1、3 3.3 3导数的综合应用导数的综合应用-2-考点1考点2考点3 例1 1设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR R.(1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.思考如何求与函数极值有关的参数范围?-3-考点1考点2考点3-4-考点1考点2考点3-5-考点1考点2考点3-6-考点1考点2考点3解题心得依据题意,对参数分类,分类后相当于增加了一个已知条件,在增加了条件的情况下,对参数的各个范围逐个验证是否符合题意,符合题意的范围即为所求范围.-7-考点1考点2考点3对点训练对点训练1 1设函数f(x)=x2-2x+
2、mln x+1,其中m为常数.(2)若函数f(x)有唯一极值点,求实数m的取值范围.-8-考点1考点2考点3-9-考点1考点2考点3-10-考点1考点2考点3综上,当m0时,函数f(x)有唯一极值点,即f(x)有唯一极值点,故实数m的取值范围为(-,0.-11-考点1考点2考点3例2 2已知函数f(x)=-x3+x2,g(x)=aln x(a0,aR R).(1)求f(x)的极值;(2)若对任意x1,+),使得f(x)+g(x)-x3+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;思考利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么?-12-考点1考点2考点3-13-考点1考点2考点3-14-考点1考点
3、2考点3-15-考点1考点2考点3解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.-16-考点1考点2考点3对点训练对点训练2 2(2017辽宁大连一模)已知函数f(x)=ax-ln x.(1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标;(2)对x1,+),不等式f(x)a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)设切点为M(x0,f(x0),切线方程为y-f(x0)=k(x-x0),又切线过原点O,-ax0+ln x0=-ax
4、0+1,由ln x0=1,解得x0=e,切点的横坐标为e.-17-考点1考点2考点3(2)不等式ax-ln xa(2x-x2)恒成立,等价于a(x2-x)ln x对x1,+)恒成立.设y1=a(x2-x),y2=ln x,由于x1,+),且当a0时,y1y2,故a0.设g(x)=ax2-ax-ln x,当0a1时,g(3)=6a-ln 30不恒成立,当a1,x=1时,g(x)0恒成立;-18-考点1考点2考点3例3 3已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.思考如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?解(1)f(
5、x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.-19-考点1考点2考点3-20-考点1考点2考点3-21-考点1考点2考点3()设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.又当x1时f(x)0,故f(x)不存在两个零点;单调递增.又当x1时f(x)0,故f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+).-22-考点1考点2考点3解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其
6、图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题),进而确定参数的取值范围.-23-考点1考点2考点3对点训练对点训练3 3(2017天津六校联考)设函数f(x)=ln x-ax2-bx.(1)当a=b=时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间1,e2上有唯一实数解,求实数m的取值范围.解:(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+),令f(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去),当0 x0;当x1时,f(x)0,由g(x)e,所以g(x)在区间1,e上是增函数,在区间e,e2上是减函数.-25-考点1考点2考点31 1.利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,先结合不等式的结构特征,直接或等价变形后构造相应的函数,再通过导数运算判断出函数的单调性,利用单调性证明,或利用导数运算来求出函数的最值,利用最值证明.2 2.求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.3 3.研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,一般是通过数形结合的思想找到解题思路,使用的知识是函数的性质,如单调性、极值等.
