1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题 11 相似三角形及锐角三角函数问题 【方法指导】【方法指导】 1.判定三角形相似的思路： 条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定； 条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例； 条件中若有两边对应成比例可找夹角相等； 条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例； 条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例. 2.相似的基本模型 （1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形 ，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证
2、明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三 角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果. 3.锐角三角函数的应用问题： (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题 的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得 到问题的解 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】平行线分线段成比例定理】平行线分线段成比例定理 【例 1】 （2019淮安） 如图，1 23 / /
3、 /lll， 直线a、b与 1 l、2l、 3 l分别相交于点A、B、C和点D、E、F 若 3AB ，2DE ，6BC ，则EF 【分析】根据 123 / / /lll，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案 【解析】 123 / / /lll， ABDE BCEF ， 又3AB ，2DE ，6BC ， 4EF， 故答案为：4 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键 【变式 1-1】 （2019 秋淮阴区期中）如图，已知/ / /ABCDEF，4AC ，1CE ，3BD ，则DF的值( ) A 1 2 B 4 3 C 3
4、4 D1 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案 【解析】/ / /ABCDEF， ACBD CEDF ，即 43 1DF ， 解得， 3 4 DF ， 故选：C 【变式 1-2】 （2019 秋高新区模拟）如图，在ABC中，D、E分别在AB、AC上，/ /DEBC，/ /EFCD 交AB于F，那么下列比例式中正确的是( ) A AFDE DFBC B AFAD BDAB C DFAF DBDF D EFDE CDBC 【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利 用排除法求解 【解析】A、/ /EFCD，/ /DEBC，
5、 AFAE DFEC ， AEDE ACBC ， CEAC， AFDE DFBC 故本答案错误； B、/ /DEBC，/ /EFCD， AEAD ACAB ， AEAF ACAD ， AFAD ADAB ， ADDF， AFAD BDAB ，故本答案错误； C、/ /EFCD，/ /DEBC， AFAE DFEC ， AEAD ECBD ， AFAD DFBD ADDF， DFAF DBDF ，故本答案错误； D、/ /DEBC，/ /EFCD， DEAE BCAC ， EFAE CDAC ， EFDE CDBC ，故本答案正确 故选：D 【类型【类型 2 2】相似三角形的性质】相似三角形的性
6、质 【例 2】 （2019丹阳市模拟）如图，O为Rt ABC斜边中点，10AB ，6BC ，M，N在AC边上， MONB ，若OMN与OBC相似，则CM 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当MONOMN 时如图 2 中，当MONONM 时 【解析】90ACB，AOOB， OCOAOB， BOCB ， MONB ，若OMN与OBC相似， 有两种情形：当MONOMN 时， OMNB ，180OMCOMN， 180OMCB， 180MOBBCM， 90MOB， AOMACB ，AA ， AOMACB， AMOA ABAC ， 5 108 AM ， 25 4 AM， 257 8 44 CMAC
7、AM ，当MONONM 时， BOCOMN ， AACOACOMOC ， MOCA ， MCOACO ， OCMACO， 2 OCCM CA， 258CM， 25 8 CM， 故答案为 7 4 或 25 8 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用分 类讨论的思想思考问题 【变式 2-1】 （2018 秋兴化市期末）已知ABCDEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若 :1:2AB DE ，ABC的周长是5cm，则DEF的周长是 cm 【分析】根据相似三角形的性质：周长比相似比，即可解决问题 【解析】ABCDEF，:1:2AB DE ， A
