1、第一节第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观空间几何体的结构及其三视图和直观图图第九单元第九单元 立体几何立体几何基础梳理基础梳理1.多面体(1)有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(3)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做棱台.2.旋转(1)以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.(2)以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转
2、体体叫做圆锥.(3)以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.3.三视图和直观图(1)三视图是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图的排列顺序:先画正视图,俯视图放在正视图的下方,侧视图放在正视图的右方.(3)三视图的三大原则:长对正、高平齐、宽相等.(4)水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法：在已知图形中,取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x轴和y轴,两轴相交于O,且使xOy=45(或135),用它们确定的平面表示水平面.已知图形中平行于x
3、轴或y轴的线段,在直观图中,分别画成平行于x轴或y轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半.典例分析典例分析题型一题型一 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征【例1】根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180形成的封闭曲面所围成的图形;(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.分析分析 要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手，以柱、锥、台的定
4、义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体.解解 (1)如图1所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱.(2)如图2所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180形成半个圆台,故该几何体为圆台.(3)如图3所示,由梯形ABCD的顶点A引AOCD于O点,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.图1 图2 图3学后反思学后反思 对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进
5、行判断.举一反三举一反三1.观察如图几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出主要结构特征.解析解析 (1)是一个四棱柱和一个四棱锥组成的,它有9个面,9个顶点,16条棱.(2)是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成的,其主要结构特征就是相应四棱台、四棱柱和球的结构特征.题型二题型二 柱、锥、台中的计算问题柱、锥、台中的计算问题【例2】正四棱台的高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台的侧棱长和斜高.分析分析 求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造直角三角形,解决问题.解解 如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 、O,和BC的中点分别是 和E,连接
6、、OB、OE,则四边形 和 都是直角梯形.=4 cm,AB=16 cm,=2 cm,OE=8 cm,=2 cm,OB=8 cm,=19 cm,棱台的侧棱长为19 cm,斜高为 cm.11BC1O1E1OO1E E11O B11O E11OBBO11OEEO11AB11O E11O B22221111B BOOOBO B2211115 13E EOOOEO E5 13学后反思学后反思 （1）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题的常用方法.（2）找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出.举一反三举一反三2.（2009上海）若等腰直角三角形的直
7、角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_.解析解析 如图，等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥.V=Sh=h=2=.13132R132283答案答案 83题型三题型三 三视图与直观图三视图与直观图【例3】螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图.分析分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成的，按照画三视图的三大原则“长对正，高平齐，宽相等”画出.解解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).它的三视图如下图:学后反思学后反
8、思 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出.例如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段AB、侧视图中的线段CD以及俯视图中的圆.举一反三举一反三3.(2008广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所示,A、B、C分别是GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图为 ()解析解析 由正三棱柱的性质得,侧面AED底面EFD,则侧视图必为直角梯形,且线段BE在梯形内部.答案答案 A题型四几何体的直观图题型四几何体的直观图【例4】(12分)用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图.分析分析 画水平
