1、5.1 二次根式第5章 二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（XJ）教学课件第1课时 二次根式的概念及性质学习目标1.了解二次根式的定义；2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件；（重点）3.掌握二次根式的两条重要性质（重点、难点）导入新课导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河复习引入问题1 什么叫做平方根?一般地，如果一个数的平方等于a，那
2、么这个数叫做a的平方根.问题2 什么叫做算术平方根?如果 x2=a（x0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.(0)a a 问题3 什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_m；若面积为S m2，则边长为_m(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m 图图2S3（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2，如果用含有h 的式子表示 t，
3、那么t为_5h问题1 这些式子分别表示什么意义？5h分别表示2，S，3，的算术平方根 上面问题中，得到的结果分别是：，2S35h讲授新课讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一根指数都为2;被开方数为非负数.问题2 这些式子有什么共同特征？归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.(0)aa 两个必备特征外貌特征：含有“”内在特征：被开方数a 0注意：a可以是数，也可以是式.例1 下列各式是二次根式吗?典例精析(1 1)3 32 2,(2 2)6 6,(3 3)1 12 2,1a 2 23 3(6 6),(7 7)5 5是不是不是mxy(4 4)-(5 5)，（x,y异
4、号）不是不是是不是不含二次根号被开方数是负数当m0时被开方数是负数xy0非负数+正数恒大于零根指数是3例2 当x是怎样的实数时,在实数范围内有 意义?2x解：由x-20，得x2.当x2时，在实数范围内有意义.2x【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？111x（）；解：由题意得x-10，x1.3(2).1xx解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1.要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.归纳(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0
5、；A(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：.ABN00.0ABN；(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A0；BA(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A0且B0.1AB归纳总结1.下列各式：.一定是二次根式的个数有 （）2233;5;112721axxxx；;A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_;12x (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是_.12xxx 1 x 0且x2 练一练问题1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？2x3x前者x为全体实数；后者x为正数和0.当a0时，表示a的算术平
6、方根，因此 0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a0时，0.aaaaa问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？a二次根式的双重非负性二 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：a（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知 0.aa二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结例3 若 ，求a-b+c的值.223(4)0abc解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3
7、.多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析例4 已知y=,求3x+2y的算术平方根.338xx解：由题意得 x=3，y=8，3x+2y=25.25的算术平方根为5，3x+2y的算术平方根为53 030 xx，【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长3264baa解：由题意得a=3，b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=1130260aa，若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳yaab已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4
8、y的平方根24xy解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根为3.练一练问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？14算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a2()aa a01 1214我们都是非负数哟 （a0）的性质三2()a问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？算术平方根之门 平方之门 140 -4 -1 1 16 4 1 116142a2aa a为任意数我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.思考 你发现了什么？正方形的边长为 ，用边长表示正方形的面积为 ，又面积为a，即 .活动1 如图是
