异于点，设直线的斜率分别为.求证：为定值；证明：由题设可知，点.令，则由题设可知. 所以，直线的斜率，的斜率为. 又点P在椭圆上，所以（x00），从而有 变式题7-1.(2019昆明调研)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，P是椭圆C上的点(1)求椭圆C的方程；(
12、2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设，证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值解：(1)由题意知2c4，即c2，则椭圆C的方程为1，因为点P在椭圆C上，所以1，解得a25或a2(舍去)，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2且x1x20，由，得D(x1x2，y1y2)，所以直线AB的斜率kAB，直线OD的斜率kOD，由得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即，所以kABkOD.故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值.7-2.已知椭圆的方程为：，过原点的直线交椭圆于两点，为椭圆上异于的任一点。求证：为定值
13、。证明：设则所以由得所以为定值（八）数量关系为定值例8.已知椭圆：的离心率为，的面积为.设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值证明：由已知得椭圆方程为所以 设椭圆上一点则当时，直线的方程为，令得.从而.直线的方程为.令得.所以所以 当时， 所以综上所述：为定值变式题8-1.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，与共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明：为定值（1）解：设椭圆方程为则直线AB的方程为，代入，化简得.令A（），B），则由与共线，得又，即，所以，故离心率（2）证明：（1）知，所以椭圆可化为设，由已
14、知得 在椭圆上，即由（1）知=0又，代入得故为定值，定值为18-2.过抛物线：（0）的焦点作直线交抛物线于两点，试探究的值是否为定值？解：抛物线：（0）的焦点设直线的方程为：，由得：所以又由抛物线定义得：所以 所以为定值8-3. 设O为坐标原点，动点M在椭圆1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：为定值解：(1)设P(x，y)，易知N(x,0)，(0，y)，又，M，又点M在椭圆上，1，即1.点P的轨迹E的方程为1.(2)证明：当直线l1
15、与x轴重合时，|AB|6，|CD|，.当直线l1与x轴垂直时，|AB|，|CD|6，.当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为yk(x1)(k0)，则直线l2的方程为y(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立直线l1与曲线E的方程，得得(89k2)x218k2x9k2720，可得|AB|，同理可得x3x4，x1x2.则|CD| .综上可得为定值8-4. (2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOM
16、B.解(1)由已知得F(1,0)，直线l的方程为x1.则点A的坐标为或.又M(2,0)，所以直线AM的方程为yx或yx，即xy20或xy20.(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2，直线MA，MB的斜率之和为kMAkMB.由y1kx1k，y2kx2k，得kMAkMB.将yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2.则2kx1x23k(x1x2)4k0.从而kMAkMB0，故MA，
17、MB的倾斜角互补所以OMAOMB.综上，OMAOMB成立小结：圆锥曲线中证明问题，常见位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法（九）定点问题例9. 已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标解(1)由题意得，c，2，a2b2c2，a2，b1，椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：当直线l的
18、斜率存在时，设直线l的方程为ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0，x1x2，x1x2.点B在以线段MN为直径的圆上，0.(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，(k21)k(m1)(m1)20，整理，得5m22m30，解得m或m1(舍去)直线l的方程为ykx.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意故直线l过定点，且该定点的坐标为.小结：圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系
19、，找到定点(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关变式题9-1.如图，已知直线l：ykx1(k0)关于直线yx1对称的直线为l1，直线l，l1与椭圆E：y21分别交于点A，M和A，N，记直线l1的斜率为k1.(1)求kk1的值；(2)当k变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由解：(1)设直线l上任意一点P(x，y)关于直线yx1对称的点为P0(x0，y0)，直线l与直线l1的交点为(0,1)，l：ykx1，l1：yk1x1，k，k1，由1，得yy0xx02，由1，得yy0x0x，由得kk11.(2)由得(4k21)x28kx0，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，xM，yM.同理可得xN，yN.kMN，直线MN：yyMkMN(xxM)，即y，即yxx.当k变化时，直线MN过定点.