9、放置的直观图应遵循以下原则:(1)坐标系中xOy=45;(2)横线相等,即AB=AB,CD=CD;(3)竖线是原来的 ,即OE=OE.1212画法画法 (1)如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,.3画对应的坐标系xOy,使xOy=45.5(2)以O为中点在x轴上取AB=AB,在y轴上取OE=OE,以E为中点画CDx轴,并使CD=CD10(3)连接BC、DA,所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图2.12 图1 图2 12学后反思学后反思 在原图形中要建立适当的直角坐标系，一般取图形中的某一横线为x轴，对称轴为y轴，或取两垂直的直线为坐标轴，
10、原点可建在图形的某一顶点或对称中心、中点等.坐标系建得不同，但画法规则不变，关键是画出平面图形中相对应的顶点.举一反三举一反三4.如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA=6 cm，OC=2 cm，则原图形是 （）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形解析解析 在直观图中，平行于x轴的边的长度不变，平行于y轴的边的长度变为原来的 ，原图中，OA=6 cm,OD=4 cm，OC=6 cm,BC=AB=6 cm，原图形为菱形.答案答案 C122易错警示易错警示【例】画出如图1所示零件的三视图.错解错解 图1的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,其三视图
11、如图2.图1 图2错解分析错解分析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线.正解正解考点演练考点演练10.（2010潍坊模拟）如图，已知正四棱台ABCD-的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则线段 的长是_.1111ABC D1BC1B解析解析 连接上底面对角线 的中点 和下底面BD的中点O，得棱台的高 ，过点 作 的平行线交BD于点E，连接CE.在BCE中，由BC=2，BE=,CBE=45，利用余弦定理可得CE=，故在Rt 中易得答案答案 11B D1O1OO1OO221021B EC2211014122BC14211.圆台的两底面半径分别为5 cm和
12、10 cm,高为8 cm,有一个过圆台两母线的截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为3 cm和6 cm,求截面面积.解析解析 如图所示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF,，EF,OA,则 为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD的高,在直角梯形 中,（cm），在Rt 中，（cm）,同理,（cm）,1O E1O D1O EFO1O EFO221173EFOOOFO E1O ED22114DEO DO E228AFOAOF212487312 732ABCDScm 梯形12.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 ,母线与轴的夹角是45
13、,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.2cm解析解析 圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm.延长 交 的延长线于S,在RtSOA中,ASO=45,则SAO=45,SO=AO=3x,=x，=2x,又 ,x=7.故圆台的高 =14 cm,母线长=14 cm,两底面半径分别为7 cm,21 cm.1AA1OO111SOAO1OO1=6223922Sxxx轴截面1OOl12OO2第二节第二节 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积基础梳理基础梳理1.柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和.2.把柱体、锥体、
14、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积22S=2,=2;=,=;,.rl Sr rlSrl Sr rlSrr l Srrr lrl圆柱侧柱圆锥侧锥圆台侧台4.柱、锥、台体的体积这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地，圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成:5.球的体积及球的表面积设球的半径为R,222211=r,=r,33Vh Vh Vh rr rr圆柱圆锥圆台324=RS=4 R3V球球，31=,=a,=,V=Sh31=3Vabc VVShVSSSSh长方体正方体柱锥台典例分析典例分析题型一题型一 几何体的表面积问题几何体的表面
15、积问题【例1】已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.分析分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求解所需的几何元素.解解 如图所示,正三棱台ABC-中,O、分别为两底面中心,D、分别为BC和 中点,则 为棱台的斜高.设 =20,AB=30,则OD=5 ,=,由 ,得在直角梯形 中,棱台的高为4 cm.111ABC1O11BC1D1DD11AB11O D310 33=+SSS下侧上2211320+303 DD=20+3024 113DD=3311O ODD2211
16、11O O=DD-4 3ODO D3学后反思学后反思 (1)求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.（2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.举一反三举一反三1.圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍.求两底面的半径与两底面面积之和.解析解析 如图,设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,ASO=30,在RtSOA中,=sin 30,SA=2r.在RtSOA中,=sin 30,SA=4r.SA-SA=AA,即4r-2r=2a,r=a.圆台上底面半径为a,下底面半
