1、第四章：基本平面图形4.1 线段、射线、直线1线段、射线、直线的概念(1)线段概念：铅笔、人行横道线和路旁的电线杆都可以近似地看做线段，下图就是一条线段线段的特征：线段是直的；线段有2个端点；线段的长度是有限的，可度量线段可以向两方无限延长；线段是没有粗细之分的(2)射线概念：射线可以看做由线段向一个方向无限延长形成的图形如图，把线段AB向一个方向无限延伸， 就是一条射线射线的特征：射线是直的；射线有一个端点；因射线向一个方向无限延长，所以射线没有长短， 不可测量射线可以反向延长；射线没有粗细之分(3)直线概念：直线可以看做由线段向两个方向无限延长形成的直线的特征：直线是直的；直线没有端点；向
2、两个方向无限延长，没有长短，不可测量因为直线是线段向两个方向无限延长形成的，所以我们不能说延长某条直线，即直线不能延长【例1】 下列说法正确的有( )画一条射线等于5 cm；线段AB为直线AB的一部分；在直线、射线、线段中，线段最短；射线与其反向延长线形成一条直线A1个 B2个C3个 D4个2.线段、射线、直线的表示方法(1)线段的表示方法用两个表示端点的大写字母来表示如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”用一个小写字母来表示如线段AB也可记作“线段a”(2)射线的表示方法用两个大写字母表示一条射线可用它的端点和射线上的另一点来表示，如图中的射线，可记作“射线AB”(端点
3、必须在前面)射线的识别：判断两条射线是否是同一条射线，首先看端点是否相同，再看延伸方向是否相同，如果这两点都符合，那么这两条射线是同一条射线端点相同，延伸方向也相同的射线是同一条射线，如图射线MB，MC，MN都表示同一条射线端点相同，但延伸方向不相同的射线不是同一条射线，如图中射线AB，AC就不是同一条射线端点不同的射线不是同一条射线，如图中的射线BN，CN的延伸方向一致，但端点不同，所以不是同一条射线【例21】 射线OA，OB表示同一条射线，下面的图形正确的是( ) (3)直线的表示方法直线有两种表示方法：可以用表示这条直线上任意两个点的大写字母来表示，注意表示直线上任意两个点的字母没有顺序
4、性如图甲中的直线可记作“直线AB”或“直线BA”；可用一个小写字母来表示，如图乙中的直线可记作“直线l”图甲图乙辨误区 线段、射线、直线的联系表示线段、射线、直线时，都要在字母前面注明“线段、射线或直线”；用两个大写字母表示线段和直线时，两个字母没有顺序性，可以交换位置，如“线段BA”和“线段AB”表示同一条线段，“直线AB”和“直线BA”表示同一条直线；表示射线的两个大写字母有一定的顺序，表示端点的字母必须写在前面【例22】 如图所示，下列说法( )A都错误 B都正确 C只有一个正确 D有两个正确3直线的性质(1)经过两点有且只有一条直线 它包含两层含义：一是“肯定有”，二是“只有一条”，不
5、会有两条、三条； 它可简单地说成“两点确定一条直线”(2)直线的其他性质：经过一点的直线有无数条；不同的两条直线最多有一个交点【例3】 工人师傅要将一块长条钢板固定在机器上，则至少要用_个螺钉4射线、线段的计数方法 射线和线段可以看做直线的一部分，因此在一条直线上，取一些点时，会出现射线和线段(1)点数与射线的条数射线向一方无限延伸，因此射线的条数是由端点的个数决定的在直线上，以一个点为端点的射线有2条，若直线上有n个点，则共有2n条射线(2)点数与线段的条数线段有两个端点，直线上每两个点之间的部分就是一条线段因此，数线段时，只要判断这些点共有多少种组合即可析规律 数线段条数的方法确定线段的条
6、数时，可以先固定第一个点为一个端点，再以其余的点为另一个端点组成线段，然后固定第二个点为一个端点，与其余的点(第一个点除外)组成线段，依此类推，直到找出最后的线段为止【例4】 画出线段AB：(1)如图(1)，在线段AB上画出1个点，这时图中共有几条线段？(2)如图(2)，在线段AB上画出2个点，这时图中共有几条线段？(3)如图(3)，在线段AB上画出3个点，这时图中共有几条线段？(4)如图(4)，在线段AB上画出n个点时，猜一猜：图中共有几条线段？5直线性质的应用 生活中的很多实际问题要用到直线的性质，如木工师傅在锯木料之前，先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹条墨线，就是利用了直线的“两点
7、确定一条直线”的性质，沿着这条线能锯成直的，而不会歪斜【例5】 建房屋垒墙时，建筑工人都要在墙的两端固定绳子，请利用所学的知识，说明其中道理6.与直线有关的规律探究 (1)两点确定一条直线，在同一平面内，不同的点可以确定不同的直线当任意三点均不在同一直线上时，点数与直线条数的关系见下表：点的个数最多直线条数213346n(n1)(2)平面上若有n(n1)条直线两两相交，则交点个数最多有n(n1)个【例6】平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出另外三种不同情 况的图形4.2比较线段的长短1线段的性质（1）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。（