9、一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？a2aa2a这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？.算术平方根平方运算 0 2 4 .004213a(a0)a2)(a 02 =0 .1321133观察两者有什么关系？2 22=42222_1.322_;24_;20_;420根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由：是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于2的非负数.因此 .同理，分别是0,4，的算术平方根，即得上面的等式.2
10、222210,4,313归纳总结 的性质：2()(0)aa 一般地，a (a 0).2()a即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a典例精析例5 计算：2(1)(1.5);2(2)(2 5)；解：2(1)(1.5)1.5.222(2)(2 5)2(5)4 520.(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b2练一练 计算：22(1)(5)(2)(2 2).；解:2(1)(5)5 .222(2)(2 2)=2(2)=4 2=8.平方运算算术平方根 2 0.1 0 .449a(a0)2a2a 2 .23观察两者
11、有什么关系？0.010.10230 的性质四2a填一填：a(a0).2a .平方运算算术平方根 -2 -0.1 .4492a2a 2 .23观察两者有什么关系？0.010.123a(a0)思考：当a0时，=2a？-a归纳总结a(a0)2aa-a(a0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.的性质：2(0)aa 例6 化简：(1)16;2(2)(5)；解：2(1)1644.22(2)(5)55.2(3)10;2(4)(3.14).22111(3)10=10=10=10.2(4)(3.14)=3.14=3.14.，而3.14，要注意a的正负性.注意2aa 计算：22(1)(-2)(2)
12、(-1.2).；练一练解:22 1(-2)=2=2 ().().22 2 (-1.2)=1.2 =1.2().().辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错（）（）（）（）2222(1)22(2)22(3)22(4)22 议一议：如何区别 与？2a2()a2()a2a从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根例7 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:222.abab解：由数轴可知a0，b0，a-b0，原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.ab【变
13、式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.2244aabbab解：根据数轴可知ba0，a+2b0，a-b0，则=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b2244aabbab 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.注意例8 已知a、b、c是ABC的三边长，化简：222.abcbcacba解：a、b、c是ABC的三边长，a+bc，b+ca，b+ac，原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）=a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c分析：利用三角形三边关系三边长均为正数
14、，a+bc两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0当堂练习当堂练习2.式子 有意义的条件是 （）236xA.x2 B.x2 C.x2 D.x23.若 是整数，则自然数n的值有 （）A.7个 B.8个 C.9个 D.10个95nD1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CDa CA4.当x为何值时，在实数范围内有意义？解：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x30和分母x10，解得x3且x1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零113xx 5.计算：2 1 -3()()()()；25
15、2 2()().()().答案：3答案：54 6.计算：2 1 7 ()()；2 2 -3 ()()；23 3 -4 ()()；2 4 -0.01 ().().答案：7答案：3答案：0.0134 答答案案：6.若x，y是实数，且y ,求 的值.1112xx 11yy解：根据题意得，x=1.y ,y ，.1112xx 1211111yyyy 1 010 xx，课堂小结课堂小结二次根式二次根式的概念二次根式的表示二次根式有意义的条件被开方数0性质2()(0)aa a2(0)aa a应用5.1 二次根式第5章 二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（XJ）教学课件第2课时 二次根式的化
