1、中考数学人教版专题复习：圆和概率一. 教学内容：1. 圆的有关性质，与圆有关的位置关系，圆中的计算问题2. 概率初步二. 知识要点：1. 圆的知识结构2. 概率初步知识结构三. 重点难点：本讲重点是圆的性质（同弧所对的圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征）、切线（切线的判定与性质）以及圆中的有关计算、用列表法和树形图法求概率难点是圆的有关知识与所学知识的综合应用【典型例题】例1. （1）已知AB是半圆的直径，D是的中点，B40，则A等于（ ）A60B50C80D70（2）O与O的半径分别为R和R，圆心距OO5，R3当0R2时，O和O的位置关系是（ ）A内含B外切C相交D外离（3）有一个边
2、长为1.5厘米的正六边形，如果要剪一个圆形纸片完全盖在这个图形上，那么这张圆形纸片的最小半径为_厘米 分析：（1）连接AC，AB为O的直径，ACB90，B40，BAC50，的度数是80，又D为的中点，DAC20，BAD70（2）R3，0R2，3RR5OO5，RROO，O与O外离（3）连接OA，作OPAB于点P，则AOP30，在RtAOP中，APAB1.5（厘米），OA2AP2（厘米），圆形纸片的最小半径为厘米解：（1）D（2）D（3）例2. （1）中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动节目，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背
3、面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻），若观众前两次翻牌都获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（ ）ABCD（2）从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽取10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽出，这种事情（ ）A可能发生B不可能发生C很可能发生D必然发生（3）如图所示的两圆盘中，指针停在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ）ABCD分析：（1）由于该观众前面两次翻牌都获得了若干奖金，那么他的第三次翻牌是在剩余的18个商标牌中翻动，其中能获奖的商标牌有三块，因此他第三次翻牌获奖的
4、可能性为（2）由于总共只有12张牌，从中随机抽取10张，每种至少抽取了一张，因此这三色牌都抽到的概率应为100%；（3）可利用画树形图分析由上图可以看出共有25种可能，其中两个圆盘都指向偶数的有6种情形，由此不难求其概率解：（1）C（2）D（3）B例3. 某工厂要选一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20cm，高为40cm的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计），请问：选长、宽分别为多少的矩形铁皮，才能使用料最省？解：应选长为90cm，宽为60cm的矩形，理由如下：设圆锥的高度为h，底面半径为r，则母线a的长60220， n120，根据题意，有两种方案：方案一：如图（2），AB60，BC60
5、，SABCD3600（cm2）方案二：如图（3），AB60，BC90，SABCD5400（cm2）3600（cm2）5400（cm2），应选方案二评析：方案设计问题在生活中常常遇到，最佳方案的选取往往是根据条件进行分析、计算后才能确定在一个图形中剪切扇形，主要从扇形的半径和圆心两方面考虑，圆心的位置一般在顶点和某条边上例4. 某旅游景点的路线如图1所示（由于怕出事故，分散人流），小红随机地选择一条路线，应用图2中的格子，确定小东进入A景点或B景点的概率图1图2分析：通往A景点的道路有2条小道，而在进入小道之前必须先经过大道，而小东从三条大道中随机地选取一条的概率为，再从2条小道随机地选取一条的
6、概率为，因此进入A景区的概率为解：P（A），P（B）评析：（1）进入各景区必须先选择大路，再选择小路，（2）先选择大路的概率为，再选择小路的概率为，因此选择进入A景点的一条道路的概率为例5. 如图所示，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点M，MNAC于点N（1）求证：MN是O的切线；（2）若BAC120，AB2，求图中阴影部分的面积分析：（1）O与BC交于点M，连接过点M的半径OM，只要证明OMMN，就说明MN是O的切线因为MNAC，所以可证OMAC（2）图中阴影部分面积等于梯形AOMN的面积减去扇形OAM的面积解：（1）证明：连接半径OMABAC，BCOBOM，BBMOCBMO，
7、OMACMNAC，OMMNMN是O的切线（2）连接AMABAC，BAC120，B30，AOM60AOM是等边三角形又因为AB2，OAOMAM1，OMA60，在RtAMN中，AMN30，ANAM，MNS梯形ANMO，S扇形OAM，S阴影【方法总结】本节我们主要学习了圆的相关知识和概率问题，所用的数学思想主要有：分类、转化、方程、构造等【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 从一副去掉大王和小王的扑克牌中，抽到小于10而大于5的牌的概率是（ ）A. B. C. D. 3. 袋子里有1个白球，