8、2）线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短。简述为：两点之间，线段最短。延伸拓展 距离是指两点之间线段的长度，是一个非负数，而不是线段本身。比如两点之间的距离不能说成是线段，而应说成线段的长度。 连接两点的线有无数条，线段的长度最短。连线是指以两个点为端点的任意线，包括线段，折线和曲线。连接是指画线段。【例1-1】已知线段，在线段上截取，则 【例1-2】如图是两地之间的公路，在公路工程改造时，为使两地行程最短，请在图中画出改造后的公路，并说明你的理由。2. 线段的画法（1）尺规作图法 用直尺和圆规作一条线段等于已知线段。 如图，其作法是：画射线；在射线上用圆规截取线段，则线段就是所求作的线
9、段。 上面作法中的“截取”是指以点为圆心，以的长度为半径画弧，角射线于点；尺规作图要保留作图痕迹，最后要指出所求作的图形；注意画线段时，不要向任何一方延伸。（2）度量法 用刻度尺画一条线段等于已知线段。画法是：先用刻度尺量出已知线段的长度，再画一条线段，使其长度等于线段的长度。延伸拓展 线段和差的画法 已知两条线段。这两条线段和的画法是：先画线段；在线段的延长线上截取，则线段就是线段的和，即，如图1. 两条线段差的画法：先画线段；再在线段上截取，则线段就是线段的差，即，如图2.【例2】已知线段，用直尺和圆规作一条线段，使这条线段等于。3. 线段的中点 线段的中点：把线段分成相等的两条线段的点叫
10、做线段的中点。 如图，为线段的中点，则或。延伸拓展 类似的，还有线段的三等分点、四等分点等。 三等分点，把线段分成相等的三条线段叫做线段的三等分点； 四等分点，把线段分成相等的四条线段叫做线段的四等分点；四等分点，把线段分成相等的四条线段叫做线段的四等分点；【例3】若是线段的中点，则（ ） A. B. C. D.4. 线段长短的比较 借助不同的方法比较两条线段的长短。【例4-1】如图，若，则与的大小关系是（ ）【例4-2】已知三角形，试比较与的大小关系。 5. 线段的有关计算 线段的有关计算是以后学习几何知识的前提。【例5-1】如图所示，已知，分别是的中点，且，求的长。【例5-2】如图，已知点
11、在线段上，线段，点分别是的中点。（1）求线段的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，你能猜出的长度吗？请表述你发现的规律。6. 线段性质的应用 线段的性质在生活和生产中应用非常广泛，可以根据“两点之间，线段最短”确定位置。【例6-1】某地区有四个村庄如图所示，为了解决当地的缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你帮忙画出蓄水池的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。【例6-2】如图所示，有一个正方体纸盒，在点处有一只小虫，它要爬到点处吃食物，应该沿着怎样的路线，才能使行程最短？你能设计出这条路线吗？7. 易错辨析【例7-1】若，则点是线段的中点，这种说法
12、正确吗？为什么？【例7-2】已知线段，点在直线上，且，点为线段的中点，求线段 的长度。4.3角1角的定义(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角如图甲角的有关概念：顶点：两条射线的公共端点边：组成角的两条射线(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形如图乙谈重点 角的理解(1)角有两个特征：角是由两条射线组成的；这两条射线有公共的端点(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关【例1】下列说法错误的有( )有公共点的两条射线形成的图形是角 从一点引
13、出的两条射线形成的图形是角角的大小与两边所画的长度有关 线段绕着一个端点旋转也可以形成角A1个 B2个C3个 D4个2角的表示方法及画法 角的表示方法有四种(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的AOB也可记为O.(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的AOB可记为1.(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(，等)
14、，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的BOC可记为.这种方法与数字表示法实际上是一样的释疑点 表示角时的注意事项以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“”表示角所用的符号“”，不能写成小于号“”当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O为顶点的角有1，AOC，就不能用O来表示了否则，就会产生混乱3平角、周角(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180， 、 如图1.(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角周角等 于360.(3)平角与周角的关系：一周角等于两