16、简1.能准确利用积的算术平方根的性质进行化简；（重点）2.能准确将二次根式计算的结果用最简二次根式表示出来.（难点）学习目标导入新课导入新课复习引入 1.的性质：2()(0)aa a (a 0).2()a2.的性质：2(0)aa a (a0).2a思考：的值为多少？94二次根式的化简（1），；，；662020949425162516填一填填一填有何发现？，6.480 ；（2）用计算器计算：6.4807676讲授新课讲授新课baab当a0，b0时，由于 222()()(),a baba b .a bab 验证发现要点归纳（a0，b0），baab积的算术平方根等于算术平方根的积例1 化简下列二次根
17、式(1)18(2)20(3)72.；解：;(1)18 9 2923 2;(2)204 54 52 5 22.(3)729 83222 3 26 2 化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.典例精析例2 计算：232(1)9(0);(2)8(00).xxx yxy，解：22(1)993()3;xxxx 32222222(2)8222222.x yxyxxyxxyx为什么是x 不是 x?200根据x x,xxx x.化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因式.今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外
18、的数必须是非负数）.总结归纳例3 化简下列二次根式31(1)(2).52 ；2122 ;12221155115.5 化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.33 5(2)55 5 11 2(1)22 2 解:122注意：表示的是 与 乘积，切勿理解为“和”.122 从前面的例题可以看出，这些式子的最后结果，具有以下特点：（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.最简二次根式二 (m0)是最简二次根式吗?如果不是，你能把它化简吗？42mm42mm解:不是最简二次根式.它含有能开方的因式 m2.4222222(1
19、)11.mmm mmmm m 议一议例4.化简:2217-25)00(42baba，202832616934原式解：21484217-25(1725）（原式baba242原式 当堂练习当堂练习 1.化简下列二次根式(1)24(2)28(3)32(4)54 ；2;(3)322 162 44 2 2(4)549 636 3 6.;(2)284 7 2 7 ;(1)244 6 2 6 解：22;14545 213(1)903101022222 2 解：222125125 12(2)1212 121125 1212125 5 4 3121521512515.6 2.化简下列二次根式45125(1)(2
20、)212 ；3.设 ，化简下列二次根式.00ba，解：172;2328.a b72或3622222 2 a b b2232262;2328a b22.abb 1729 826232262 4.化简：432.x解：4442232162162424 2.xxxxx注意：最后化简的结果一般不写成 ，因为它属于单项式，其中 作为系数部分.242x4 2能力提升化简：121解：12112-1=2+12-1222-1=2-1=2-1课堂小结课堂小结积的算术平方根(0,0)a bab ab化简最简二次根式（1）被开方数中不含开的尽方的因数（或因式）；（2）被开方数不含分母5.2 二次根式的乘法和除法第5章
21、二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（XJ）教学课件第1课时 二次根式的乘法1.掌握二次根式的乘法法则，能熟练地应用它进行二次根式的乘法运算;2.灵活应用和逆用二次根式的乘法法则，熟练地将二次根式化简（重点、难点）学习目标导入新课导入新课情景引入近年来我国探月工程取得了一个又一个的成就，无论是嫦娥探测器还是玉兔月球车，既体现了中华民族传统文化的意味，又契合了我国和平利用太空的意愿，下面一起来观看嫦娥三号发射模拟视频：问题1 运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如
22、下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.gR第一宇宙速度v1可以表示为 .问题2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2=v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.22gR第二宇宙速度v2可以表示为 .思考 若已知地球半径R6371km及重力加速度g10m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？讲授新课讲授新课二次根式的乘法一还记得吗?baba（a0，b0），二次根式的乘法法则baba（a0，b0），例1 计算：1 1 36 2 723 ()()；().(
23、).1 36解解:()()1 2 723 ()()=3 62=32=3 2 ；1=723=242=26 =2 6.典例精析议一议：在化简 时，小明是这样进行的：(4)(9)(4)(9)49236.（）（）解：假如你是他的数学老师，你认为他做对了吗？为什么？如果不对，请改正过来！答：不对.被开方数的两个因数是负数，不能直接套用积的算术平方根的性质.正确解法：(4)(9)4 96.要点提醒 在使用上述积的算术平方根的性质进行计算时，一定要注意前提条件即被开方数的每个因数都必须为非负数.对于不能直接用的，一定要先进行适当转化.例2 计算：(1)2 3 5 21 ；:(1)2 3 5 21 解解 2
24、53 21 210 37 30 7 ；根号里面数的相乘根号外面数的相乘3-2184 9-.2183 2()4 解：13-2184 系数与系数相乘根号与根号相乘18(2)3 2().4 (1)2 53 7；1(2)4 27-3.2例3 计算:(1)2 53 72357=6 35;解:11(2)4 27342732 918.22 当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 .归纳0,0m a n bmnab ab问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？试回顾如何计算3a22a3=.6a5提示：可类比上面的计算哦二次根式的乘法法则的推广：归纳总结多个二次根式相乘时此法则也适用，即