8、BC的周长：DEF的周长1:2， ABC的周长是5cm， DEF的周长是10cm 故答案为：10 【变式 2-2】 （2018 秋梁溪区校级月考）如图，已知ABC是面积为3的等边三角形，ABCADE， 2ABAD，45BAD，AC与DE相交于点F， 则点D到线段AB的距离等于 （结果保留根号） 【分析】先根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据等边三角形的面积公 式求出其边长，进而求出点D到线段AB的距离 【解析】ABCADE，2ABAD， 2 ()4 ABC ADE SAB SAD ， 3 ABC S， 3 4 ADE S， ABC是等边三角形，ABCADE， AD
9、E是等边三角形， 2 33 44 AD ， 1AD 如图，过点D作DHAB于H 在ADH中，45HAD， 22 sin1 22 DHADHAD 故答案为 2 2 【变式 2-3】 （2019 秋秦淮区校级月考）如图，90AB ，7AB ，3BC ，2AD ，在边AB上取 点P，使得PAD与PBC相似，则满足条件的AP长为 【分析】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：若APDBPC若APDBCP 【解析】90AB 若APDBPC 则 APAD BPBC 2 73 AP AP 解得2.8AP 若APDBCP 则 APAD BCBP 2 37 AP AP 解得1AP 或 6 则满足条件的AP长为
10、 2.8 或 1 或 6 故答案为：2.8 或 1 或 6 【类型【类型 3 3】位似变换】位似变换 【例 3】 （2019镇江模拟）在平面直角坐标系中，以点( 2,0)Q 为位似中心，把图形 1 S按相似比2:1放大得 到图形 2 S（即所得图形与原图形的相似比为2:1)，(1,1)P在图形 1 S上，则图形 2 S上与点P对应的点的坐标 为 【分析】分两种情形画出点P的对应点P，P即可解决问题 【解析】有两种情形：当点P在QP的延长线上时，(4,2)P 当点P在PQ的延长线上时，( 8, 2)P 综上所述，满足条件的点P的对应点坐标为(4,2)或( 8, 2) 故答案为(4,2)或( 8,
11、 2) 【点睛】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换的性质，属于中考 常考题型 【变式 3-1】 （2019兴化市模拟） 如图，ABC与DEF位似， 点O位似中心， 且 1 2 OD OA ， 则 DEF ABC S S 【分析】直接利用位似图形的性质进而得出答案 【解析】ABC与DEF位似，点O位似中心，且 1 2 OD OA ， 1 2 DEOD ABOA ， 2 11 ( ) 24 DEF ABC S S 故答案为： 1 4 【变式 3-2】 （2019亭湖区一模）线段AB两个端点坐标分别为(6,6)A，(8,2)B，以原点O为位似中心，在 第一象限内将线
12、段AB缩小为原来的 1 2 后得线段(CD A与C对应） ，则点D的坐标为 【分析】画出线段AB缩小为原来的 1 2 后得线段CD的位似图形，即可解决问题 【解析】如图，线段AB的对应线段为CD，易知(4,1)D 故答案为(4,1) 【类型【类型 4 4】相似三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定 【例 4】 （2019 秋东台市期末）如图 1，ABC中，BD，CE是ABC的高 （1）求证：ABDACE （2）ADE与ABC相似吗？为什么？ （3）如图 2，设 5 cos 3 ABD，12DE ，DE的中点为F，BC的中点为M，连接FM，求FM的长 【分析】 （1）根据两角对应相等两三角形相
13、似即可证明 （2）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似证明即可 （3）利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可 【解答】 （1）证明：如图 1 中， BD、CE是ABC的高， 90ADBAEC ， AA ， ABDACE （2）相似 理由：ABDACE， ADAB AEAC ，即 ADAE ABAC ， AA ， ADEABC （4）如图 2 中，连接DM、EM 由 5 cos 3 ABD得 2 3 ADDE ABBC ， 18BC， 又9EMDM，MFDE，且6FDFE， 2222 963 5FMEMEF 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似
14、三角形解 决问题，属于中考常考题型 【变式 4-1】 （2019 秋江阴市期末）如图，Rt ABC中，90ACB，D是BC的中点，CEAD于E （1）求证： 2 CDDE DA； （2）当47BED时，求ABC的度数 【分析】 （1）证明90CEDACB ，CDEADC ，得到CDEADC，列出比例式，化为等积式 即可解决问题 （2）运用（1）中的结论，证明BDEADB，即可解决问题 【解答】证明（1）CEAD， 90CEDACB ， CDEADC ， CDEADC， :CD ADDE CD， 2 CDDE AD （2）D是BC的中点， BDCD； 2 CDDE AD， 2 BDDE AD，
