1、2021年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共10题；共40分）1.设集合 ， ，则 （ ） A.B.C.D.2.已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ） A.-1B.1C.-3D.33.已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.B.3C.D.5.若实数x ， y满足约束条件 ，则 的最小值是（ ） A.-2B.C.D.6.如图已知正方体 ，M ， N分别是 ，
2、的中点，则（ ） A.直线 与直线 垂直，直线 平面 B.直线 与直线 平行，直线 平面 C.直线 与直线 相交，直线 平面 D.直线 与直线 异面，直线 平面 7.已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ） A.B.C.D.8.已知 是互不相同的锐角，则在 三个值中，大于 的个数的最大值是（ ） A.0B.1C.2D.39.已知 ，函数 .若 成等比数列，则平面上点 的轨迹是（ ） A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线10.已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（ ） A.B.C.D.二、填空题（共7题；共36分），小正方形的面积为 ，则 _. 12.已知 ，函数
3、 若 ，则 _. 13.已知平面向量 满足 .记向量 在 方向上的投影分别为x ， y ， 在 方向上的投影为z ， 则 的最小值为_. 14.已知多项式 ，则 _， _. 15.在 中， ，M是 的中点， ，则 _， _. 16.袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 _， _. 17.已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P ， 且 轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_. 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（共5题；共74
4、分）18.设函数 . （1）求函数 的最小正周期； （2）求函数 在 上的最大值. 19.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ，M ， N分别为 的中点， . （1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.已知数列 的前n项和为 ， ，且 . （1）求数列 的通项； （2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求 的范围. 21.如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ， （1）求抛物线的方程； （2）设过点F的直线交抛物线与AB两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P ， Q ， R ， N ， 且 ，求直线l在x轴上
5、截距的范围. 22.设a ， b为实数，且 ，函数 (注： 是自然对数的底数)（1）求函数 的单调区间； （2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 . 答案解析部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【解析】【解答】因为 ， ,所以 . 故答案为：D. 【分析】利用数轴，求不等式表示的集合的交集。2.【解析】【解答】因为 ，所以利用复数相等的充分必要条件可得： .故答案为：C. 【分析】根据复数相等的条件，即可求得a的值。3.【解析】【解答】若
6、但= 不一定成立, 故充分性不成立; 若时,一定成立,故必要性成立, 故“ ”是“ ”的必要不充分条件故答案为：B. 【分析】先将条件等式变形，可能得到条件不充分，后者显然成立。4.【解析】【解答】由三色线法,画出几何体为如图所示的四棱柱 ，其高为1，底面为等腰梯形 ， 该等腰梯形的上底为 ，下底为 ，腰长为1，故梯形的高为 ，故 ，故答案为：A. 【分析】先由三视图，用三色线法还原立体图形，然后根据数量关系计算体积。5.【解析】【解答】画出满足约束条件 的可行域， 如下图所示：将目标函数 化为 ，由 ，解得 ，即 ，当直线 过 点时，取得最小值为 .故答案为：B. 【分析】先画出可行域，然后
7、由目标函数，作出直线 ，当直线过 点时，得到最优解，从而计算出结果。6.【解析】【解答】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0), A(2,0,0), A1(2,0,2), B(2,2,0), D1(0,0.2), M(1,0,1), N(1,1,1), B1(2,2,2), 对于A: 因为因为所以, 即 , 又因为则AB|MN,于是AB平面ABCD，A符合题意； 对于B: 由A知,A1D与D1B垂直，故B不符合题意； 对于C: A1D与D1B是异面的, 不平行，故C不符合题意； 对于D: A1D与D1B异面正确,但显然与平面BDB1D1不垂直，故D不符合题意；