25、0,0,00abcnabcn abcn 当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即0,0m a n bmnab ab例4 比较大小(一题多解):(1)2 53 3与；解：(1)方法一：，又2027，即 .22 5=25=2023 3=33=2720272 53 3方法二：，又2027，即 .2 5 0,3 3 02222222 5=25=20,3 3=33=272 53 3222 53 3(2)2 133 6.与-解：(2)，又5254，,即22 13=213=5223 6=36=54525452
26、542 133 6.-比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.归纳两个负数比较大小，绝对值大的反而小A.B.C.D.1.计算 的结果是 ()82A.B.4 C.D.2106B2.下面计算结果正确的是 ()4 52 58 55 34 220 54 33 27 55 34 220 6D3.计算：_.6151030练一练例5 计算：2232221(2)63163222.aba baba ba ba baaba解：334221(1)28412841164144a
27、aaaaaa；3211(1)28(2)600.43aaaba bab；（，）练一练 A.抢答：(1)18;(2)20.B.陷阱题：23160,0,0).ab cabc（C.综合题：22412.bab 当被开方数是多项式时，先要因式分解化为积的形式.归纳3 22 54bcac21+3ba例6 已知一张长方形图片的长和宽分别是 cm和 cm，求这张长方形图片的面积.37723773721 cm.解：答：这张长方形图片的面积为21 cm2.当堂练习当堂练习1.若 ，则 （）Ax6 Bx0 C0 x6 Dx为一切实数 66x xxxA2.下列运算正确的是 （）A.222253535 315 B.222
28、25353532C.(4)(16)416(2)(4)8 D.2 183 56 80D4.比较下列两组数的大小（在横线上填“”“”或“=”）：1 5 44 524 22 7.（）；（）3.计算：(1)315 =_=_；(2)612 =_=_;(3)3 2 2_.3 56 22 6 5.计算：(1)315 ；(2)612 ；3 5 答答案案：6 2 答答案案：(3)3 22 105.60 答答案案：6.计算：(1)3 2 2 ；(2)4 3-3 15.2 6 答答案案：-36 5 答答案案：7.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.(1)已知 ,，求S；8a12b 解：S=ab=812812
29、242 3 46.（2）已知 ,，求S.502a323b 解：S=ab=240.2 50 3 32650 3226408.已知 试着用a,b表示 .7,70,ab4.9解：7704904.9 1004.910010 4.9,14.9.10ab10 4.9,ab7,70,ab又能力提升：课堂小结课堂小结计算与应用(0,0)a bab ab积的算术平方根二次根式的乘法公式(0,0)aba b ab5.2 二次根式的乘法和除法第5章 二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（XJ）教学课件第2课时 二次根式的除法情境引入学习目标1.理解二次根式的除法则及商的算术平方根的性质.掌握最简二次
30、根式的特点.（重点）2.合理简洁地进行二次根式的除法运算.（难点）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为 .85hd 导入新课导入新课情景引入解：18 2016 5.d 问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 时，他看到的水平线的距离d1是多少？205h问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？解：28 4016 10.d 2116 10.16 5dd二次根式的除法该怎样算呢解：思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法
31、则？405h(1)_=_;=_;49讲授新课讲授新课计算下列各式:1625364949(2)_=_;(3)_=_;3649=_;=_.1625234567观察两者有什么关系？234567234567二次根式的除法一观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：44=99；16162525=；3636.4949(1)(2)(3)思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？aabb特殊一般ab议一议问题 在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.a,b同号就可以啦你们都错啦，a0，b0,b=0时等式两边的
32、二次根式就没有意义啦aabb归纳总结二次根式的商的算术平方根性质(0,0).aaabbb文字叙述:被开方数商的算术平方根等于算术平方根的商.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得(0,0,0).mam aabnnbn b例1：化简下列二次根式97(1)(2).516 ；典例精析解：777(1)16416 ；993353 5(2).555555 从 变形到 是为了去掉分母中的根号.化简二次根式时，最后结果一般要求分母中不含有二次根式.353555例2 化简:解:33(1)100100310.227553(2)27332255.33还有其他解法吗?757527275
33、 35.33 3补充解法：375(1);(2);10027典例精析7(3)2;9281(4)0;25xx0.09 169(5).0.64 196725255(3)2.9939解：2228199(4)=.2555xxx22220.09 1690.3130.3 1339(5).0.64 1960.8 141120.814先商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质(3)1.25.1.能使等式 成立的x的取值范围是（）A.x2 B.x0 C.x2 D.x2 22xxxxC2.化简：725(2)1;558645(1)64.解：5(1)64；2732324242252552525(2)1.555424(
