1、 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 文科数学 本试卷分第卷和第本试卷分第卷和第 II 卷两部分，共卷两部分，共 4 页。满分页。满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟。考试结束后，分钟。考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回。将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： . 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上。 . 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上
2、无效。 . 第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的 位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂 改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 . 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么()( )( )P ABP AP B 第卷（共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 (1) 已知,a bR i是虚数单位. 若a i2bi，则 2 ()a
3、bi (A) 34i (B) 34i (C) 43i (D) 43i 1.【答案】A 【解析】1, 2,2babiia，1, 2ba iiiibia4344)2()( 222 . (2) 设集合 2 |20, |14Ax xxBxx，则AB (A) (0,2 (B) (1,2) (C) 1,2) (D) (1,4) 2.【答案】C 【解析】. 20, 02 2 xxx 4 , 1)20(BA，数轴上表示出来得到BA1,2) . (3) 函数 2 1 ( ) log1 f x x 的定义域为 (A) (0,2) (B) (0,2 (C) (2,) (D) 2,) 3.【答案】C 【解析】01lo
4、g2x故2x. (4) 用反证法证明命题： “设, a b为实数，则方程 3 0xaxb至少有一个实根”时，要做的 假设是 (A) 方程 3 0xaxb没有实根 (B) 方程 3 0xaxb至多有一个实根 (C) 方程 3 0xaxb至多有两个实根 (D) 方程 3 0xaxb恰好有两个实根 4.【答案】A 【解析】 “至少有一个”的对立面应是“没有”,故选 A (5) 已知实数, x y满足(01) xy aaa，则下列关系式恒成立的是 (A) 33 xy (B) sinsinxy (C) 22 ln(1)ln(1)xy (D) 22 11 11xy 5.【答案】A 【解析】由) 10(aa
5、a yx 得，yx ，但是不可以确定 2 x与 2 y的大小关系，故 C、D 排 除，而xysin本身是一个周期函数，故 B 也不对， 33 yx 正确。 (6) 已知函数log ()( ,0,1) a yxc a caa为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立 的是 (A) 0,1ac (B) 1,01ac (C) 01,1ac (D) 01,01ac 6.【答案】D 【解析】由图象单调递减的性质可得01a，向左平移小于 1 个单位，故01c 答案选 D (7) 已知向量(1, 3),(3,)abm. 若向量, a b的夹角为 6 ，则实数m (A) 2 3 (B) 3 (C) 0 (D)
6、3 7.【答案】B 【解析】由题意得 2 3 92,cos,33 2 mbababamba 3,9333 2 mmm. (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单 位：kPa）的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17，将其按从左到右的顺序分 别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已 知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为 x E O (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18 8.【答案】C 【解析】第一组与第二组频率之和为
7、 0.24+0.16=0.4， 12618,1836. 050,804 . 020 (9) 对于函数( )f x，若存在常数0a ，使得x取定义域内的每一个值，都有 ( )(2)f xfax，则称( )f x为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 (A) ( )f xx (B) 3 ( )f xx (C) ( )tanf xx (D) ( )cos(1)f xx 9.【答案】D 【解析】因为函数满足)2()(xafxf，所以)(xf的图像关于直线)0( aax对称，而 2 )(xxf的 图 像 关 于0x对 称 （ 不 符 合 题 意 ） ；) 1cos()(xxf的 图 像 关 于 )( ,
8、1zkkx对称，符合题意.故选 D. (10) 已知, x y满足约束条件 10, 230, xy xy 当目标函数zaxby(0,0)ab在该约束 条件下取到最小值2 5时， 22 ab的最小值为 (A) 5 (B) 4 (C) 5 (D) 2 10.【答案】B 171615141312/ kPa舒张压 频率/组距 0.36 0.08 0.16 0.24 开始 输入 x 是 0n 3 43 0xx 结束 1xx 否 输入 x 1nn 【解析】联立 032 01 yx yx ，得交点坐标) 1 , 2(，则522ba，即圆心（0,0）到直线 0522ba的距离的平方4) 5 52 ( 2 .
