1、一、选择题1已知，则下列关于的零点的判断正确的是（ ）A当时，有4个零点，当时，有1个零点；B当时，有3个零点，当时，有2个零点；C无论a为何值，均有2个零点；D无论a为何值，均有4个零点2统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有（约2.16）倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的（，）（ ）Al8倍B21倍C24倍D27倍3函数对于任意实数，都与成立，并且当时，.则方程的根的个数是（）ABCD4若，则等于（ ）ABCD5已知，则
2、（ ）ABCD6已知，若正实数满足，则的取值范围为（ ）AB或C或D7已知函数，且，则（ ）ABCD8已知函数的定义域为，且满足，且，如果对任意的、，都有，那么不等式的解集为（ ）ABCD9已知偶函数在 上是增函数，且，则不等式 的解集是（ ）ABCD10设集合A=2，1-a，a2-a+2，若4A，则a=（）A-3或-1或2B-3或-1C-3或2D-1或211已知，则（ ）ABCD12已知集合，则等于（ ）ABCD二、填空题13已知函数，若函数与轴有个交点，则实数的取值范围是_14已知函数，若关于方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是_15已知，试用的式子表示_16若，则_.（用表示）1
3、7已知函数对于任意实数满足条件，若 ，则 _.18函数y=ax(a0且a1)在1,2上的最大值比最小值大，则a=_.19已知集合,则_.20已知集合A=x|x2，B=x|xm|1，若AB=B，则实数m的取值范围是_三、解答题21对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.（1）二次函数（且）.若，有恒成立，求的取值范围；判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.22已知二次函数.(1)若是的两个不同零点,是否存在实数,使成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.(2)设,函数,存在个零点.(i)求的取值范围;(ii)设分别是这个零点
4、中的最小值与最大值,求的最大值.23已知函数.（1）若为偶函数，求实数的值；（2）若在，为大于0的常数)上恒成立，求实数的最小值.24已知函数其中a0且a1.（1）当时，求f(x)的值域；（2）函数y=f(x)能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；（3）在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围.25已知函数（为实常数）.（1）当时，试判断函数在上的单调性，并用定义证明；（2）设，若不等式在有解，求实数的取值范围.26已知函数的定义域为集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一
5、、选择题1A解析：A【分析】按和分类讨论的零点个数，即确定的解的个数，可得正确选项【详解】时，是增函数，此时对任意均有一解时，若，是增函数，此时在时有一解，时无解，若，是减函数，此时在时有一解，时无解，由得，设，则时，的解为和，因此有两解，有两解，共4解时，只有一解，只有一解，函数在时，有4个零点，当时，有1个零点故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点，解题方法是转化与化归思想，转化为方程的解通过换元法，先求得的解，若是其解，再求的解，从而得出结论2D解析：D【分析】根据已知条件可构造出函数关系式，进而得到，根据对数运算法则可解方程求得近似值.【详解】由题意可知，看到图形面积大小与图形
6、实际面积之间满足若看到全国面积约为某县面积的倍，则，解得： 故选：【点睛】本题考查利用函数模型求解实际问题，关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合对数运算性质求得结果.3A解析：A【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程的根的个数.【详解】对任意实数x都有f（x+2）f1+（1+x）f1（1+x）f（x），由于f（x）为偶函数，f（x）f（x）f（x+2）f（x）函数f（x）是以2为周期的周期函数，且值域为方程的根的个数即函数图象与直线的交点个数，当时，当时，函数图象与直线无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个故选A【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期
7、性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档4C解析：C【分析】利用对数的换底公式可将用、表示.【详解】根据对数的换底公式得，故选：C【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中是题目的一个难点和易错点.5B解析：B【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果【详解】因为，故选：B【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答6C解析：C【分析】先判断是上的增函数，原不等式等价于，分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可.【详解】因为与都