34、3)1.25.练一练我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：积中各因式的算术平方根的商，等于商的算术平方根.(0,0).aaabbb 我们知道，把积的算术平方根的性质反过来就得到二次根式的乘法法则.类似的，把二次根式的商的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的除法法则:例3 计算：14153 42(1)(2)(3).35 66 ；15(1)3 ：解解 153 5；3 42(2)5 6 375 ；3 4256 .1477 31421(3)633 336 例4 计算：24(1);32424(1)82 2.33解:31313(2)8122 3.2828231(2);28除式是分数或分式
35、时，先要转让化为乘法再进行运算典例精析111(4)2 1.2263 42(3)5 6 ；111131(4)2 12226226312226（）34623 42(3)5 6 375 .3 4256 解:12.类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.归纳例5 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值.2 3,10Sb解:,Sab2 32 31030.5101010Sab二次根式除法的应用二例6 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡据研究从高
36、空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？210ht 212 10020102.102 5010tt解:由题意得例7:电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知 电视塔高h（km）与电视节目信号的传播半径r（km）之间满足 （其中R是地球半径）.现有两座高分别为h1=400m，h2=450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？2rRh因为2400m0 4km 450m0 45kmrRh,.,.,解 设两座电视塔的传播半径分别为12r,r.11122220 4402 10
37、2 2320 45453 5Rhhr.rRhh.所以当堂练习当堂练习1.化简 的结果是（）A9 B3 C D 1823 22 3B2.下列根式中，最简二次根式是（）A.B.C.D.18243036C242411kkkk3.若使等式 成立，则实数k取值范围是 （）BA.k1 B.k2 C.1k2 D.1k2 4.下列各式的计算中，结果为 的是（）A.B.C.D.2 5251021124085C5.化简：72(1);61819(3)1.2727227(2);38解:7272(1)122 3.662272 272 3 33326(2).3823 83 2 2222181964648838 3(3)1
38、=.2727279273 33 336.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有 .若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒试求电流IWIRt解：当W=2400，R=100，t=15时，240082 22 10.100 15555WIRt安培7.自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“”，而是“”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内试问：刘敏说得对吗？3aa
39、3aa 3aa 解：刘敏说得不对，结果不一样理由如下：按 计算，则a0，a-30或a0，a-30,解得a3或a0；而按 计算，则a0，a-30,解得a33aa 3aa 能力提升：课堂小结课堂小结商的算术平方根 计算与化简(0,0)bbabaa最简二次根式(0,0)bbabaa（逆用）5.3 二次根式的加法和减法第5章 二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（XJ）教学课件第1课时 二次根式的加减运算1.理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地对二次根式进行加减运算;（重点、难点）2.通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运算的基本步骤学习目标问题1 满足什么条件的根式是最简二
40、次根式?(1)8180.5;，2 2,3 2,4 5,2;23 5,2 5.问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.(2)804520.，化简后被开方数相同导入新课导入新课复习引入问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？23 22 3322 552 74 7aaaaaaaaaa在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.由上图，易得2a+3a=5a.当a=时，分别代入左右得 ;当a=时，分别代入左右得 ;.2 23 2=5
41、22讲授新课讲授新课 在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式一32 33 3=5 3你发现了什么？因为 ，由前面知两者可以合并.你又有什么发现吗?当a=,b=时，得2a+3b=.a2a+3bb2bb8a2 23 8这两个二次根式可以合并吗？前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：23 83 226 2归纳总结将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：m an amna例1