9、第第 II II 卷（共卷（共 100100 分）分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. (11) 执行右面的程序框图，若输入的x的值为 1，则输出的n的值为 . 11.【答案】3 【解析】根据判断条件034 2 xx，得31 x 输入1x 第一次判断后循环，11, 21nnxx 第二次判断后循环，21, 31nnxx 第三次判断后循环，31, 41nnxx 第四次判断不满足条件，结束循环，输出3n (12) 函数 2 3 sin2cos 2 yxx的最小正周期为 . 12.【答案】T 【解析】 2 33111 sin2cossin2cos2sin 2 22226
10、2 yxxxxx 2 2 T . (13) 一个六棱锥的体积为2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥 的侧面积为 。 13.【答案】12 【解析】设六棱锥的高为h，斜高为 h ， 则由体积 11 2 2 sin6062 3 32 Vh 得：1h ， 2 2 32hh 侧面积为 1 2612 2 h . (14) 圆心在直线20xy上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2 3， 则圆C的标准方程为 。 14.【答案】 22 214xy 【解析】设圆心,0 2 a aa ，半径为a. 由勾股定理 2 2 2 3 2 a a 得：2a 圆心为2,1，半径为 2，
11、 圆C的标准方程为 22 214xy. (15) 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦距为2c， 右顶点为 A， 抛物线 2 2(0)xpy p 的焦点为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FAc，则双曲线的渐近线方 程为 。 15.【答案】xy 【解析】 由题意知 22 2 P cab， 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为, 2 P c ， 即, cb代入双曲线方程为 22 22 1 cb ab ，得 2 2 2 c a ， 渐近线方程为yx . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. (16)（本小题满分 12 分） 海关对同时从 A，B，C
12、三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品 的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进 行检测. 地区 A B C 数量 50 150 100 （）求这 6 件样品中来自 A，B，C 各地区商品的数量； （II）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地 区的概率. （16）【解析】 ： （）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为： :50:150:1001:3:2A B C 所以各地区抽取商品数为： 1 :61 6 A， 3 :63 6 B， 2 :62 6 C；
13、 （）设各地区商品分别为： 12312 ,A B B B C C 基本时间空间为： 123121213 ,A BA BA BA CA CB BB B 1112232122313212 ,B CB CB BB CB CB CB CC C，共 15 个. 样本时间空间为： 12132312 ,B BB BB BC C 所以这两件商品来自同一地区的概率为： 4 15 P A . (17) （本小题满分 12 分） ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为, ,a b c. 已知 6 3,cos, 32 aABA . （）求b的值； （II）求ABC的面积. （17）【解析】 ： （）由题意知： 2
14、3 sin1 cos 3 AA， 6 sinsinsincoscossincos 2223 BAAAA ， 由正弦定理得： sin 3 2 sinsinsin abaB b ABA （）由 2 BA 得 3 3 sin) 2 cos(cosAAB . )(,BACCBA, BABABACsincoscossin)sin(sin 3 1 3 6 3 6 ) 3 3 ( 3 3 ， 因此，ABC的面积 2 23 3 1 233 2 1 sin 2 1 CabS. (18)（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥PABCD中， 1 , 2 APPCD ADBC ABBCAD E F平面分别为线段 ,A
15、D PC的中点. （）求证：APBEF平面； （II）求证：BEPAC 平面. （18） 【解析】 ： （）连接 AC 交 BE 于点 O，连接 OF，不妨设 AB=BC=1,则 AD=2 ,/,BCADBCAB 四边形 ABCE 为菱形 APOFPCACFO/,中点，分别为 又BEFAPBEFOF平面，平面/ （）CDAPPCDCDPCDAP,平面，平面 CDBEBCDEEDBCEDBC/,/为平行四边形，,PABE ACBEABCE为菱形，又 A F C D B P E PACACPAAACPA平面、又,PACBE平面 (19) （本小题满分 12 分） 在等差数列 n a中，已知公差2d