8、是上的增函数，所以是上的增函数，又因为所以等价于，由，知,当时，在上单调递减，故，从而；当时，在上单调递增，故，从而，综上所述， 的取值范围是或，故选C.【点睛】解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性若函数为增函数，则；若函数为减函数，则7A解析：A【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解【详解】由函数单调性性质得：，在R上单调递增所以在R上单调递增，令函数， 则函数为奇函数，且在R上单调递增，故故选:A【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.8B解析：B【分析】计算出，并由可得出函数在上为减函数，再由，可得出，再由函数在上的单调性可得出，
9、解出该不等式即可.【详解】由于对任意的实数、，且.令，可得，且，解得.令，则，.设，则，由，得.所以，函数在上为减函数，由，可得.所以，即，解得.因此，不等式的解集为.故选B.【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9B解析：B【详解】由在上是增函数，且当时，的解集；当时为减函数，的解集综上的解集，所以满足故选：B10C解析：C【解析】若1a=4，则a=3，a2a+2=14，A=2,4,14；若a2a+2=4，则a=2或a=1，检验集合元素的互异性：a=2时，1a=1，
10、A=2,1,4；a=1时,1a=2(舍)，本题选择C选项.11A解析：A【解析】【分析】先化简集合M，N，再计算MN即可【详解】由已知易得MR，NyR|y0，MN(0，+）故选A【点睛】本题主要考查了集合的交运算，化简计算即可，比较简单12D解析：D【分析】首先求得集合B，然后进行交集运算即可.【详解】由题意可得：，则.故选D.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13【分析】先将函数与轴有个交点转化成与的交点问题再作出分段函数的图像利用数形结合求得范围即可【详解】依题意函数与轴有个交点即与有3个交点作分段函数的图像如下由图
11、可知的取值范围为故答案为：【点睛】方法点解析：【分析】先将函数与轴有个交点，转化成与的交点问题，再作出分段函数的图像，利用数形结合求得范围即可.【详解】依题意，函数与轴有个交点， 即与有3个交点，作分段函数的图像如下，由图可知，的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.14【分析】作出函数
12、图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点数形结合即可得解【详解】作出函数的图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点由图可得：【点睛】此题考解析：.【分析】作出函数图象，关于方程有三个不相等的实数根，即图象与直线有三个不同的公共点，数形结合即可得解.【详解】作出函数的图象，关于方程有三个不相等的实数根，即图象与直线有三个不同的公共点由图可得：【点睛】此题考查方程的根的问题，根据函数图象，数形结合求解，需要熟练掌握常见基本初等函数的图象和性质，准确作出函数图象求解.15【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案【详解】解：根据换底公式和对数的
13、运算性质得：故答案为：【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得再结合对数运算性质化简即可得答案解析：【分析】根据换底公式和对数运算性质得运算化简即可得答案.【详解】解：根据换底公式和对数的运算性质得：.故答案为：.【点睛】解本题的关键在于根据换底公式得，再结合对数运算性质化简即可得答案.16【分析】利用换底公式化简即可【详解】设则故故答案为：【点睛】本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用属于中档题解析：【分析】利用换底公式化简即可.【详解】设,则,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了指对数的互化以及换底公式的运用,属于中档题.173【分析】根据题意求得函数的周期性得出函数的周期然后利用函数
14、的周期和的值即可求解得到答案【详解】由题意函数对任意实数满足条件则即函数是以4为周期的周期函数又由令则即所以【点睛】本题主要考查了抽象函数解析：3【分析】根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和的值，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数对任意实数满足条件，则，即函数是以4为周期的周期函数，又由，令，则，即，所以【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18或【分析】由题意按照分类结合指数函数的性质可得方程即可得解【详解】当时是增函数则解得或（舍去
15、）；当时是减函数则解得或（舍去）；综上或故答案为：或【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题底数为参数时解析：或【分析】由题意按照、分类，结合指数函数的性质可得方程，即可得解.【详解】当时，是增函数，则，解得或（舍去）；当时，是减函数，则，解得或（舍去）；综上，或故答案为：或【点睛】关键点点睛：涉及指数函数单调性问题，底数为参数时，一般都要分类讨论，分底数大于1与底数大于0小于1两种情况解决.本题考查了指数函数单调性的应用，考查了运算求解能力及分类讨论思想.19【分析】分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合和再根据交集的定义求出【详解】集合故答案为【点睛】本题考查集合的交集的运算解
