1、导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 直角三角形的性质和判定1.1 直角三角形的性质和判定（）第1章 直角三角形1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）学习目标2.掌握直角三角形的判定及推论.（难点）3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）导入新课导入新课 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了”“为什么？”老二很纳闷.你知道其中的道理吗？内角三兄弟之争情境引入 老大的度数为90，老二若是比老大
2、的度数大，那么老二的度数要大于90，而三角形的内角和为180，相互矛盾，因而是不可能的.在这个家里，我是永远的老大.问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?30+60=9045+45=90讲授新课讲授新课直角三角形的两个锐角互余一问题引导问题2：如图，在RtABC中，C=90，两锐角的和等于多少呢？在RtABC中，因为 C=90，由三角形内角和定理，得A+B+C=90,即A+B=90.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ABC直角三角形的两个锐角互余u应用格式：在RtABC 中，C=90，A+B=90直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角
3、形ABC 可以写成RtABC 总结归纳方法一（利用平行的判定和性质）：B=C=90，ABCD，A=D.方法二（利用直角三角形的性质）：B=C=90，A+AOB=90，D+COD=90.AOB=COD，A=D.例1（1）如图，B=C=90，AD交BC于点O，A 与D有什么关系？图典例精析解：A=C.理由如下：B=D=90，A+AOB=90，C+COD=90.AOB=COD，A=C.（2）如图，B=D=90，AD交BC于点O，A与 C有什么关系？请说明理由.图与图有哪些共同点与不同点？例2 如图，C=D=90,AD,BC相交于点E.CAE与DBE有什么关系？为什么？ABCDE解：在RtACE中，C
4、AE=90-AEC.在RtBDE中,DBE=90-BED.AEC=BED，CAE=DBE.解：CDAB于点D，BEAC于点E，BEA=BDF=90，ABE+A=90，ABE+DFB=90.A=DFB.DFB+BFC=180，A+BFC=180.【变式题】如图，ABC中，CDAB于D，BEAC于E，CD，BE相交于点F，A与BFC又有什么关系？为什么？思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？基本图形A=CA=D总结归纳问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在ABC中，A+B=90，那么ABC是直角三角形吗？在在ABC中，因为中，因为 A+B+C=180，又又A+B=90，
5、所以，所以C=90.于是于是ABC是直角三角形是直角三角形.有两个角互余的三角形是直角三角形二ABC应用格式：在ABC 中，中，A+B=90，ABC 是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形.总结归纳典例精析例3 如图，C=90,1=2，ADE是直角三 角形吗？为什么？ACBDE(12解：在RtABC中，2+A=90.1=2,1+A=90.即ADE是直角三角形.例4 如图，CEAD，垂足为E，A=C，ABD是 直角三角形吗？为什么？解：ABD是直角三角形.理由如下：CEAD，CED=90，C+D=90，A=C，A+D=90，ABD是直角三角形.问题：如图，画一个RtABC，并作出斜边AB上
6、的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半三我测量后发现CD=AB.12线段CD 比线段AB短.猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.试给出数学证明.图1-4 如图1-3，如果中线CD=AB，则有DCA=A.由此受到启发，在图1-4 的RtABC中，过直角顶点C作射线 交AB于 ，使 ，12CD=ADD =AD CA则 .CD图1-3证一证 点D是斜边上的中点，即CD 是斜边AB的中线.A+B=90，又 90D CA+D CB，BD CB.CD=BD.故得12CD=AD=BD=AB.从而CD与CD 重合，且CDAB.12
7、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.性质性质例5 已知：如图，CD是ABC的AB边上的中线，且 .求证：ABC是直角三角形.12CDAB 证明：12CDAB=BD=AD,1=A，2=B.A+B+ACB=180，即A+B+1+2=180，2(A+B)=180.A+B=90.ABC是直角三角形.例6 如图，在ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点(1)若AB10，AC8，求四边形AEDF的周长；解：AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，DEAE AB 105，DFAF AC 84，四边形AEDF的周长AEDEDFAF 554418；12121212(2)求证：EF垂直平分AD
8、.证明：DEAE，DFAF，E、F在线段AD的垂直平分线上，EF垂直平分AD.当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解归纳如图，在ABC中,ABC=90,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=_cm;(2)若C=30,AB=5cm,则AC=_cm,BD=_cm.ABCD6105练一练归纳总结体现直角三角形斜边上中线的性质的常见图形1.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中1+2的度数是_.902.如图，AB、CD相交于点O，ACCD于点C，若BOD=38，则A=_.52第1题图第2题图当堂练习当堂练习3.在ABC
9、中，若A=43，B=47，则这个三角形是_.直角三角形4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40，则另 一个锐角的度数是（）A40 B50 C60 D70 B5.具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是 （）AA+B=C BA-B=C CA：B：C=1：2：3 DA=B=3C D6.如图所示，ABC为直角三角形，ACB=90，CDAB，与1互余的角有（）AB BA CBCD和A DBCD C7.如图，在直角三角形ABC中，ACB=90，D是AB上一点，且ACD=B求证：ACD是直角三角形证明：ACB=90，A+B=90，ACD=B，A+ACD=90，ACD是直角三角形.8.如图，已知BD，CE是ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GFDE.解：连接EG，DG.BD，CE是ABC的高，BDCBEC90.点G是BC的中点，EG BC，DG BC.EGDG.又点F是DE的中点，GFDE.1212 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题归纳课堂小结课堂小结直角三角形的性质与 判 定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