16、 ， 2 a是 1 a与 4 a的等比中项. （）求数列 n a的通项公式； （II）设 (1) 2 nn n ba ，记 1234 ( 1)n nn Tbbbbb ，求 n T. （19） 【解析】 ： （）由题意知： n a为等差数列，设dnaan1 1 ， 2 a为 1 a与 4 a的等比中项 41 2 2 aaa且0 1 a，即daada3 11 2 1 ，2d 解得：2 1 a nnan22) 1(2. （）由 （）知：nan2，) 1( 2 )1( nnab nnn 当 n 为偶数时： 2 2 2 2 2 2 6422 2262422 11534312 1433221 2 nn n
17、 n n n nnn nnTn 当 n 为奇数时： 2 12 1 2 2 1 12 2 116422 121262422 121534312 1433221 2 nn nn n n nnn nnn nnnnn nnTn 综上： 为偶数 为奇数， n nn n nn Tn , 2 2 2 12 2 2 (20) （本小题满分 13 分） 设函数 1 ( )ln 1 x f xax x ，其中a为常数. （）若0a ，求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （II）讨论函数( )f x的单调性. (20)【解析】(1)0a 当时,)., 0(, 1 1 )( x x x xf 此时
18、2 ) 1( 2 )( x xf 2 21 (1) (1 1)2 f (1)0(1,0)f 又直线过点 11 22 yx (2) 2 2 ( )(0) (1) a fxx xx 2 2 0( )0. ( ) (1) afxf x x 当时，恒大于在定义域上单调递增. 2 22 2(1)2 0( )=0. ( ) (1)(1) aa xx afxf x xxx x 当时，在定义域上单调递增. 22 1 0(22)4840,. 2 aaaaa 当时，即 ( )f x开口向下，在定义域上单调递减。 1,2 1(22)84121 00. 22 aaaa ax aa 当时， 12 221 10.10 2
19、 a xx x aa 对称轴方程为且 121121121 ( )(0,)(,) 1+ 21 (+ ) aaaaaa f x aaa aa a 在单调递减，单调递增， ，单调递减。 0( )0( ) 11121 ( )0( )(0,) 22 1211211+ 21 (,)(+ ) af xaf x aa af xaf x a aaaaaa aaa 综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递增 时，在定义域上单调递减；时，在单调递减， 单调递增，单调递减。 (21)（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2
20、，直线yx被椭 圆C截得的线段长为 4 10 5 . （）求椭圆C的方程； （II）过原点的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点（A，B 不是椭圆 C 的顶点）. 点 D 在椭圆 C 上， 且ADAB，直线 BD 与x轴、y轴分别交于 M，N 两点. （i） 设直线 BD， AM 的斜率分别为 12 ,k k， 证明存在常数使得 12 kk， 并求出的值； （ii）求OMN面积的最大值. (21)【解析】 （I）由题意知 2 3 22 a ba ，可得 22 4ba ， 椭圆 C 的方程简化为 222 4ayx. 将xy 代入可得 5 5a x， 1, 2, 5 104 5 52 2ba a ，
21、 所以椭圆 C 的方程为. 1 4 2 2 y x (II)(i)设),(),0)(,( 221111 yxDyxyxA则),( 11 yxB， 因为直线 AB 的斜率. 1 1 x y kAB ,ADAB 所以直线 AD 的斜率. 1 1 y x k 设直线 AD 的方程为,mkxy 由题意知. 0, 0mk 联立 044 22 yx mkxy 得. 0448)41 ( 222 mkmxxk . 41 2 2)(, 41 8 2 121 2 21 k m mxxkyy k km xx 由题意知 21 xx， . 44 1 1 1 21 21 1 x y kxx yy k 所以直线 BD 的方
22、程为)( 4 1 1 1 1 xx x y yy， 令0y，得 1 3xx ，即).0 ,3( 1 xM , 2 1 , 2 21 1 1 2 kk x y k即. 2 1 所以，存在常数. 2 1 使得结论成立. （ii）直线 BD 的方程)( 4 1 1 1 1 xx x y yy， 令0x，得 1 4 3 yy，即). 4 3 , 0( 1 yN 由(i)知)0 ,3( 1 xM， 可得OMN的面积. 8 9 4 3 3 2 1 1111 yxyxS , 1 4 2 1 2 1 11 y x yx当且仅当 2 2 2 1 1 y x 时等号成立， 此时 S 取得最大值 8 9 ， 所以OMN面积的最大值为 8 9 .