8、故答案为：A. 【分析】对于A：由空间向量证明是正确的， 对于B：若A知 这显然不平行，所以B不正确； 对于C：显然， 直线 与直线 是异面直线，故C错误； 对于：由B知，MN不垂直平面BDD1B1。7.【解析】【解答】显然,图中函数是奇函数, 对于A，显然 ，该函数为非奇非偶函数，所以与图不符合,排除A； 对于B， ，该函数也是为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C， ，则 ，当 时， ，与图象不符，排除C.对于D,将代入可计算得y/0,满足该图象在该点附近递减的性质，故D正确. 故答案为：D. 【分析】由A,B解析式都是非奇非偶函数，可以判断A,B错； 对于C，先对 求导，然后计算
9、当时，（），与图不符合，所以C错，故选D.8.【解析】【解答】因为 已知 是互不相同的锐角, 所以 均为正值, 由基本不等式有 ， 同理 ， ，故 ，故 不可能均大于 .取 ， ， ，则 ，故三式中大于 的个数的最大值为2，故答案为：C. 【分析】先由基本不等式得出三个积 的取值范围，就可以得到结果。9.【解析】【解答】因为 成等比数列， 所以 ， 即 ， 整理得:， 所以所以 或 ，所以 或 其中是双曲线, 是直线.故答案为：C. 【分析】由三个数成等差数列，列出等式，推导结果。10.【解析】【解答】因为 ，所以 ，且 由 可得 ，即 由 所以 ，当且仅当 时取等号， ， 所以 即 故答案为
10、：A 【分析】由递推公式，先得到， 进一步推导出， 然后用累加法等推导出。二、填空题11.【解析】【解答】由题意,直角三角形两条直角边分别为3,4 ,斜边为 ，即正方形的边长为5, 则其面积为： ，小正方形的面积： ，从而 .故答案为：25. 【分析】由勾股定理及三角形面积公式求解。12.【解析】【解答】 因为,所以所以，故 ， 故答案为：2. 【分析】分段函数求函数值。13.【解析】【解答】由题意，设 ， 则 ，即 ，所以依题意 ， 所以 在 方向上的投影 ，所以 ,则表示空间中坐标原点到平面的距离,所以 ，所以 的最小值为 .故答案为： . 【分析】根据已知条件，先取特殊值并设， 再由投影
11、公式和点到平面的距离公式求解.14.【解析】【解答】根据二项式定理的通项公式:故a1=5; 同理故a2=3; 故a=7, 所以 10. 故答案为：5，10. 【分析】因为指数不高，直接展开。15.【解析】【解答】如图，在 中， 即 ，解得 （BM=-2舍去），因为M是BC的中点,所以MC=4,BC=8,在 中，由余弦定理得 ，所以 ；在 中，由余弦定理得 .故答案为： ； . 【分析】三次使用余弦定理求BM，AC, 即可。16.【解析】【解答】依题意 ，所以 ， 又有 , 所以 , 则 由于 故答案为：1； 【分析】 先由取出的两个球都是红球的概率为 ， 由古典概型公式得到 ，再由的可能取值，
12、求出相应的概率，根据数学期望的计算公式求解即可.17.【解析】【解答】如图所示：不妨假设 ，设切点为 ， 因为圆B方程:,所以|AB|=C, BF1=所以 所以直线PF1的斜率为k= 将x=c代入椭圆方程, ,可得P点的坐标:由 ，所以 ， 于是 ，即 ，所以 故答案为： ； 【分析】（1）取特殊值c=2,根据圆的切线的性质，计算相关线段长度，在直角三角形ABF1中，可以求得 的值； （2）由（1）及椭圆的定义，就可以计算 a的值，进一步得到离心率。三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.【解析】【分析】（1）先将原函数化为：， 再化简 ，再根据正弦
13、函数的周期公式，求得周期； （2）化简 ， 然后根据x的取值范围，求得函数的最大值。19.【解析】【分析】（1）通过已知的边，用余弦定理求得DM的长度，再根据勾股定理的逆定理，判断出 ， 由 ， 得DC平面 ， 结合AB|DC，则有ABPM ； （2）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量的知识求直线与平面成的角。20.【解析】【分析】（1）首先根据递推公式，证明 an 是等比数列 ，进一步求得an， （2）先由an与bn的关系，求出bn，然后通过逐项求和，写出Tn,再由错项相减的方法，求得Tn； 在由 恒成立，进一步求得 的取值范围。21.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P，进而写出方程； （2） 设 ， 并设， ，写 出直线 ，代入抛物线，由韦达定理写出关系式，再由 ， 结合直线方程 ，推出关系式，进而利用基本不等式以及解相关不等式，得出直线l在x轴上截距的范围。22.【解析】【分析】（1）先对函数求导，对b的值分类讨论，研究导数的正负，从而确定函数的单调区间； （2）将问题转化为 有两个不同解 有2个不同的解，通过换元，构造函数，进一步利用导数研究相关函数的单调性，通过解属地等式，得到a的取值范围； （3）当 有2个不同零点，则 零点一定是正值，设出二正根，构造函数，研究相关函数的单调性，通过一系列不等式推导出结论。
