1、第十四章统计14.4用样本估计总体14.4.2用样本估计总体的离散程度参数在学习运用样本估计总体的过程中，要通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本数据具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定的偏差但是，如果抽样的方法比较合理，样本信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据由此使学生认识统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异课程目标学科素养1.理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差.2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征.3.体会用样本估计总体的思想在学习和应用标准差、方差和极差的过程
2、中，要进行运算，对数据进行分析，发展学生的数学运算素养和数据分析素养.1.教学重点：理解样本数据方差、标准差的意义，会计算方差、标准差.2.教学难点：会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征.多媒体调试、讲义分发。甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5.经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环.问题若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？提示不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定.知识点一极差1定
3、义：一组数据的最大值与最小值的差2作用：极差较大，数据点较分散；极差较小，数据点较集中知识点二方差、标准差1方差：设一组样本数据x1，x2，xn，其平均数为，则称s2(xi)2为这个样本的方差，简称样本方差2标准差：方差的算术平方根s为样本的标准差，简称样本标准差3标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近s0时，每一组样本数据均为.一、方差、标准差的计算例1(1)设样本数据x1，x2，x10的平均数和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1,2，10)，则y1，y2，y10的平均数和方差分别为_答案1a,4解析1，yixia，所以y1，y2，y10的平均数为1a，方差不变仍为4.
4、(2)从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.试计算甲、乙两组数据的方差和标准差解甲(25414037221419392142)30，s(2530)2(4130)2(4230)2104.2，s甲10.208.乙(27164427441640401640)31，同理s128.8，s乙11.349.反思感悟方差的计算方法(1)s2(xxx)n2；s2(xxx)2.(2)用定义的公式计算方差的一般步骤先求出样本平均数；再计算一组差：xi(i1,2，n)；计算中差的
5、平方，得到一组新的数据：(x1)2，(x2)2，(xn)2；计算中这组新数据的平均数，即为所求的方差s2，即s2(xi)2.跟踪训练1已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？解方法一3，x4.由方差公式得，s2(13)2(33)2(23)2(53)2(43)22，s.方法二3，x4，由方差公式的变形公式得，s2(1232225242)322，s.二、方差的性质例2设数据x1，x2，xn的方差为s2，求下列各组数据的方差(1)x1b，x2b，xnb；(2)ax1，ax2，axn；(3)ax1b，ax2b，axnb. 解设数据x1，x2，xn的平均数为，则数据x
6、1b，x2b，xnb的平均数为b，数据ax1，ax2，axn的平均数为a，数据ax1b，ax2b，axnb的平均数为ab，设数据x1b，x2b，xnb的方差为s，数据ax1，ax2，axn的方差为s，数据ax1b，ax2b，axnb的方差为s.(1)s(x1bb)2(x2bb)2(xnbb)2(x1)2(x2)2(xn)2s2.(2)s(ax1a)2(ax2a)2(axna)2a2(x1)2(x2)2(xn)2a2s2.(3)s(ax1bab)2(ax2bab)2(axnbab)2(ax1a)2(ax2a)2(axna)2a2s2.反思感悟方差的性质(1)数据x1，x2，xn与数据x1b，x2
7、b，xnb的方差相等(2)若x1，x2，xn的方差为s2，则ax1，ax2，axn的方差为a2s2.(3)若x1，x2，xn的方差为s2，则ax1b，ax2b，axnb的方差为a2s2.利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差跟踪训练2(1)已知一组数据x1，x2，x8的平均数是2，方差为6，则数据x11，x21，xn1的平均数是_，方差是_(2)已知一组数据x1，x2，xn的平均数是2，方差是4，则数据2x13,2x23，2xn3的平均数是_，方差是_答案(1)16(2)116三、方差、标准差的应用例3甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别为：甲：8,6,7,8,6,5,
8、9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数；(2)分别求出两组数据的方差和标准差；(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？(4)估计两名战士射击环数落在区间(s，s)内的百分比是多少解(1)甲(86786591047)7，乙(6778678795)7.(2)由方差公式s2(x1)2(x2)2(xn)2，得s3，s1.2.故s甲1.7，s乙1.1.(3)甲乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当又ss，说明甲战士射击情况波动大因此，乙战士比甲战士射击情况稳定从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛(4)对
9、于甲，样本数据落在(s，s)，即(5.3,8.7)内的有6个，占60%.对于乙，样本数据落在(s，s)，即(5.9,8.1)内的有8个，占80%.反思感悟在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，越稳定跟踪训练3某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：甲：10210199981039899乙：110115908575115110试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方
10、差，并说明哪个车间产品比较稳定解甲(10210199981039899)100；乙(110115908575115110)100；s(102100)2(101100)2(99100)2(98100)2(103100)2(98100)2(99100)2(4114941)3.43；s(110100)2(115100)2(90100)2(85100)2(75100)2(115100)2(110100)2(100225100225625225100)228.57.所以ss，故甲车间产品较稳定1下列说法正确的是()A在两组数据中，平均数较大的一组方差较大B平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数
11、的波动大小C方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和D在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高答案B解析A中平均数和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C中求和后还需取平均数；D中方差越大，射击越不平稳，水平越低2已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是()A0.1 B0.3 C0.5 D0.7答案A解析5个数的平均数5.1，所以它们的方差s2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.3甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示，则选择决赛的最佳人选应是()甲乙丙丁7887s26.36.378.7A.甲 B乙 C丙 D丁答案B解析乙丙甲丁，且sss2C.4，s24，s22答案C解析根据题意有4，而s22.5样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为_答案2解析由题意知(a0123)1，解得a1，所以样本方差为s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.标准差的平方s2称为方差，两者都可以测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.
