1、一、选择题1形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为Fn数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，请你估算F5是（ ）位数(参考数据：lg20.3010).A8B9C10D112已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）.ABCD3已知函数，则，的大小关系为（ ）ABCD4我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）ABCD5已知函数，则（ ）ABC7D6
2、一种放射性元素最初的质量为，按每年衰减则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到，已知，）ABCD7已知实数，则、的大小关系是（ ）ABCD85G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，在不改变的情况下，将信噪比从1999提升至，使得大约增加了20%，则的值约为（参考数据：，）（ ）A7596B9119C11584D144699已知函数，则f(x)是（ ）A非奇非偶函数，且在(0，
3、+)上单调递增B奇函数，且在R上单调递增C非奇非偶函数，且在(0，+)上单调递减D偶函数，且在R上单调递减10已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为（ ）AB2CD11设是奇函数，则使f(x)0,且)，一定有函数的图象恒在轴上方.其中正确结论的序号为_.三、解答题21计算下列各式的值：（1）（2）22（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；（2）已知，求函数的最大值和最小值.23已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0，且a1.（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性，并予以证明；（3）当a1时，求使f(x)0的x的取值范围.24已知函数
4、，且.（1）求函数的表达式；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由.25已知函数（且）.（1）判断函数的奇偶性并说明理由；（2）当时，判断函数在上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.26已知函数的图象关于原点对称，其中.（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】根据所给定义表示出，进而即可判断出其位数【详解】根据题意，因为，所以的位数是10故选：C【点睛】关键点睛：解答本题的关键是转化成对数运算，即
5、.2C解析：C【分析】由解得结果即可得解.【详解】因为是上的减函数，所以，解得.故选：C【点睛】易错点点睛：容易忽视两段交界点处函数值的大小关系.3D解析：D【分析】先判断出在R上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出，的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】恒成立，定义域为R，其中单调递增，则单调递减，.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出在R上单调递减，进而可利用单调性比较.4A解析：A【分析】分析函数的奇偶性，结合可得出合适的选项.【详解】令，该函数的定义域为，函数为偶函数，排除B、D选项；又，排除C选项.故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从
6、以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.5B解析：B【分析】先利用解析式计算，再计算和式即可得到结果.【详解】因为，所以，.故.故选：B.【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算，再配对求和即解决问题.6B解析：B【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期.【详解】设放射性元素的半衰期为年，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故选：B.【点睛】思路点睛
7、：求解和对数有关的实际问题的思路：（1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.7D解析：D【分析】本题首先可根据以及得出，然后根据以及得出，即可得出结果.【详解】因为，函数在上是增函数， 所以，因为，所以，综上所述，故选：D.【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.8B解析：B【分析】根据题设条件列出方程，计算即可.【详解】由题可知 ，即，所以，即，所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查对属于对
8、数函数，考查学生的运算能力.9A解析：A【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定.【详解】要使函数有意义，需使即解得所以函数的为定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数；因为是增函数，所以是增函数，又是增函数，所以函数在定义域上单调递增.故选：A【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.10C解析：C【分析】根据奇函数与偶函数，由得到，两式相加、相减并结合求得即可.【详解】奇函数与偶函数，.又，.，得，.故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11A解析：A【解析】试题分析：由为奇函数，则，可得
9、，即，又，即，可变为，解得考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式12B解析：B【分析】利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案.【详解】由题意，由函数是增函数知，当时，函数，将函数的图象向左平移1个单位，得到函数的图象，又由函数满足，所以函数为偶函数，且图象关于轴对称，故选B.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题13【分析】对自变量分情况讨论即然后对各种情况分别解不等式最后取并集；【详解】当时所以由此时
10、不等式恒成立；当时则由则此时不等式恒成立；当时符合题意；当时解得综上可得不等式的解集为故答案为：【点睛】关键解析：【分析】对自变量分情况讨论，即，然后对各种情况分别解不等式，最后取并集；【详解】当时，所以由，此时不等式恒成立；当时，则，由，则此时不等式恒成立；当时，符合题意；当时，解得，综上可得，不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查分别函数解不等式的问题，涉及分类讨论思想的应用，解答本题的关键是对自变量的范围进行分类，即，从而得出和的表达式，从而求解不等式，属于中档题.14【分析】利用已知式两边同时取以e为底的对数化简计算再利用换底公式代入计算即可【详解】正实数a满足两边取对数得
11、即故解得故故答案为：【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e为底的对数化简计算解析：【分析】利用已知式两边同时取以e为底的对数，化简计算，再利用换底公式代入计算即可.【详解】正实数a满足，两边取对数得，即，故，解得，故.故答案为：.【点睛】本题解题关键是对已知指数式左右两边同时取以e为底的对数，化简计算得到的值，再结合换底公式即突破难点.1510000【分析】根据条件先计算出的值然后分别计算出里氏9级地震的最大的振幅和里氏5级地震最大振幅由此可求解出最终结果【详解】由条件可知：所以设里氏9级地震的最大的振幅为里氏5级地震最大振幅为所以所解析：10000【分析】根据条件先计算出的值，
