1、2.6对数与对数函数基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习基础知识自主学习一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数，叫做真数.1.对数的概念对数的概念知识梳理xlogaNaN(1)对数的运算法则如果a0，且a1，M0，N0，那么loga(MN)；logaMn (nR).(2)对数的性质 ；logaaN (a0,且a1).(3)对数的换底公式logab (a0，且a1；c0，且c1；b0).2.对数的性质与运算法则对数的性质与运算法则logaNalogaMlogaNlogaMlogaNnlogaMNN3.对数函数的图
2、象与性质对数函数的图象与性质y=logax a10a1时，_;当0 x1时，_当0 x0y0y0增函数减函数R4.反函数反函数指数函数yax与对数函数y 互为反函数，它们的图象关于直线 对称.yxlogax1.换底公式的两个重要结论知识拓展知识拓展(2)loglog.mnaanbbm其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0cd1a0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy).()(3)函数ylog2x及 都是对数函数.()(4)对数函数ylogax
3、(a0且a1)在(0，)上是增函数.()(5)函数y 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.()(6)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第一、四象限.()思考辨析思考辨析13log 3yx 1.(教材改编)(log29)(log34)等于考点自测答案解析(log29)(log34)2log232log324.2.函数f(x)lg(|x|1)的大致图象是 答案解析由函数f(x)lg(|x|1)的定义域为(，1)(1，)，值域为R.又当x1时，函数单调递增，所以只有选项B正确.3.已知 则A.abc B.bacC.acb D.cab答案解析3
4、24log 0.3log 3.4log 3.6155()5abc，3310loglog 0.331()5,5c 由于y5x为增函数，32410loglog 3.4log 3.63555.即 故acb.324log 0.3log 3.4log 3.615()5,54.(2016成都模拟)函数y的定义域为 .答案解析5.(教材改编)若loga 0且a1)，则实数a的取值范围是 .答案解析题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一对数的运算题型一对数的运算例例1(1)已知loga2m，loga3n，则a2mn .答案解析12loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2an22312.答
5、案解析1思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.跟踪训练跟踪训练1(1)若alog43，则2a2a .答案解析22log3log32222aa23log332答案解析1 题型二对数函数的图象及应用题型二对数函数的图象及应用例例2(1)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是A.a1，c1 B.a1,0c1C.0a1 D.0a1,0c1答案
6、解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，0a1，图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个单位后得到的，0c1.(2)(2017合肥月考)当0 x 时，4x1时不满足条件，思维升华(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.跟踪训练跟踪训练2(1)若函数ylogax(a0且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 答案解析由题意ylogax(a0且a1)的图象过
7、(3,1)点，可解得a3.选项A中，y3x()x，显然图象错误；选项B中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项C中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项D中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.(2)(2016新疆乌鲁木齐一诊)设f(x)|ln(x1)|，已知f(a)f(b)(a0 B.ab1C.2ab0 D.2ab1答案解析作出函数f(x)|ln(x1)|的图象如图所示，由f(a)f(b)，得ln(a1)ln(b1)，即abab0.0abab0，显然1a0，ab40，ab0，故选A.几何画板展示 题型三对数函数的性质及应用题型三对数函数的性质及应用
8、命题点命题点1比较对数值的大小比较对数值的大小例例3(2015天津)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为A.abc B.acbC.cab D.cba答案解析由f(x)2|xm|1是偶函数可知m0，所以f(x)2|x|1.所以 0.52log3log 30.5log321212af ，22log 5log 52log 521214bf ，cf(0)2|0|10，所以cab.几何画板展示命题点命题点2解对数不等式解对数不等式例例4(1)若 1时，函数ylogax在定义域内为增函数，所以 l
9、ogaa总成立.当0af(a)，则实数a的取值范围是A.(1,0)(0,1)B.(，1)(1，)C.(1,0)(1，)D.(，1)(0,1)212log()()log()(0),x xf xx x0，由题意可得 或 1220log()log().aaa，解得a1或1a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0,2时，t(x)的最小值为32a，当x0,2时，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax0恒成立.(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.解答t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数
10、.f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1,2时，t(x)的最小值为32a，f(x)的最大值为f(1)loga(3a)，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1.思维升华(1)对数值大小比较的主要方法化同底数后利用函数的单调性；化同真数后利用图象比较；借用中间量(0或1等)进行估值比较.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.跟踪训练跟踪训练3(1)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是A.1,2 B.0,2C.1，)D.0，)答案解析
11、当x1时，21x2，解得x0，所以0 x1；当x1时，1log2x2，解得x，所以x1.综上可知x0.几何画板展示 (2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为A.1,2)B.1,2C.1，)D.2，)答案解析令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，解得1ab0,0c1，则A.logaclogbc B.logcalogcbC.accb答案解析因为0c1，所以lg cb0，所以lg alg b，但不能确定lg a、lg b的正负，所以它们的大小不能确定，所以A错；对C：由yxc在第一象限内是增函数，即可得到acbc，所以C错；对D：由ycx在R
12、上为减函数，得caca B.bacC.abc D.cab答案解析因为20.3201,0log1log3log1，log4cos 100bc，故选C.(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是A.abc B.bacC.cba D.acb答案解析由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：1cba；0a1cb；0ba1c；0cba1.对照选项可知A中关系不可能成立.课时作业课时作业A.(2,3)B.(2,4C.(2,3)(3,4 D.(1,3)(3,6答案解析依题意，有4|x|0，解得4x4；由求交集得函数的定义域为(2,3)
13、(3,4.故选C.12345678910111213123456789101112132.设alog37，b21.1，c0.83.1，则A.bac B.cabC.cba D.acb答案解析alog37，1a2.c0.83.1，0c1.即ca1，所以函数ylogaM为增函数，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，).12345678910111213答案解析18.函数 的最小值为 .答案解析22()loglog(2)f xxx log2x2log2(2x)log2x(1log2x).22()loglog(2)f xxx设tlog2x(tR)，则原函数可以化为1234567891011121312
14、345678910111213答案解析所以loga(1a)0，即1a1，解得a0，此时无解.1234567891011121312345678910111213*10.(2016南昌模拟)关于函数f(x)(x0，xR)有下列命题：函数yf(x)的图象关于y轴对称；在区间(，0)上，函数yf(x)是减函数；函数f(x)的最小值为lg 2；在区间(1，)上，函数f(x)是增函数.其中是真命题的序号为 .答案解析函数f(x)(x0，xR)，显然f(x)f(x)，即函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故正确；可知当x(0,1)时，t(x)0，t(x)单调递增，即在x1处取得最小值为2.由偶函数的图
15、象关于y轴对称及复合函数的单调性可知错误，正确，正确，故答案为.1234567891011121311.已知函数f(x)，若f(a)f(b)0，且0ab1，则ab的取值范围是 .答案解析又0abkg(x)恒成立，求实数k的取值范围.解答令tlog2x，因为x1,4，所以tlog2x0,2，所以(34t)(3t)kt对一切t0,2恒成立，当t0时，kR；综上，实数k的取值范围为(，3).12345678910111213*13.(2017厦门月考)已知函数f(x).(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；解答函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，当x(，1)(1，)时，1234567891011121312345678910111213解答x2,6，0m(x1)(7x)在x2,6上恒成立.令g(x)(x1)(7x)(x3)216，x2,6，由二次函数的性质可知，x2,3时函数g(x)单调递增，x3,6时函数g(x)单调递减，即x2,6时，g(x)ming(6)7，0m7.12345678910111213本课结束