15、平角平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角角必须有顶点和两边【例3】 下列说法是否正确，为什么？平角是一条直线； 钟表上的分针经过1小时形成一个周角4度、分、秒的换算(1)角的单位及意义角的单位是度、分、秒意义：把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1；把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1；把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1.(2)度、分、秒的进率及换算方法度、分、秒的进率是60.即160，160，1603 600.度分秒(3)度、分、秒有关的计算度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制在运算中满60才向
16、高位进1，而借1则表示低位的60.在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位【例41】 (1)用度、分、秒表示48.13为_； (2)用度表示23936为_【例42】 计算：(1)13297837； (2)613922532； (3)23533； (4)107435.5.角的计数方法数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数常用的有两种方法：始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的
17、所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角【例5】 如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来6角的应用 角在生活和生产中随处可见本节的有关角的应用主要是钟表中的角钟面上共有12个大格，把周角平均分，即3601230.钟表面上有60个小格，360606.因此，时针每小时转动30，分针每分钟转动6.时针与分针的夹角的求法：先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30.用30乘大格数特别注意：从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如
18、2：50.从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加时针每分钟转30600.5.【例6】 如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数4.4角的比较1角的大小比较(1)度量法：先用量角器测量出各角的度数，再按照角的度数比较大小，从而确定两个角的大小关系(2)叠合法：两个角比较大小时，把两个角的顶点和一条边分别重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一条边的位置确定角的大小如比较ABC和DEF的大小，可把DEF移到ABC上，使它的顶点E和ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，另一边EF和BC落在BA的同一侧如果EF和BC重合(如图1)，那么D
19、EF等于ABC，记作DEFABC；如果EF落在ABC的外部(如图2)，那么DEF大于ABC，记作DEFABC；如果EF落在ABC的内部(如图3)，那么DEF小于ABC，记作DEFABC.【例1】 如图，求解下列问题：(1)比较COD和COE的大小；(2)借助三角尺，比较EOD和COD的大小；(3)用量角器度量，比较BOC和COD的大小2角的平分线(1)定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线角平分线是以角的顶点为端点的特殊射线，它在角的内部；角平分线把角分成两个相等的角(2)角平分线的表示：OC是AOB的平分线；AOCCOBAOB，AOB2AOC
20、2COB.(3)作角平分线的方法：利用量角器量出角的度数，取角的度数的一半并画出射线；折叠：把已知角的两边重合后再折叠，可得已知角的平分线【例2】 如图，已知AOC80，BOC50，OD平分BOC，求AOD.3角平分线及角的和、差计算(1)角的和、差的意义如图，和：AOB12；差：1AOB2，2AOB1.(2)角平分线及角的和、差计算与角有关的计算，是本节的重点，也是易错点解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，把未知量转化为已知量(3)三角板中角的和与差一副三角板有两块，一块含30角，60角，90角；一块含45角，45角，90角借助于三角板，即