15、:BD ADDE BD； 又ADBBDE， BDEADB， BEDABC ， 47BED， 47ABC 【变式 4-2】 （2019 秋沭阳县期末）如图，直线AC与O相切于点A，点B为O上一点，且OCOB于 点O，连接AB交OC于点D （1）求证：ACCD； （2）若3AC ，4OB ，求OD的长度 【分析】 （1）欲证明CDCA，只要证明CDADAC 即可 （2）利用勾股定理求出OC即可解决问题 【解答】 （1）证明：AC是O的切线， OAAC， 90OAC， ODOB， 90DOB， 90BDOB，90OADDAC ， OAOB， OADB ， BDODAC ， BDOCDA ， CDAD
16、AC ， CDCA （2）在Rt ACO中， 2222 435OCOAAC， 3CACD， 2ODOCCD 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属 于中考常考题型 【类型【类型 5 5】相似三角形的应用】相似三角形的应用 【例 5】 （2019 秋雨花台区期末） 新建马路需要在道路两旁安装路灯、 种植树苗 如图， 某道路一侧路灯AB 在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2m，两棵树苗之间的距离CD为16m，在路灯的照射下，树 苗CE的影长CG为1m，树苗DF的影长DH为3m，点G、C、B、D、H在一条直线上求路灯AB的 高度 【分析】
17、设BC的长度为xm，则16BDx，证明GCEGBA，HDFHBA，利用相似比得到 12 1xAB 和 32 3(16) xAB ，从而得到 13 13(16)xx ，解得4x ，然后计算AB的长 【解析】设BC的长度为xm，由题意可知/ / /CEABDF，如图， / /CEAB，/ /DFAB， GCEGBA，HDFHBA GCCE GBAB ，即 12 1xAB ； HDFD HBAB ，即 32 3(16) xAB 13 13(16)xx ，解得4x ， 12 14AB ，解得10AB 答：路灯AB的高度为10m 【变式 5-1】 （2019宜兴市二模）小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB
18、的高度，如图，他在某一时刻立 1 米长的标杆测得其影长为 1.2 米， 同时旗杆的投影一部分在地面上BD处， 另一部分在某一建筑的墙上CD 处，分别测得其长度为 9.6 米和 2 米，求旗杆AB的高度 【分析】如图，利用在同一时刻物高与影长的比相等得到:1:1.2CD DF ，则可计算出2.4DF ，所以 12BF ，然后根据:1:1.2AB BF 可计算出AB 【解析】如图， 某一时刻立 1 米长的标杆测得其影长为 1.2 米， :1:1.2CD DF， 1.21.222.4DFCD， 9.62.412BFBDDF， :1:1.2AB BF ， 12 1 10 1.2 AB 答：旗杆AB的高
19、度为10m 【变式 5-2】 （2019淮阴区一模） 铁血红安在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基 地游玩某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小 亮头顶三点恰好在一条直线上（如图） 已知小明的眼睛离地面 1.65 米，凉亭顶端离地面 2 米，小明到凉亭的距离为 2 米，凉亭离城楼底部的距离为 40 米，小亮身高 1.7 米请根据 以上数据求出城楼的高度 【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可 【解析】过点A作AMEF于点M，交CD于点N， 由题意可得：2ANm，2 1.650.35( )CNm，40MNm， /CNEM， A
20、CNAEM， CNAN EMAM ， 20.35 42EM ， 解得：7.35EM ， 1.65ABMFm， 故城楼的高度为：7.35 1.65 1.77.3（米)， 答：城楼的高度为7.3m 【类型【类型 6 6】解直角三角形】解直角三角形 【例 6】 （2019丹东模拟）如图，在ADC中，30A，90ACD，点B在AC上45DBC，点E 在BC的延长线上，且2AB ，3CE ，过E作EFAE于E，交BD延长线于F求EF的长 【分析】设BCx根据tan DC A AC ，可得23xx，求出x即可解决问题 【解析】设BCx 45DBC，EFAE， EFBE，BCDC， 2ACx， tan DC
21、 A AC ， 23xx ， 31x， 34EF 【变式 6-1】 （2019杨浦区一模）如图，AD是ABC的中线， 1 tan 5 B ， 2 cos 2 C ，2AC 求： （1） BC的长； （2）ADC的正弦值 【分析】 （1）如图，作AHBC于H在Rt ACH中，求出1AHCH，在Rt ABH中，求出BH即可 解决问题； （2）在Rt ADH中，求出DH，AD即可解决问题； 【解析】 （1）如图，作AHBC于H 在Rt ACH中， 2 cos 2 CH C AC ，2AC ， 1CH， 22 1AHACCH， 在Rt ABH中， 1 tan 5 AH B BH ， 5BH， 6BCB