17、径为2a,两底面面积之和为 .rSA2rSA222212255SSSrrra25 a题型二题型二 几何体的体积问题几何体的体积问题【例2】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm，8 cm，侧棱长为8 cm，求它的侧面积和体积.分析分析 由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论.解解 如图,设四棱台的侧棱延长后交于点P,则PBC为等腰三角形,取BC中点E,连接PE交 于点 ,则PEBC,E为侧面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上底面于点 ,连接 、OE.在P 和PBC中,为PB的中点,为PE的中点.在RtPEB中,11BC1E1E1O1
18、1O E11BC1114182PBBCPBBC118PBB B1B1E22221644 15PEPBBE112 152E EPE在RtPOE中,1 111111111222212P-ABCDP A B C D1ABCDA B C D2224 1544 1412 14.21=4S4482 1548 152=V11SPOSPO3311224 1484 1442 14333BCC BPOPEOEcmOOPOcmScmVVcm四棱台侧梯形四棱台四棱锥四棱锥四边形四边形学后反思学后反思 （1）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中
19、的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁”.（2）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段.举一反三举一反三2.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且ADE、BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为 .解析解析 如图,分别过A、B作EF的垂线,垂足分别为G、H,连接DG、CH,易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,答案答案 12321221,2
20、2412112121342342423AGDBHCE ADGF BHCAGD BHCSSVVVV 23题型三题型三 组合体的体积和表面积问题组合体的体积和表面积问题【例3】(12分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱锥的外接球的体积.分析分析 易知折叠成的几何体为棱长为1的正四面体,欲求外接球的体积，求其外接球半径即可.解解 由已知条件知,在平面图形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.1所以折叠后得到一个正四面体.方法一:如图，作AF面DEC,垂足为F,F即为DEC的中心3
21、取EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH面AEC,则垂足H为AEC的中心.5外接球半径可利用OHAGFA求得.AG=,AH=AG=，AF=,7322333236133在AFG和AHO中,根据三角形相似可知,.10外接球体积为 .12方法二:如图,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体的外接球就是正方体的外接球.4正四面体棱长为1,正方体棱长为 ,.6外接球直径2R=,10R=,体积为 1233623463AG AHOAAF33446 663348OA22232643466()348学后反思学后反思 (1)折叠问题是高考经常考查的内容之一,解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关
22、系，所成角及距离加以比较.一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系则发生变化;不变量可结合原图形求证，变化量应在折后立体图形中求证.对某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题.（2）由方法二可知，有关柱、锥、台、球的组合体，经常是把正方体、长方体、球作为载体，去求某些量.解决这类问题，首先要把这些载体图形的形状、特点及性质掌握熟练，把问题进行转化，使运算和推理变得更简单，体现了转化思想是立体几何中一个非常重要的思想方法.举一反三举一反三3.已知正四棱锥的底面边
23、长为a,侧棱长为 a.求它的外接球的体积.2解析解析 设外接球的半径为R,球心为O,则OA=OC=OS,所以O为SAC的外心,即SAC的外接圆半径就是外接球的半径,AB=BC=a,AC=a,SA=SC=AC=a,SAC为正三角形.由正弦定理,得2203322 62sinsin603648 6,R3327ACaRaASCaRVa球易错警示易错警示涉及组合体问题，关键是正确地作出截面图形，把立体几何问题转化为平面问题进行解决，解此类问题时往往因不能正确地作出截面图形而导致错误.【例】已知球的内接正方体的体积为V，求球的表面积.错解分析错解分析 过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面，得到一个矩形
24、，矩形的对角线长为 x，不是 x.32错解错解 如图所示，作圆的内接正方形表示正方体的截面，设正方体的棱长为x，球半径为R，则有 =V,x=2R，解得3x232232,422RVSRV球正解正解 如图所示，过正方体的对角面作球的大圆截面，设正方体的棱长为x，球半径为R,则有 =V,x=2R，解得3x332233,4 R3V2RVS球考点演练考点演练10.（2009辽宁）设某几何体的三视图如下（长度单位为m）：求该几何体的体积.解析解析 三视图所对应的立体图形如图所示.由题意可得平面PAC平面ABC，V=432=4().11323m11.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 =8.若侧面 水平
25、放置时，液面恰好过AC、BC、的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为多少？1AA11AAB B11AC11BC解析解析 当侧面 水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形，设ABC的面积为S，则11AAB B34ABFESS 当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有 =Sh，6S=Sh,h=6.故当底面ABC水平放置时，液面高为6.1364VS AAS水V水12.（2009广东改编）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）请画出该安全标识
