1、（易错题精选）初中数学二次函数专项训练一、选择题1如图是二次函数的图象，其对称轴为.下列结论：；若是抛物线上两点，则.其中正确的结论有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】【分析】由抛物线开口方向得到a0，根据对称轴得到b=-2a0，由抛物线与y轴的交点位置得到c0，则可对进行判断；由b=-2a可对进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对进行判断；通过二次函数的增减性可对进行判断【详解】解：抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线 ，b=-2a0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，所以错误；b=-2a，
2、2a+b=0，所以正确；抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），当x=3时，y=0，所以错误；抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下，当x时，y随x的增大而增大点 到对称轴的距离比点 对称轴的距离近，y1y2，所以正确故选B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴
3、在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由决定：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点2函数，当与时函数值相等，则时，函数值等于()A5BCD5【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称性，求得函数的对称轴，进而判断与的函数值相等时的值，由此可得结果【详解】函数，当与时函数值相等，函数的对称轴为：，与的函数值相等，当时，即时，函数值等于，故选：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键3抛物线y1=ax2+
4、bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：abc0；a+b+c0；5a-c=0；当x或x6时，y1y2，其中正确的个数有（） A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a0，b0，c0，则abc0，则正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则错误；根据函数对称轴可得：-=3，则b=-6a，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a大
5、于零，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与x轴交于正半轴，则c大于零，如果函数与x轴交于负半轴，则c小于零；对于出现a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.4若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”例如：P（1，0）、Q（2，2）都是“整点”抛物线ymx24mx+4m2（m0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与
6、线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（）Am1Bm1C1m2D1m2【答案】B【解析】【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围【详解】ymx24mx+4m2m（x2）22且m0，该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，2），对称轴是直线x2由此可知点（2，0）、点（2，1）、顶点（2，2）符合题意当该抛物线经过点（1，1）和（3，1）时（如答案图1），这两个点符合题意将（1，1）代入ymx24mx+4m2得到1m4m+4m2解得m1此时抛物线解析式为yx24x+2由y0得x24x+20解得 x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意则当m1时，恰好有 （1，0）
7、、（2，0）、（3，0）、（1，1）、（3，1）、（2，1）、（2，2）这7个整点符合题意m1【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m1时） 答案图2（ m时）当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意此时x轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意将（0，0）代入ymx24mx+4m2得到004m+02解得m此时抛物线解析式为yx22x当x1时，得点（1，1）符合题意当x3时，得.点（3，1）符合题意综上可知：当m时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，1）、（3，1）、（2，2
8、）、（2，1）都符合题意，共有9个整点符合题意，m不符合题m综合可得：当m1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键.5如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；，其中正确的结论是 ABCD【答案】D【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以；时，由图像可知此时，所以；由对称轴，可得；当时，由图像可知此时，即，将代入可得.【详解】根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以，故正确.时，由图像可知此
9、时，即，故正确.由对称轴，可得，所以错误，故错误；当时，由图像可知此时，即，将中变形为，代入可得，故正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。6某二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点，且若此函数图象通过、四点，则、之值何者为正？（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x轴的交点坐标，从而可以判断a、b、c、d的正负，本题得以解决【详解】二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6，该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，图形与x轴的交点为（2-3，0）=（-1，
10、0），和（2+3，0）=（5，0），此函数图象通过（1，a）、（3，b）、（-1，c）、（-3，d）四点，a0，b0，c=0，d0，故选：D【点睛】此题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答7二次函数（0）图象如图所示，下列结论：0；0；当1时，；0；若，且，则2其中正确的有（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a0；抛物线的对称轴为x=1，则-=
11、1，b=-2ab0，2a+b=0 抛物线交y轴于正半轴，则c0；由图像知x=1时 y=a+b+c是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m1 y=+c不是顶点纵坐标，不是最大值 （故正确）：b0，b+2a=0；（故正确） 又由得：abc0 （故错误）由图知：当x=-1时，y0；即a-b+c0，ba+c；（故错误）若得-()=-ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-x2)=a(x1+x2)（x1-x2）+b(x1-x2)= （x1-x2）a(x1+x2)+b= 0a(x1+x2)+b=0x1+x2=2 （故正确）故选D考点：二次函数图像与系数的关系.8四位同学在研究函数（是常数）时，甲发现
12、当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A甲B乙C丙D丁【答案】B【解析】【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论【详解】解：A假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确由乙、丁同学的结论可得解得：二次函数的解析式为：当x=时，y的最小值为，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=70此时符合假设条件，故本选项符合题
13、意；C 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确由甲乙的结论可得解得：当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；D 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为当x=-1时，解得y=70，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意故选B【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键9如图，矩形的周长是，且比长若点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，当一个点到达点时，另一个点也随之停止运动若设运动时间为，的面积为，则与之间的函数图
14、象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】先根据条件求出AB、AD的长，当0t4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，计算S与t的关系式，分析图像可排除选项B、C；当4t6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，计算S与t的关系式，分析图像即可排除选项D，从而得结论【详解】解：由题意得，可解得，即，当0t4时，Q在边AB上，P在边AD上，如图1，SAPQ=，图像是开口向上的抛物线，故选项B、C不正确；当4t6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2，SAPQ=， 图像是一条线段，故选项D不正确；故选：A【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，