22、HCH （2）BDCD， 3CD，2DH ， 22 5ADAHDH 在Rt ADH中， 5 sin 5 AH ADH AD ADC的正弦值为 5 5 【类型【类型 7 7】锐角三角函数的应用】锐角三角函数的应用 【例 7】 （2019洪泽区二模）如图，楼梯AB的倾斜角ABD为60，楼梯底部到墙根垂直距离BD为4m， 为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD为45，求调整后的楼梯AC的长 【分析】在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三 角函数定义求出AC的长即可 【解析】在Rt ABD中，60ABD，4BDm， 30BAD， 4
23、 3 tan30 BD ADm ， 在Rt ACD中，45ACD， 24 6ACADm 【变式 7-1】 （2019高淳区二模）高淳固城湖大桥采用H型塔型斜拉桥结构（如甲图） ，图乙是从图甲抽象 出的平面图测得拉索AB与水平桥面的夹角是45，拉索CD与水平桥面的夹角是65，两拉索顶端的距离 AC为 2 米，两拉索底端距离BD为 10 米，请求出立柱AH的长（结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin650.91 ，cos650.42 ，tan652.14) 【分析】设AH的长为x米，则CH的长为(2)x米，在Rt ABH中，由tan45AHBH可得出BHx， 进而可得出10DHx，在Rt C
24、DH中，由tan65CHDH可得出22.14(10)xx，解之即可得出结 论（求出的x的值精确到 0.1 米） 【解析】设AH的长为x米，则CH的长为(2)x米 在Rt ABH中，tan45AHBH， BHx， 10DHBHBDx； 在Rt CDH中，tan65CHDH， 22.14(10)xx ， 解得：17.0117.0x 答：立柱AH的长约为 17.0 米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形，找出关于AH长的一元一次方程是解题的关 键 【变式 7-2】 （2019南京一模）如图是小莉在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整 个过程中风筝线近似地看作直线
25、）与水平线构成37角，线段 1 AA表示小红身高 1.5 米当她从点A跑动 4 米到达点B处时，风筝线与水平线构成60角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF为 8 米，这 一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 1 C D （参考数据：sin370.6 ，cos370.8 ，tan370.75 ) 【分析】设AFx，则4BFABAFx，在Rt BEF中， 4 82 coscos60 BFx BEx EBF ，8CF ， 8ACAFFCx，在Rt DAC中， 8 101.25 coscos37 ACx ADx DAC 可建立关于x的方程，解之求 得x的值，即可得出CD的长，继而得
26、出答案 【解析】设AFx，则4BFABAFx， 在Rt BEF中， 4 82 coscos60 BFx BEx EBF ， 8CF ， 8ACAFFCx， 在Rt DAC中， 8 101.25 coscos37 ACx ADx DAC ， 由题意知：ADBE 82101.25xx ，解得： 8 3 x ， CDAC 8 tan(8)0.758 3 CAD， 则 11 81.59.5C DCDC C， 答：风筝原来的高度 1 C D为 9.5 米 【达标检测】【达标检测】 1 （2019常州）若ABCABC，相似比为 1：2，则ABC 与ABC的周长的比为（ ） A2：1 B1：2 C4：1 D
27、1：4 【答案】B 【解析】ABCABC，相似比为 1：2， ABC 与ABC的周长的比为 1：2 故选：B 2 （2019苏州）如图，在ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 ADAB2，ADAB过点 D 作 DE AD，DE 交 AC 于点 E若 DE1，则ABC 的面积为（ ） A4 B4 C2 D8 【答案】B 【解析】ABAD，ADDE， BADADE90， DEAB， CEDCAB， CC， CEDCAB， DE1，AB2，即 DE：AB1：2， SDEC：SACB1：4， S四边形ABDE：SACB3：4， S四边形ABDESABD+SADE22212+13， SACB4，
28、 故选：B 3 （2019杭州）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，DEBC，M 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合） ，连接 AM 交 DE 于点 N，则（ ） A B C D 【答案】C 【解析】DNBM， ADNABM， ， NEMC， ANEAMC， ， 故选：C 4 （2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则， “马” 应落在下列哪个位置处，能使“马” 、 “车” 、 “炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅” 、 “相” 、 “兵” 所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A处 B处 C处 D处 【答案】B 【