26、墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积.图1 图2 图3 解析解析 （1）侧视图同正视图，如图2所示.（2）该安全标识墩的体积为2231V406040203320003200064000()P EFGHABCD EFGHVVcm第三节第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理基础梳理1.平面的基本性质名称 图形 文字语言 符号语言公理1如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 公理2经过不在同一条直线上的三个点确定一个平面 A、B、C不共线A、B、C平面且是唯一的 公理3如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公
27、共直线 若P,P,则=a,且Pa,Al Bl ABl 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 若ab,bc,则ac 公理2的推论 推论1 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面 若点A直线a,则A和a确定一个平面 推论2两条相交直线确定一个平面 ab=P 有且只有一个平面,使a,b 推论3两条平行直线确定一个平面 ab 有且只有一个平面,使a,b2.空间直线与直线的位置关系(1)位置关系 相交 共面 共面与否 平行 异面 一个公共点:相交公共点个数 平行 无公共点 异面(2)公理4(平行公理):平行于同一直线的两条直线互相平行.(3)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个
28、角相等或互补.（4）异面直线的夹角定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线aa,bb，我们把两相交直线a、b所成的角叫做异面直线a、b所成的角（或夹角）.范围：（0,.特别地，如果两异面直线所成的角是 ，我们就称这两条直线垂直，记作ab.3.空间中的直线与平面的位置关系 直线在平面内有无数个公共点 直线与平面相交有且只有一个公共点 直线在平面外 直线与平面平行无公共点4.平面与平面的位置关系平行无公共点相交有且只有一条公共直线22典例分析典例分析题型一题型一 点、线、面的位置关系点、线、面的位置关系【例1】下列命题:空间不同三点确定一个平面;有三个公共点的两个平面必重合;空间两两
29、相交的三条直线确定一个平面;三角形是平面图形;平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;垂直于同一直线的两直线平行;一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是_.分析分析 根据公理及推论作判断.解解 由公理2知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题、均错,中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;正确;中平行四边形及梯形由公理2的推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;如图,在正方体ABC
30、D-ABCD中,直线BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错;ABCD,BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错;四边形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错.学后反思学后反思 平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用.举一反三举一反三1.给出下列命题：如果平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点;经过空间任意三点的平面有且只有一个;如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面;不平行的两直线必相交.其中正确命题的序号为_.解析解析 由公理3知，错;由公理2知，错;对;不平行的两直线可能异面，故错.答案
31、答案 题型二题型二 证明三点共线证明三点共线【例2】已知ABC的三个顶点都不在平面内,它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.分析分析 要证明P、Q、R三点共线,只需证明这三点都在ABC所在的平面和平面的交线上即可.证明证明 由已知条件易知,平面与平面ABC相交.设交线为,即=面ABC.PAB,P面ABC.又PAB,P,即P为平面与面ABC的公共点,P.同理可证,点R和Q也在交线 上.故P、Q、R三点共线于.lllll学后反思学后反思 证明多点共线的方法是：以公理3为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则
32、多点共线.或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上.同理，其他的点都在交线上，即多点共线.举一反三举一反三2.如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和GH交于点P,如图所示.求证:点B、D、P在同一条直线上.证明证明 由于直线EF和GH交于点P,PEF,又EF平面ABD,P平面ABD.同理,P平面CBD.P在平面ABD与平面CBD的交线BD上,即B、D、P三点在同一条直线上.题型三题型三 证明点线共面证明点线共面【例3】求证:两两相交
33、且不共点的四条直线在同一平面内.分析分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明.要证明四线共面，先根据公理2的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.证明证明 (1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面,由O平面,A平面,O直线a,A直线a,知直线a平面.同理b平面,c平面,故直线a,b,c,d共面于.(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线ab=
34、M,知直线a和b确定平面.由ac=N,bc=Q,知点N、Q都在平面内,故c.同理可证d,故直线a,b,c,d共面于.由(1)、(2)可知,两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内.学后反思学后反思 证多线共面的方法：（1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其他直线都在这个平面内.（2）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合.举一反三举一反三3.在正方体ABCD-中,E是AB的中点,F是 的中点.求证:E、F、C四点共面.1111ABC D1AA1D证明证明 如图，连接 ,EF,.E是AB的中点,F是 的中点,EF .,EF .