8、2个红球，5个蓝球，所有球的大小相同，那么摸出（ ）的概率为A. 白球B. 红球C. 蓝球D. 白球或红球4. 小明用一枚均匀的硬币进行试验，前7次掷得的结果都是正面朝上，如果将第8次掷得正面朝上的概率记为P，则（ ）A. PB. PC. PD. 无法确定5. 如图，A、D是O上的两个点，BC是直径，若D35，则OAC的度数是（ ）A. 35B. 55C. 65D. 70*6. 下列五个命题：（1）两个端点能够重合的弧是等弧（2）圆的任意一条弦必定把圆分成劣弧和优弧两部分；（3）经过平面上任意三点可作一个圆；（4）任意一个圆有且只有一个内接三角形；（5）三角形的外心到各顶点距离相等其中真命题有
9、（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个*7. 圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ）A. 30B. 60C. 150D. 30或150*8. 如图所示，在RtABC中，C90，若ACBC4，则ABC的内心I与外心M的距离为（ ）A. B. 2C. 22D. 42二. 填空题1. 判断下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件（1）鸡蛋里挑骨头；_（2）天上掉馅饼；_（3）狗嘴里吐不出象牙_2. 如图，O的半径OA5cm，弦AB8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是_cm3. 如图，AB为O的直径，弦CDAB，E为上一点，若CEA28，则ABD_
10、4. 某天丽丽想去姑姑家玩，姑姑上午8时至11时和下午2时至5时上班，如果丽丽在上午7时至下午7时之间的任意时刻到姑姑家，那么姑姑在家的概率是_5. 将一个含有60角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则ACO_度*6. 3名同学在一起，里面至少有1名女生的概率是_三. 解答题 1. 从某种产品中取出1000件逐个检验，结果统计如下：级别一级品二级品三级品次品产品数800150464如果从这些产品中任意抽一件，那么抽到一级品、二级品、三级品、次品的概率分别约是多少？任意抽一件，抽到非次品的概率是多少？2. 如图所示，PA、PB是半径为1的O的两条切线，点A、B分别为切点，AP
11、B60，OP与弦AB交于点C，与O交于点D（1）在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；（2）求阴影部分的面积（结果保留）3. 已知：如图，AB为O的直径，ABAC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC45（1）求EBC的度数；（2）求证：BDCD*4. 如图所示，两个一模一样的转盘均是一半黄一半红，甲、乙两人利用它们做游戏，同时转动两个转盘，如果两个指针所停区域的颜色相同，则甲获胜；如果两个指针所停区域的颜色不相同，则乙获胜，有人认为甲获胜的情况有两种，即都是红色或都是黄色，而乙获胜的情况只有一种，即一红一黄，因此甲获胜的概率大你怎样看待这个游戏的公平性？*5. 如图，有一个
12、圆O和两个正六边形T1，T2T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求ra及rb的值；（2）求正六边形T1，T2的面积比S1S2的值【试题答案】一. 选择题1. B【相交两圆的圆心距大于两圆半径之差而小于两圆半径之和】2. B【去掉大小王的扑克牌共有52张，其中小于10而大于5的牌共有44张，所以P（抽到小于10而大于5的牌）】3. B【P（摸出红球）】4. A【每次掷得正面朝上的概率都是】5. B【D35，BD35，OCA903555，OACOCA55】6. A【只有（5
13、）正确，（1）必须在同圆或等圆中；（2）直径要除外；（3）三点必须是不在同一条直线上的三点；（4）任意一个圆都有无数个内接三角形】7. D【在圆中，同一弦所对的圆周角有两个】8. D【作CDAB于D，ACBC4，C90，ABC的内心I与外心M在斜边AB的高CD上，内心与外心的距离IMr内BCBD42】二. 填空题1. （1）不可能事件（2）不可能事件（3）必然事件2. 3【圆心O到弦AB的最短距离是点O到线段AB的垂线段的长度，即当OPAB时，OP最短，此时点P平分AB】3. 28【由垂径定理可得，则CEAABD28】4. 【P（姑姑在家）】5. 120【因为BOCB60，所以ACO18060
14、120】6. 【3名同学的性别可能有四种情况：3男、3女、2男1女、1男2女所以P（至少有1名女生）】三. 解答题1. P（抽到一级品）；P（抽到二级品）；P（抽到三级品）；P（抽到非次品）2. （1）ACOBCO，APCBPC，PAOPBO（2）3. （1）AB是O的直径，AEB90又BAC45，ABE45又ABAC，ABCC67.5EBC22.5（2）证明：连结ADAB是O的直径，ADB90ADBC又ABAC，BDCD4. 这个游戏是公平的理由如下：用树形图表示可能出现的结果：因此，P（红，红），P（红，黄），P（黄，红），P（黄，黄）所以甲获胜的概率与乙获胜的概率一样大，游戏是公平的5. 如图所示，OAr，AOB30（1）在RtAOE中，AEOAr，aAC2AEr，所以ra1；在RtAOB中，OB2AB，有OB2OA2AB2，所以ABr，b2AB，所以rb（2）S112SAOE12rrr2，S212SAOB12rr2r2，所以S1S2