29、解析】帅” 、 “相” 、 “兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为 2、2、4； “车” 、 “炮”之间的距离为 1， “炮”之间的距离为， “车”之间的距离为 2， ， 马应该落在的位置， 故选：B 5 （2019苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放置在与教学楼水平距 离为 18m 的地面上，若测角仪的高度是 1.5m测得教学楼的顶部 A 处的仰角为 30则教学楼的高 度是（ ） A55.5m B54m C19.5m D18m 【答案】C 【解析】过 D 作 DEAB， 在 D 处测得教学楼的顶部 A 的仰角为 30， ADE30， BCDE1
30、8m， AEDEtan3018m， ABAE+BEAE+CD18+1.519.5m， 故选：C 6 （2019本溪）在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 A（4，2） ，B（5，0） ，以点 O 为位似中心， 相似比为 ，把ABO 缩小，得到A1B1O，则点 A 的对应点 A1的坐标为 【答案】 （2，1）或（2，1） 【解析】以点 O 为位似中心，相似比为 ，把ABO 缩小，点 A 的坐标是 A（4，2） ， 则点 A 的对应点 A1的坐标为（4，2）或（4，2） ，即（2，1）或（2，1） ， 故答案为： （2，1）或（2，1） 7 （2019苏州）如图，一块含有 45角的直角三角
31、板，外框的一条直角边长为 8cm，三角板的外框线和与 其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为 cm2（结果保留根号） 【答案】 （10） 【解析】如图， EFDGCH， 含有 45角的直角三角板， BC，GH2， FG8262， 图中阴影部分的面积为： 882（62）（62）2 3222+12 10+12（cm2） 答：图中阴影部分的面积为（10）cm2 故答案为： （10） 8 （2019南京）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分ACB若 AD2，BD 3，则 AC 的长 【答案】 【解析】BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D
32、， CDBD3， BDCB，ABAD+BD5， CD 平分ACB， ACDDCBB， AA， ACDABC， ， AC2ADAB2510， AC 故答案为： 9 （2019连云港）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，以点 C 为圆心作C 与直线 BD 相切，点 P 是C 上一个动点，连接 AP 交 BD 于点 T，则的最大值是 【解答】解：如图，过点 A 作 AGBD 于 G， BD 是矩形的对角线， BAD90， BD5， ABADBDAG， AG， BD 是C 的切线， C 的半径为 过点 P 作 PEBD 于 E， AGTPET， ATGPTE， AGTPET， ， PE 1，
33、要最大，则 PE 最大， 点 P 是C 上的动点，BD 是C 的切线， PE 最大为C 的直径，即：PE最大， 最大值为 13， 故答案为 3 10 （2019徐州）如图，无人机于空中 A 处测得某建筑顶部 B 处的仰角为 45，测得该建筑底部 C 处的俯 角为 17若无人机的飞行高度 AD 为 62m，则该建筑的高度 BC 为 m （参考数据：sin170.29，cos170.96，tan170.31） 【答案】262 【解析】作 AEBC 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形， ECAD62， 在 RtAEC 中，tanEAC， 则 AE200， 在 RtAEB 中，BAE45， BEAE
34、200， BC200+62262（m） ， 则该建筑的高度 BC 为 262m， 故答案为：262 11 （2019宿迁）如图，MAN60，若ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB2，点 C 在射线 AN 上 运动，当ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 【答案】BC2 【解析】如图，过点 B 作 BC1AN，垂足为 C1，BC2AM，交 AN 于点 C2 在 RtABC1中，AB2，A60 ABC130 AC1AB1，由勾股定理得：BC1， 在 RtABC2中，AB2，A60 AC2B30 AC24，由勾股定理得：BC22， 当ABC 是锐角三角形时，点 C 在 C1C2上移动
35、，此时BC2 故答案为：BC2 12 （2019盐城）如图，在ABC 中，BC，C45，ABAC，则 AC 的长为 2 【答案】2 【解析】过点 A 作 ADBC，垂足为点 D，如图所示 设 ACx，则 ABx 在 RtACD 中，ADACsinCx， CDACcosCx； 在 RtABD 中，ABx，ADx， BDx BCBD+CDxx， x2 故答案为：2 13 （2019宿迁）如图，在钝角ABC 中，ABC30，AC4，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中 点，将BDE 绕点 B 逆时针方向旋转 度（0180） （1）如图，当 0180 时，连接 AD、CE求证：BDABEC