35、故E、F、C四点共面.1AB1CD1AA1AB1CD1AB1CD1D题型四题型四 异面直线及其所成角的问题异面直线及其所成角的问题【例4】(2008全国)已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为 （）A.B.C.D.13233323分析分析 通过作平行线找到AE与SD所成的角，再利用三角形求解.解解 如图，连接AC、BD交于点O，连接OE.因为OESD，所以AEO为所求.设侧棱长与底面边长都等于2，则在AEO中，OE=1，AO=，AE=，于是cosAEO=.故选C.232223123323 1学后反思学后反思 求异面直线所成的角的方法：（
36、1）根据平行线定义，作出异面直线所成的角.（2）证明作出的角是异面直线所成的角.（3）在三角形内求得直线所成角的某个三角函数值.举一反三举一反三4.在四面体A-BCD中，AB=CD，且其所成的角是60，点M，N分别是BC，AD的中点.求直线AB与MN所成的角的大小.解析解析 如图，取BD中点E，连接NE，EM，则EN AB,EM CD,故EMN为等腰三角形，由条件MEN=60，EMN为等边三角形，且ENM即为AB与MN所成的角，ENM=60./12/12题型五题型五 证明三线共点证明三线共点【例5】(12分)已知四面体A-BCD中,E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且
37、 .求证:直线EG、FH、AC相交于同一点P.2BGDHGCHC分析分析 先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证明这一点在AC上.证明E、F分别是AB、AD的中点,EFBD且EF=BD.2又 ,GHBD且GH=BD,EFGH且EFGH,4四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH的延长线相交于一点P,.6EG平面ABC,FH平面ACD,P平面ABC,P平面ACD.8又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10故直线EG、FH、AC相交于同一点P12122BGDHGCHC13学后反思学后反思 证明三线共点的方法:首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直
38、线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.举一反三举一反三5.如图所示,已知空间四边形ABCD,点E,F,G,H,M,N分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点.求证:三线段EG,FH,MN交于一点,且被该点平分.证明证明 如图所示,连接EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH.E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,EFGH,EHFG，四边形EFGH是平行四边形.设EGFH=O,则O平分EG,FH.同理,四边形MFNH是平行四边形.设MNFH=O,则O平分MN,FH.点O,O都平分线段FH,O与O两点重
39、合，MN过EG和FH的交点,即三线段共点且被该点平分.易错警示易错警示【例】过已知直线a外一点P,与直线a上的四个点A、B、C、D分别画四条直线.求证:这四条直线在同一平面内.错解错解 P、A、B三点不共线,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.A、B、C、D均在直线a上,PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.错解分析错解分析 错解在证明了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,通过A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误的.错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合.正解正
40、解 过直线a及点P作一平面,A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在内.直线PA、PB、PC、PD上各有两点在内,由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面内,即四直线共面.考点连接考点连接10.已知a、b为异面直线，则经过直线a,存在唯一平面，使b；经过直线a，若存在平面使ba,则唯一；经过直线a、b外任意一点，存在平面，使a且b.上述命题中，真命题是_.（写出真命题的序号）解析解析 平移b到b，使b、a交于点O，则a与b确定平面为，b，唯一，故正确.a、b为异面直线，故无法确定a是否垂直于b.如图，a平移到a，b平移到b，a、b交于点O，则a、b确定的平面唯一.答案答案 11.（2
41、010滨州质检）已知正方体ABCD-的棱长为a，求异面直线 和 所成的角.1111ABC D11B D1C A解析解析 如图所示，连接 ,异面直线 和 所成角为90.11AC11111111111B DACB DA AACA AA111 1B D面A C A111111B DAC面A C A，C A11B D1C A12.已知直线abc,直线 a=A,b=B,c=C.求证:a、b、c、共面.llll证明证明 如图，ab,a、b可以确定一个平面.又 a=A,b=B,Aa,Bb,A,B,AB;又A,B,.另一方面,bc,b、c可以确定一个平面.同理可证,.平面、均经过直线b、,且b和 是两条相交直
42、线,它们确定的平面是唯一的,平面与是同一个平面,a、b、c、共面.lllllllll第四节第四节 直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质1.平行直线(1)定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.(2)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.(4)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.(5)线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直线平行.2.直线与平面平行(1)定义:直线a和平面没有公共点,