42、 若最简根式 与 可以合并，求 的值.2132nmn3mn解：由题意得 解得即212,323,nmn 4,31,2mn416.323mn 典例精析 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为，2列关于待定字母的方程求解即可.归纳【变式题】如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取值范围.38a 172a42axxa解：由题意得3a-8=17-2a,a=5，20-2x0，x-50，5x10.42202,5axxxax练一练1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（）A.B.C.D.258123D2.与最简二次根式 能合并，则m=_.81m 13.下列二次
43、根式，不能与 合并的是_(填 序号）.121348125118.32;-;二次根式的加减及其应用二思考 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?S=8dm2S=18dm28+18问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.（化成最简二次根式）（逆用分配律）在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板解：列式如下：8+182 2+3 22+32（）5 2.183 25,5 2
44、7.5 在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.归纳总结二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.(1)化将非最简二次根式的二次根式化简；加减法的运算步骤：(2)找找出被开方数相同的二次根式；(3)并把被开方数相同的二次根式合并.“一化简二判断三合并”818 2 2 3 22 32 5 2+=+=+=+=+=+=（）化为最简二次根式 用分配律合并 整式加减 二次根式性质 分配律 整式加 减法则依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题 例2 计算：1(1)5 8-
45、2 2718(2)2 18-5045.3 ；典例精析(1)5 8-2 2718 10 2-6 3 3 213 2-6 3;解：与 能合并吗？23.1(2)2 18-5045 3 6 2-5 25 25 二次根式的加减与合并同类项类似.典例精析例3 计算:(2)925;aa解：(2)92535aaaa8;a(1)8045;(1)80454 53 55;1(3)8;501(4)3 12.2711(3)82 2505 222 210212;1011(4)3 126 3273 336 39533.9例4 计算:1(1)2 1263 48;3(2)(1220)(35).解：1(1)2 1263 4831
46、4 3.2 32 5353 35.(2)(1220)(35)122035有括号，先去括号4 32 312 3例5 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d（取3.14）.d解设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为 ，由 ，2S1S21SR22Sr 可知1SR，则2Sr.12SSdRr763 02150 723 143 14243489 34 35 3 m.答：圆环的宽度为53m.d例6 已知a,b,c满足 .(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成 三角形，求出其周长
47、；若不能，请说明理由.2853 20abc解：(1)由题意得 ；82 2,5,3 2abc(2)能.理由如下：即acb，又 a+cb，能够成三角形，周长为2 23 25，5 2,ac5 25.abc分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.5 2,2 6解：当腰长为 时，此时能构成三角形，周长为 当腰长为 时，此时能构成三角形，周长为 5 25 25 210 22 6，10 2 2 6+；2 62 62 64 65 2，5 2 4 6+.二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论
48、及会比较两个二次根式的大小.归纳练一练1.下列计算正确的是 （）A.B.C.D.222323 21233325 C2.已知一个矩形的长为 ,宽为 ，则其周长为_.481212 3当堂练习当堂练习1.二次根式：中，与 能进行合并的 是 （）31218272、3A.3122与B.3182与C.1227与D.1827与2.下列运算中错误的是 （）235A.B.236C.822D.233（）AC3.三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为_.204045，5 5+2 104.计算:=(1)5 2 18 _；_(2)4 18-9 2 ；-(3)10 2(3 8 7 2)_ ；-.(4)5 12(3 8
49、 2 27)_ 8 23 2 9 24 3-6 21(1)5 8-2 2718(2)2 18-5045.3 ；(1)5 8-2 2718 10 2-6 3 3 213 2-6 3;解：.1(2)2 18-5045 3 6 2-5 25 25 5.计算:(3)44-(3 11 11 2)；11(4)(48-4)-(3-4 0.5).83 (3)443 11+11 2=2 113 1111 21111 2;（）11(4)48434 0.583111=4843+4832232=4 343+4432=4 323+2 23 3+2.（）（）解：6.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=，求（2*3）（27*32）的值3ab解：a*b=，（2*3）（27*32）=3ab 23 3273 3223 33 312 211 2.能力提升：课堂小结课堂小结二次根式加减法则注意运算顺序运算原理 一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.运算律仍然适用与实数的运算顺序一样
