1、2021届山西省高三上学期八校联考数学（文）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义求解【详解】依题意可得，所以，故选：B.2若，则z=（ ）A1iB1+iCiDi【答案】D【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.【详解】因为，所以.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三
2、个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）A0.35B0.25C0.20D0.15【答案】B【分析】已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为故选：B【点睛】本题主要考古典概型的概率求法，还
3、考查了运算求解的能力，属于基础题.4若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD【答案】D【分析】利用特殊值法可排除AC选项，利用指数函数的单调性可判断B选项的正误，利用幂函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，取，则成立，但，A选项错误；对于B选项，由于函数为上的增函数，由可得，B选项错误；对于C选项，取，则，C选项错误；对于D选项，由于幂函数为上的增函数，由可得，D选项正确.故选：D.5若，则（ ）ABCD【答案】C【分析】先对条件平方得，再根据诱导公式得结果.【详解】故选：C【点睛】本题考查同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6设等差数列的前n项和为，且，则
4、（ ）A9B6C3D0【答案】A【分析】由题可得，再由等差数列的性质即可求出.【详解】因为，所以，从而.故选：A7函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【答案】B【分析】首先根据图象求出函数的解析式，进一步利用函数的图象变换求出结果【详解】由图象知，得，又，得，所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个单位即可.故选：B【点睛】本题考查由三角函数图象求解析式，考查三角函数的图象变换，属于基础题.8斜率为的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则（ ）A12B8C10D6【答案】A【分析】由直线的斜率为可得倾斜角
5、为，数形结合分析可得.【详解】解：因为直线的斜率为，所以倾斜角为，即结合题意作图，由图可得，解得.故选：【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题.9设a0，b0.若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（ ）A8B4C1D【答案】A【分析】根据等比中项可得a+2b=1，利用基本不等式及a+2b=1可求最小值.【详解】由题意可知3=3a32b=3a+2b，即a+2b=1.因为a0，b0，所以(a+2b)=+42+4=8，当且仅当，即a=2b=时取“=”，所以的最小值为8.故选：A【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用及不等式等号成立的条件，属于中档题.10在中，已知，
6、若的面积，则S的值为（ ）A3BC2D【答案】B【分析】根据的面积，结合三角形的面积公式得到，即，再结合，解得，然后由求得其上的高求解.【详解】因为的面积，所以，所以，即，所以，又因为，所以，解得，（舍去），所以设的AB边上的高，则，所以，所以的面积为，故选：B11已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，则C的离心率是（ ）A2BCD【答案】B【分析】不妨设，由已知和双曲线的定义得出，再在和中，利用勾股定理求得和，由此可求得双曲线的离心率得选项【详解】如图，不妨设，则，在中，由勾股定理得，解得在中，故选：B【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的
7、几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量12已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】不等式整理为，构造函数，求导函数判断原函数单调性，再取对数变量分离，再求导函数进而求最值.【详解】由，得，构造函数，则，当时，当时，所以在上单调递增， 得，在上恒成立，设，当时，单调增，当时，单调减，所以故选: A.【点睛】此题为导数运用综合题，关键在于构造恰当的函数，通过其导函数判断单调性，确定最值.二、填空题13
8、已知向量，若，则_【答案】2【分析】先求得的坐标，然后根据求解.【详解】因为向量，所以，又且，所以，解得，故答案为：214函数的图像在点处的切线垂直于直线，则_.【答案】【分析】先求出，再解方程即得解.【详解】因为.所以.因为.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15已知正三棱柱的体积为54，记三棱柱的外接球为球，则外接球的表面积是_【答案】【分析】先求出底面三角形的面积，以及底面外接圆半径，根据体积，得出正三棱柱的高，进而可求出外接球的半径，从而可得出外接球的表面积.【详解】因为正三棱柱的底面积，底面外接圆半径，所以正三棱柱的高，所