43、叫做直线与平面平行.(2)线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.基础梳理基础梳理(3)面面平行的性质:如果两平面互相平行,那么一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.3.平面与平面平行(1)定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做平行平面.(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(3)判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.(4)线面垂直的性质:如果两平面垂直于同一直线,则这两个平面平行.(5)平行公理:如果两平面平
44、行于同一平面,则这两个平面平行.典例分析典例分析题型一题型一 线线平行线线平行【例1】已知四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.分析分析 若证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可.证明证明 如图,连接BD.EH是ABD的中位线,EHBD,EH=BD.又FG是CBD的中位线,FGBD,FG=BD.FGEH,且FG=EH,四边形EFGH是平行四边形.2121学后反思学后反思 若证明四边形EFGH是平行四边形,可有两条途径：一是证明两组对边分别平行,二是证明一组对边平行且相等.举一反三举一反三1
45、.已知E、分别是正方体ABCD-的棱AD、的中点.求证:BEC=.1111DCBA11DA111B E C1E证明证明 如图,连接 .,E分别为 ,AD的中点,四边形 为平行四边形，四边形 是平行四边形，EB.同理 EC.又 与CEB方向相同，=CEB.1EE1E11DA11/AEAE11AE EA111111/,/A AE EA AB BE EB B11E EBB11E B11EC111C E B111C E B题型二题型二 线面平行线面平行【例2】如图,正方体ABCD-中,侧面对角线 上分别有两点E,F,且 .求证:EF平面ABCD.1111DCBA11,AB BC11B EC F分析分析
46、 要证EF平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.证明证明 方法一:过E作EMAB于M,过F作FNBC于N,连接MN(如图)，则EM ,FN ,EMFN.AE=BF,1BB1BB1111,ABBC B EC FEM=FN,四边形EMNF是平行四边形,EFMN.又EF平面ABCD,MN平面ABCD,EF平面ABCD.111111111,EMAEBFAEFNBBABBCABCCEMFNBBCCBBCC方法二:连接 ,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图).PFB,1B F1111
47、/,BPBCB FC1111111111.,/B FC FFPBFABBC B EC FC FB EAEBFBFEAB EB FEFAPEAFP又EF平面ABCD,AP平面ABCD,EF平面ABCD.方法三:过点E作EH 于点H,连接FH(如图)，则EHAB,EHFH=H,平面EFH平面ABCD.EF平面EFH,EF平面ABCD.1BB11111111111111111111B E.,B E,/./,/.B HB AB BABBC B EC FC FB AC BB HC FFHBCB BC BBCBCFHBC学后反思学后反思 判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点)
48、;(2)利用线面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性质定理(,aa);(4)利用面面平行的性质(,a,a,aa).举一反三举一反三2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,E为PC中点.求证:PA平面EDB.证明证明 如图，连接AC交BD于O,连接EO.四边形ABCD为正方形,O为AC中点.E为PC中点,OE为PAC的中位线,故EOPA.又EO平面EDB,PA平面EDB,PA平面EDB.题型三题型三 面面平行面面平行【例3】如图,正方体ABCD-的棱长为1.求证:平面 平面1111ABC D1ABC11AC D分析分析 要证明平面 平面 ,根据面面平行的判定定
49、理或推论，只要证明AC平面 ，平面 ,且AC =A即可.1ABC11AC D11AC D1AB11AC D1AB证明证明 方法一:四边形 为平行四边形1111111111/AABBAABBAACCBBCCBBCC11AAC C11111111111111111/A C DACA C D/A C DAB/A C DACABAAB C/A C DACACACAC平面平面平面同理平面平面平面方法二:易知 和确定一个 平面 ,于是,1AA1CC1AC11111111111111111111111111ACA C=A CACAC=ACA C/ACA C/AB CAB CA D/AB CA DACAB C
50、AB C/A CACACACACAD平面平面平面平面平面平面平面平面同理平面平面平面平面学后反思学后反思 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明.具体方法有:(1)面面平行的定义;(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.举一反三举一反三3.在正方体ABCD-中,M、N、E、F分别是棱的中点.求证:平面AMN平面EFDB.1