16、题时要认真审题注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用是基础题解析：.【分析】分别根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合和，再根据交集的定义求出.【详解】集合，故答案为【点睛】本题考查集合的交集的运算，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用，是基础题.203+）【分析】先求出集合再利用交集定义和不等式性质求解【详解】集合解得实数m的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题注意不等式性质的合理运用是基础题解析：3，+）【分析】先求出集合，再利用交集定义和不等式性质求解【详解】集合，解得，实数m的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查实数的取
17、值范围的求法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用，是基础题.三、解答题21（1）；不是“局部奇函数”，答案见解析；（2）.【分析】（1）由可得；由且结合参变量分离法可得出，利用基本不等式求得的最大值，由此可得出实数的取值范围；利用“局部奇函数”的定义得出，判断该方程是否有解即可得出结论；（2）利用“局部奇函数”的定义可得出，换元，求得函数在区间上的值域，由此可解得实数的取值范围.【详解】（1）由题意可得，解得；当时，由，可得，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，.综上所述，实数的取值范围是；若函数为局部奇函数，则存在使得，即，可得出，则等式不成立.因此，函数不是“局部奇函数”；
18、（2）为“局部奇函数”，则存在使得，即，可得，可得出，令，当且仅当时，等号成立，则，由于函数和在上都为增函数，所以，函数在上为增函数，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】求解二次方程在区间上有解的问题，一般利用分类讨论法与参变量分离法求解，利用分类讨论法求解时要分析二次函数的对称轴与定义域的位置关系，结合端点函数值符号以及判别式求解，本题利用参变量分离法得出的取值范围即为函数在区间上值域问题，极大地简化了分析步骤.22(1) 不存在.理由见解析；(2) (i) (ii) 【分析】(1) .假设存在实数满足题意，由韦达定理可得：，解得,又，即，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数的图象，
19、观察图像即可求出的取值范围;(ii)设直线与此图象的最左边和最右边的交点分别为.即，因为，代入运算可得解.【详解】解:(1)依题意可知,.假设存在实数,使成立.因为有两个不同零点，.所以,解得.由韦达定理得所以解得,而,故不存在.(2)因为,设,则,当时,;当时,.(i)作出函数的图象，如图所示,所以. (ii)设直线与此图象的最左边和最右边的交点分别为.由,得由,得所以因为，所以当时，取得最大值.故的最大值为.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点之间的关系，重点考查了重要不等式及数形结合的数学思想方法，属中档题.23（1）；（2）当时，的最小值为4，当时，的最小值为.【分析】（1）根
20、据函数是偶函数，利用偶函数的定义求解.（2）将，转化为，令，构造函数，利用二次函数的性质求得其最大值即可.【详解】（1）为偶函数，即，对任意的恒成立，.（2）由，可得，即，令，当时，对称轴，则（2），当时，对称轴，则，故当时，的最小值为4，当时，的最小值为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的和不等式恒成立的问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.24（1）的值域为，；（2）能，的取值集合为；（3）.【分析】（1）由二次函数和指数函数的值域求法，可得的值域；（2）讨论，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求范围；（3）讨论的范围和的范围，结合参数分离和对勾函数的单
21、调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围【详解】（1）当时，对称轴为，可得的最小值为，的最大值为0；当时，；综上的值域为，；（2）当时，函数在，递增，故二次函数在，也要递增，故只有符合要求；当时，函数在，递减，故二次函数在，也要递减，无解综上，的取值集合为；（3）当，时，恒成立，即有，即，由，令，可得，当且仅当时，取得等号，可得；当，时，当时，即有，求得，故；当时，成立，综上可得的范围为【点睛】本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题25（1）增函数；证明见解析；（2）当时，;当时， 【分析】（1）用函数单调性的定义进
22、行证明得解；（2）参变分离得到，再换元转化为二次函数求最值得解.【详解】（1）为上的增函数证明如下：任取，且则所以；所以为上的增函数（2）由，得令，则有解，当且仅当当即时，当即时，综上， 当时，.当时， 【点睛】函数不等式恒成立问题通常转化为函数最值问题，注意对参数进行讨论.26（1）（2）（3）【分析】（1）计算得到，求并集得到答案.（2）讨论和两种情况，分别计算到答案.（3）讨论和两种情况，分别计算到答案.【详解】（1）由，解得，当时，所以.（2）当时，符合.当时，根据得，解得.综上所述，的取值范围是.（3）当时，符合.当时，或，解得.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题考查了集合的并集，根据集合包含关系求参数，根据交集结果求参数，意在考查学生对于集合运算的综合应用.