9、以外接球的半径，则，故答案为：16无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”若为“和谐递进数列”，为其前n项和，且，则_【答案】4714【分析】根据条件求出数列的前几项，得到数列是以3为周期的数列，从而得到答案.【详解】由题知，所以，同理，因为，所以，故数列是以3为周期的数列，故答案为： 4714【点睛】方法点睛：利用数列的新定义考查数列的周期性.周期数列：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数，都有成立,则称数列是周期为的周期数列；先写出数列的前几项，观察发现规律，找到周期.三、解答题17在中,角所对的边分别为,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）
10、.【解析】试题分析：(1)由余弦定理可得,再利用利用二倍角公式化简求解即可;(2)由余弦定理,结合基本不等式的推理公式求出,再求出,利用三角形的面积公式求解即可.试题解析：(1)在中,由余弦定理可知,由题意知,又在中,=.(2),由可得,面积的最大值为.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，求结果.18如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点（I）证明平
11、面；（II）求四面体的体积.【答案】()证明见解析；().【解析】试题分析：（）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果试题解析：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. （）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为. 取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积. 【解析】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线
12、线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解19根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式参考数据：，回归方程中斜
13、率和截距的最小二乘估计公式分别为，【答案】（1）0.95；答案见解析；（2）；610千克.【分析】（1）根据散点图中的数据分别求得可得，进而求得相关系数，再与0.75比较下结论.（2）结合（1）中的数据，分别求得，写出回归方程，然后将代入求解.【详解】（1）由已知数据可得，所以，所以相关系数因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系（2），所以回归方程为当时，即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为610千克20已知函数，（1）当时，求的最小值；（2）若恒成立，求实数a取值的集合【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用导数直接求出函数的单调区间，即可求出的最小值（2）利用
14、最值分析法，对进行求导，得到，然后，对进行分类讨论，分为和时，分别求出当恒成立实数a取值的范围即可【详解】解：（1）定义域为，当时，因此在上单调递减；当时，因此在上单调递增故（2）由已知，有当时，与条件矛盾；当时，若，则，单调递减，若，则，则单调递增所以在上有最小值，由题意，所以令，所以当时，单调递增；当，单调递减所以在上有最大值，所以，故，综上，当时，实数a的取值的集合为【点睛】关键点睛：解题的关键在于得到，然后，对进行分类讨论，尤其当时，最小值，然后，由题意，所以，然后，令，再利用导数求出的最大值，进而求解，进而求出的取值范围，属于难题21已知椭圆经过点，且两个焦点为，（1）求C的方程；（
15、2）设圆，若直线l与椭圆C，圆D都相切，切点分别为A和B，求的最大值【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）由题可得，再代入点可得，即可求出；（2）设，联立直线与椭圆，利用可得，由l与圆D相切可得，进而可得，再利用基本不等式可求出.【详解】（1）由题意，所以，C的方程可化为因为C经过点，所以，解得或（舍去）所以，于是C的方程为（2）设，代入，得由，得，设，则，因为l与圆D相切，所以圆心D到l距离为，即，由得，所以圆D的切线长因为，当时取等号，因为，所以的最大值为1【点睛】关键点睛：本题考查椭圆中的最值问题，解题的关键是根据直线与椭圆、圆相切得出， ，进而表示出.22在直角坐标系xOy中，曲线的
16、参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，直线与曲线，在第一象限分别交于点B，C，求面积的最大值【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）先消去参数求出普通方程，再代入，可求出的极坐标方程，代入，可求得的直角坐标方程；（2）联立直线与，可得，可得，由此可求出最值.【详解】（1）已知曲线的参数方程为（为参数），即，由，得，两边同除，得曲线的极坐标方程为曲线，两边同乘，得，化为直角坐标方程为（2）将直线与曲线和联立可得，当时取到最大值为1【点睛】关键点睛：本题解题的关键是正确理解极坐标的意义，将面积化为，利用三角函数的性质求解.23设函数.（1）证明：.（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析 ；（2） .【分析】（1）利用绝对值不等式得出，再由基本不等式即可证明；（2）由题可得恒成立，则可得，解出即可.【详解】（1）证明：因为，所以，所以.因为，当且仅当，即时等号成立，所以.（2）解：因为，所以当时，即恒成立，所以，解得.综上，的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值不等式问题，解题的关键是正确根据范围去绝对值进行求解.