21、可以画出上面的角利用三角板和角的和、差，还可以得到以下度数的角：15，75，105，120，135，150，165.【例31】 已知AOB30，BOC20，则AOC的角度是_【例32】 如图，AOC为一直线，OD是AOB的平分线，BOEEOC，DOE72，求EOC 的度数4角的分类(1)角的分类：根据角的度数，常常把大于0而小于180的角分为锐角、直角、钝角三类(2)各种角的规定：锐角：大于0且小于90的角直角：等于90的角钝角：大于90且小于180的角平角：等于180的角周角：等于360的角(3)角之间的关系：锐角直角钝角平角周角1平角2直角180；1周角2平角4直角360.若没有特别说明，
22、我们平常所说的角是指小于平角的角【例4】 如图，解答下列问题：(1)比较图中AOB，AOC，AOD的大小；(2)找出图中的直角、锐角和钝角4.5多边形和圆的初步认识1 多边形和多边形的对角线多边形的定义：由若干条不在同一直线上的线段首位顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。多边形的重要特征：多边形是封闭图形；多边形是平面图形。如图，三角形、四边形、五边形、六边形等都满足多边形的定义，是多边形。多边形的对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。如图都是多边形的对角线。是多边形的内角。边形的基本性质：任意一个边形都具有如下特征：有个顶点；有条边；有个内角；从任意一个顶点引对角线时有
23、条对角线，把边形分成个三角形。边形的对角线的总条数为。 思考为什么？【例1-1】一个多边形从一个顶点能引12条对角线，则这个多边形为 边形；【例1-2】九边形的对角线的条数是 。2. 正多边形 正多边形的定义：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形的特征：各边相等；各个角相等。 如图分别是：正三角形，正四边形（正方形），正五边形，正六边形，正八边形。【例2】下列说法正确的有 个 由四条线段首位顺次相接组成的图形是四边形； 各边都相等的多边形是正多边形； 各角都相等的多边形是正多边形；3. 圆与扇形 如图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。
24、 固定的端点称作圆心，线段称作半径，过圆心且两端点在圆上的线段乘坐直径。 圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称“弧”，记作，读作：“圆弧”或“弧”； 由弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆心角。延伸拓展：圆可以看作是圆心角为的扇形；圆心角的取值为。【例3-1】如左下图，将圆平均分成四份，则 度； 答：燃烧的蜡烛变得越来越短，发光发热并伴有气体生成。【例3-2】如右上图所示，在一个圆中任意画4条半径，可以把这个圆分成几个扇形？7、将铁钉的一部分浸入硫酸铜溶液中，有什么现象？过一会儿，取出铁钉，我们又观察到了什么现象？（P36）7、月球的明亮部分，上半月朝西，下半
25、月朝东。4、日常生活中我们应该如何减少垃圾的数量？4. 多边形的对角线条数从任意一个顶点引对角线时有条对角线，把边形分成个三角形；边形的对角线的总条数为。答：这个垃圾场不仅要能填埋垃圾，而且要能防止周围环境和地下水的污染。【例4-1】填空：（1）十边形有 个顶点， 个内角，从一个顶点可画 条对角线，它共有 条对角线；（2）从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是 边形。9、物质的变化一般分为物理变化和化学变化。化学变化伴随的现象很多，最重要的特点是产生了新物质。物质发生化学变化的过程中一定发生了物理变化。【例4-2】阅读下列材料并填空。平面上有个点，任意三个点不在同一直线
26、上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三14、在显微镜下观察物体有一定的要求。物体必须制成玻片标本，才能在显微镜下观察它的精细结构。角形？3、我们在水中发现了什么微生物呢？（P18）（1）分析：当有3个点时，可作几个三角形？当有4个点时，可作几个三角形，当有5个点时刻作几个6、蚜虫是黄色的，在植物的嫩枝上吸食汁液，每个蚜虫只有针眼般大小，在10倍放大镜下我们可以看清它们的肢体。三角形？（2）归纳：观察点的个数和可作出的三角形的个数。填写下表。3、我们在水中发现了什么微生物呢？（P18）点的个数/个可作出的三角形个数/个3455. 圆心角 利用圆心角性质求度数。【例5-1】如左下图，把一个圆分成五个扇形，求每个扇形的圆心角度数。 【例5-2】如右上图，在两个同心圆中，两圆半径分别为，求阴影部分的面积。 【例5-3】下列说法正确的是 扇形是圆的一部分；圆的一部分是扇形；扇形的周长等于它的弧长；圆心角不能等于180。