36、； （2）如图，直线 CE、AD 交于点 G在旋转过程中，AGC 的大小是否发生变化？如变化，请说明 理由；如不变，请求出这个角的度数； （3）将BDE 从图位置绕点 B 逆时针方向旋转 180，求点 G 的运动路程 【解析】 （1）如图中， 由图，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点， DEAC， ， ， DBEABC， DBAEBC， DBAEBC （2）AGC 的大小不发生变化，AGC30 理由：如图中，设 AB 交 CG 于点 O DBAEBC， DABECB， DAB+AOG+G180，ECB+COB+ABC180，AOGCOB， GABC30 （3）如图1 中设 AB
37、 的中点为 K，连接 DK，以 AC 为边向左边等边ACO，连接 OG，OB 以 O 为圆心，OA 为半径作O， AGC30，AOC60， AGCAOC， 点 G 在O 上运动， 以 B 为圆心，BD 为半径作B，当直线与B 相切时，BDAD， ADB90， BKAK， DKBKAK， BDBK， BDDKBK， BDK 是等边三角形， DBK60， DAB30， BOG2DAB60， 的长， 观察图象可知，点 G 的运动路程是的长的两倍 14 （2019南京）如图，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4求作菱形 DEFG，使点 D 在边 AC 上，点 E、F 在边 AB 上，点 G 在边
38、 BC 上 小明的作法 1如图，在边 AC 上取一点 D，过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G 2以点 D 为圆心，DG 长为半径画弧，交 AB 于点 E 3在 EB 上截取 EFED，连接 FG，则四边形 DEFG 为所求作的菱形 （1）证明小明所作的四边形 DEFG 是菱形 （2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化请你继续探索，直接 写出菱形的个数及对应的 CD 的长的取值范围 【解答】 （1）证明：DEDG，EFDE， DGEF， DGEF， 四边形 DEFG 是平行四边形， DGDE， 四边形 DEFG 是菱形 （2）如图 1 中，当四边形 DEF
39、G 是正方形时，设正方形的边长为 x 在 RtABC 中，C90，AC3，BC4， AB5， 则 CDx，ADx， AD+CDAC， x3， x， CDx， 观察图象可知：0CD时，菱形的个数为 0 如图 2 中，当四边形 DAEG 是菱形时，设菱形的边长为 m DGAB， ， ， 解得 m， CD3， 如图 3 中，当四边形 DEBG 是菱形时，设菱形的边长为 n DGAB， ， ， n， CG4， CD， 观察图象可知：当 0CD或CD3 时，菱形的个数为 0，当 CD或CD时，菱形的个 数为 1，当CD时，菱形的个数为 2 15 （2019宿迁）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享
40、单车服务图是某品牌共享单车放在 水平地面上的实物图， 图是其示意图， 其中 AB、 CD 都与地面 l 平行， 车轮半径为 32cm， BCD64， BC60cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 15cm （1）求坐垫 E 到地面的距离； （2） 根据经验， 当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 时， 坐骑比较舒适 小明的腿长约为 80cm， 现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E，求 EE的长 （结果精确到 0.1cm，参考数据：sin640.90，cos640.44，tan642.05） 【解析】 （1）如图 1，过点 E 作 EMCD 于点 M， 由题意知BCM6
41、4、ECBC+BE60+1575cm， EMECsinBCM75sin6467.5（cm） ， 则单车车座 E 到地面的高度为 67.5+3299.5（cm） ； （2）如图 2 所示，过点 E作 EHCD 于点 H， 由题意知 EH800.864， 则 EC71，1， EECECE7571.13.9（cm） 16 （2019泰州）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区 AC 的坡度 i 为 1：2，顶端 C 离水平地面 AB 的高度为 10m，从顶棚的 D 处看 E 处的仰角 1830，竖直的立杆上 C、D 两点间的距离为 4m，E 处到观众区底端 A 处的水平距离 AF 为 3m求： （1
42、）观众区的水平宽度 AB； （2）顶棚的 E 处离地面的高度 EF （sin18300.32，tanl8300.33，结果精确到 0.1m） 【解析】 （1）观众区 AC 的坡度 i 为 1：2，顶端 C 离水平地面 AB 的高度为 10m， AB2BC20（m） ， 答：观众区的水平宽度 AB 为 20m； （2）作 CMEF 于 M，DNEF 于 N， 则四边形 MFBC、MCDN 为矩形， MFBC10，MNCD4，DNMCBF23， 在 RtEND 中，tanEDN， 则 ENDNtanEDN7.59， EFEN+MN+MF7.59+4+1021.6（m） ， 答：顶棚的 E 处离地面的高度 EF 约为 21.6m