12、然后分别计算出里氏9级地震的最大的振幅和里氏5级地震最大振幅，由此可求解出最终结果.【详解】由条件可知：，所以，设里氏9级地震的最大的振幅为，里氏5级地震最大振幅为，所以，所以，所以，故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解公式中各个量的含义并先求解出的值，由此继续分析.16【分析】由复合函数的单调性只需求出的增区间即可【详解】令则由与复合而成因为在上单调递增且在上单调递增所以由复合函数的单调性知在上单调递增故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性对数函数的单调解析：【分析】由复合函数的单调性，只需求出的增区间即可.【详解】令，则由与复合而成，因为在上单调递增，且在上单调
13、递增，所以由复合函数的单调性知，在上单调递增.故答案为：【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的单调性，属于中档题.17【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力解析：【分析】变换得到，代入化简得到，得到答案.【详解】，则，故.故答案为：.【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.18【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数a的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的
14、性质二次函数解析：【分析】设值域为，根据题意，对分类讨论，结合根的判别式，即可求解.【详解】设值域为， 函数的值域为，当时，值域为，满足题意；当时，须，解得，综上，实数a的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题.19【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题解析：【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果.【详解】单调递增区间为单调递减区间且，
15、所以， 故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.20【分析】根据图象的平移规律直接判断选项；根据指对函数的对称性直接判断；根据指数函数的图象特点判断选项；先求的范围再和0比较大小【详解】根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：【分析】根据图象的平移规律，直接判断选项；根据指对函数的对称性，直接判断；根据指数函数的图象特点，判断选项；先求的范围，再和0比较大小.【详解】根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象，所以不正确；根据两个函数的对称性可知函数与的图象关于直线y=x对称，正确；如下图，设，对应的是曲线上横坐标为的
16、点的纵坐标，是线段的中点的纵坐标，由图象可知，同理，当时，结论一样，故正确； 根据函数的单调性可知，所以函数的图象恒在轴上方，故正确.故答案为：【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左右”，相对于自变量来说，2.本题不易判断的就是，首先理解和的意义，再结合图象判断正误.三、解答题21（1）；（2）.【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.【详解】（1）原式.（2）原式.【点晴】本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，
17、无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）22（1）；（2），.【分析】（1）结合指数函数性质首先求的值，再解指数不等式；（2）通过换元，设，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.【详解】（1）由题意知定点A的坐标为，解得.由得，.不等式的解集为.（2）由得令，则，.当，即，时，当，即，时，.【点睛】本题考查指数函
18、数与对数函数的图象与性质，考查求对数型函数的值域，求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数，然后求解23（1）x|1x1；（2）f(x)为奇函数；证明见解析；（3）(0，1).【分析】（1）根据真数大于零，列出不等式，即可求得函数定义域；（2）计算，根据其与关系，结合函数定义域，即可判断和证明；（3）利用对数函数的单调性，求解分式不等式，即可求得结果.【详解】（1）因为f(x)loga(x1)loga(1x)，所以解得1x1.故所求函数的定义域为x|1x1.（2）f(x)为奇函数.证明如下：由（1）知f(x)的定义域为x|1x1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)lo
19、ga(1x)f(x).故f(x)为奇函数.（3）因为当a1时，f(x)在定义域x|1x1上是增函数，由f(x)0，得1，解得0x1.所以x的取值范围是(0，1).【点睛】本题考查对数型复合函数单调性、奇偶性以及利用函数性质解不等式，属综合中档题.24（1）（2）偶函数.见解析【分析】（1）根据，代入到函数的解析式中可求得，可求得函数的解析式;（2）由函数的解析式，求得函数的解析式，先求得函数的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性.【详解】（1）因为，且，所以，即.，解得，所以;（2）因为，所以,由,得,所以的定义域为，又因为，所以为偶函数.【点睛】本题考查对数函数的函数解析式的求
20、解，函数的奇偶性的证明，属于基础题.25（1）奇函数，理由见详解；（2）单调递减，过程见详解；（3）存在.【分析】（1）先由函数解析式求出定义域，再由，求出，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果；（2）先令，用单调性的定义，即可判断的单调性，再由复合函数单调性的判定原则，即可得出结果；（3）先假设存在满足条件的实数，由题意得出，推出是方程的两根，进而得到在上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求出结果.【详解】（1）由解得或，即函数的定义域为；又，所以，因此，所以，所以函数为奇函数；（2）令，任取，则，因为，所以，即函数在上单调递增；又，所以单调递减，根据同增异减的原则
21、，可得：在上单调递减；（3）假设存在实数，使得当的定义域为时，值域为，由，可得；所以，因此是方程的两根，即在上有两个不同解，设，则，解得.所以存在，使得当的定义域为时，值域为.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判定，单调性的判定，以及由函数定义域与值域求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型.26（1）；（2）.【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值，求出，根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为在上有解，即在上递减，根据函数的单调性求出的值域，从而求出k的范围即可【详解】（1）函数的图象关于原点对称，函数为奇函数， 即，解得或（舍），当时， 当时，恒成立，即的取值范围为；（2）由（1）知，即，即，即在上有解， 在上单调递减，的值域为， .【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集