15、解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式10若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*baba+b，如：3*2323+25以下说法中错误的是（）A不等式（2）*（3x）2的解集是x3B函数y（x+2）*x的图象与x轴有两个交点C在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数D方程（x2）*35的解是x5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*（a+1）a（a+1）a+（a+1）a2+a+1（a+）2+0，由此即可判定选项C；根据
16、题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】a*baba+b，（2）*（3x）（2）（3x）（2）+（3x）x1，（2）*（3x）2，x12，解得x3，故选项A正确；y（x+2）*x（x+2）x（x+2）+xx2+2x2，当y0时，x2+2x20，解得，x11+，x21，故选项B正确；a*（a+1）a（a+1）a+（a+1）a2+a+1（a+）2+0，在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；（x2）*35，（x2）3（x2）+35，解得，x3，故选项D错误；故选D【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的
17、关键.11抛物线y=x2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：x21012y04664从上表可知，下列说法错误的是A抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0)B抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)C抛物线的对称轴是直线x=0D抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C【解析】【分析】【详解】解：当x=-2时，y=0，抛物线过（-2，0），抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），故A正确；当x=0时，y=6，抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，对称轴为x=，故C错误；当x时，y随x的增大而增大，抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C1
18、2函数在同一直角坐标系内的图象大致是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除【详解】当a0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-0，且a0，则b0，但B中，一次函数a0，b0，排除B故选C13已知二次函数yax2bxc的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ）c0；b24ac0； abc0；当x1时，y随x的增大而减小A4个B3个C2个D1个【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y
19、轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：由图象可知，a0，c0，故正确；抛物线与x轴有两个交点，则b-4ac0,故错误;当x=-1时，y0,即a-b+c0， 故正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故错误故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左
20、； 当a与b异号时，对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数由判别式确定：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点14已知抛物线y=x2+2x上三点A（5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）Ay1y2y3 By3y2y1 Cy2y1y3 Dy3y1y2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解
21、；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定.【详解】抛物线y=x2+2x，x=-1，而A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），B离对称轴最近，A次之，C最远，y2y1y3故选:C【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键15在函数，的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解【详解】y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函数符合条件故选：B【点
22、睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键16平移抛物线得到抛物线，使得抛物线的顶点关于原点对称的点仍在抛物线上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线的是（ ）A向右平移1个单位，再向下平移2个单位B向左平移1个单位，再向下平移2个单位C向左平移个单位，再向下平移个单位D向左平移3个单位，再向下平移9个单位【答案】D【解析】【分析】通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可【详解】解：由A选项可得为：，则顶点为（1，-2），顶点（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2），当x-1时，y2，则对称点在该函数图像上，故A选项不符合
23、题意；由B选项可得为：，则顶点为（-1，-2），顶点（-1，-2）关于原点的对称点为（1，2），当x1时，y2，则对称点在该函数图像上，故B选项不符合题意；由C选项可得为：，则顶点为（-，-），顶点（-，-）关于原点的对称点为（，），当x时，y，则对称点在该函数图像上，故C选项不符合题意；由D选项可得为：，则顶点为（-3，-9），顶点（-3，-9）关于原点的对称点为（3，9），当x3时，y279，则对称点不在该函数图像上，故D选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键17如图1，在ABC中，B90，C30，动点P从点B开
24、始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设BPQ的面积为y（cm2）运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A2B4C2D4【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：，根据x2，y6，确定P、Q运动的速度，即可求解【详解】解：设ABa，C30，则AC2a，BCa，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为，点Q的速度为，故点P、Q的速度比为3：，故设点P、Q的速度分别为：3v、v，由图2知，当x2时，y6，此时点P到达点A的位置，即AB23v6v，BQ2v2v，yABBQ6v2
25、v6，解得：v1，故点P、Q的速度分别为：3，AB6v6a，则AC12，BC6，如图当点P在AC的中点时，PC6，此时点P运动的距离为AB+AP12，需要的时间为1234，则BQx4，CQBCBQ642，过点P作PHBC于点H，PC6，则PHPCsinC63，同理CH3，则HQCHCQ32，PQ2，故选：C【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解18如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中2x11，0x21下列结论：4a2b+c0；2ab0；abc0；b2+8a4a
26、c其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】【分析】首先根据抛物线的开口方向可得到a0，抛物线交y轴于正半轴，则c0，而抛物线与x轴的交点中，2x11、0x21说明抛物线的对称轴在10之间，即x=1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【详解】由图知：抛物线的开口向下，则a0；抛物线的对称轴x=1，且c0； 由图可得：当x=2时，y0，即4a2b+c0，故正确； 已知x=1，且a0，所以2ab0，故正确； 抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，又c0，故abc0，所以不正确； 由于抛物线的对称轴大于1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：2，由于a0
27、，所以4acb28a，即b2+8a4ac，故正确； 因此正确的结论是 故选：C【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键19如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：；.其中，正确结论的个数是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论【详解】解：根据图象可知a0，c0，b0，, 故错误；.B（-c，0）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-
28、2，0）和B（-c，0）两点， ， ac2-bc+c=0 ，ac-b+1=0，故正确；，b=ac+1,2b-c=2，故正确；故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由决定：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b
29、2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点20已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结i论：abc0；b24ac0；2a+b0；ab+c0其中正确的结论有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b24ac的取值范围，根据x1函数值可以判断【详解】解：抛物线开口向下，对称轴，抛物线与轴的交点在轴的上方，故错误；抛物线与轴有两个交点，故正确；对称轴，故正确；根据图象可知，当时，故正确；故选：【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键
